微积分基本公式 在上一节我们已经看到，直接用定义计算定积分是十分繁难的，因此我们期望寻求一种计算定积分的简便而又一般的方法。我们将会发现定积分与不定积分之间有着十分密切的联系，从而可以利用不定积分来计算定积分。

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1 微积分基本公式 在上一节我们已经看到，直接用定义计算定积分是十分繁难的，因此我们期望寻求一种计算定积分的简便而又一般的方法。我们将会发现定积分与不定积分之间有着十分密切的联系，从而可以利用不定积分来计算定积分。

2 一、问题的提出 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为

3 二、积分上限函数及其导数 考察定积分 记 积分上限函数

4 积分上限函数的性质 证

5 由积分中值定理得

6 注 此定理表明连续函数取变上限定积分再对 上限自变量 x 求导，其结果就等于被积 函数在上限自变量 x 处的函数值
若上限不是 x 而是 x 的函数 a(x)， 则求导时必须按复合函数的求导法则进行 一般情况

7 证 例1 求 [分析]：这是 型不定式，应用洛必达法则. 解

8 证

9

10 证 令

11 定理2（原函数存在定理） 定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.

12 三、Newton-Leibniz公式 前述变速直线运动的路程问题表明：定积分的值等于被积函数的一个原函数在时间区间上的增量，这个事实启发我们去考察一般的情况，得到肯定的回答。这就是微积分基本公式。 定理 3（微积分基本公式）

13 证 令 令 牛顿—莱布尼茨公式

14 注 微积分基本公式表明： （2） N-L公式揭示了积分学两类基本问题——不定积分与定积分两者之间的内在联系
（3）求定积分问题转化为求原函数的问题. （4） 为定积分的计算提供了一个普遍、有效而又简便的方法，使得定积分的计算大为简化。 注意

15 例4 求 解 原式 例5 设 , 求 解

16 例6 求 解 由图形可知

17 例7 求 解 解 面积

18 四、小结 注意 使用公式的条件（1）被积函数 f(x) 连续 1.积分上限函数 2.积分上限函数的导数 3.微积分基本公式
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．称之为微积分基本公式。 注意 使用公式的条件（1）被积函数 f(x) 连续 （2）F（x）是 f(x) 在 该区间上的任一原函数

19 思考题

20 思考题解答

21 练 习 题

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27 练习题答案

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