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第十八章 等候理論 Queueing Theory 作業研究 二版 2009 © 廖慶榮
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章節大綱 前言 等候模式的架構 專有名詞與符號 指數分配 生死過程 M /M /1模式 M /M /s模式 M /M / 1 / K模式
M /M /s /K 模式 M / M /∞模式 有限來源的M /M /1模式 有限來源的M /M /s模式 M / G / 1 模式 M / D / 1模式 M / Ek / 1模式 等候決策模式 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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18.1 前言 常見的等候現象 病人到醫院等候看病 人們到銀行等候辦理業務 人們在電梯前等候搭電梯 顧客在餐廳點菜後等候上菜
18.1 前言 常見的等候現象 病人到醫院等候看病 人們到銀行等候辦理業務 人們在電梯前等候搭電梯 顧客在餐廳點菜後等候上菜 顧客在結帳櫃臺前等候結帳 職員等候影印資料 汽機車在紅綠燈前等候通行 汽機車在加油站等候加油 工廠的工件等候機器加工 工廠故障的機器等候維修員修理 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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等候理論的分析方式 分析方式 將等候系統（queueing system）以等候模式（queueing model）表示
由各等候模式的公式，計算出該等候系統的績效（如：等候線的長度、每位顧客的等候時間） 選擇績效最好（或總成本最低）的等候系統 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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18.2 等候模式的架構 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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等候模式中的各項元素 輸入來源（input source） 系統容量（system capacity）
又稱召喚群體（calling population） 係指顧客來自的群體 一般假設其是無限的或有限的 因無限模式較容易，所以當輸入來源的數量足夠多時（如15個），一般假設為無限 系統容量（system capacity） 整個等候系統所允許容納的顧客數 包括等候線所允許容納的顧客數（即等候線容量，queue capacity）以及服務設施所能容納的顧客數 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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等候模式中的各項元素 顧客的等候行為 服務規則（service discipline） 止步（balking） 轉換（jockeying）
背信（reneging） 服務規則（service discipline） 先到先服務（first-come first-served，FCFS） 隨機順序服務（service in random order， SIRO） 後到先服務（last-come first-served，LCFS） 優先權（priority） 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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等候模式中的各項元素 服務設施（service facility） 單一服務者 平行服務者（parallel servers）
串聯等候線（tandem queue） 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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18.3 專有名詞與符號 Kendall 符號： 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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18.3 專有名詞與符號 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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專有名詞與符號 專有名詞與符號： 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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穩定狀態 等候理論一般僅探討系統在穩定狀態的情況 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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穩定狀態績效基準 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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18.4 指數分配 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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18.4 指數分配 指數分配的圖形 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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無記憶性質 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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無記憶性質 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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與卜瓦松分配的關係 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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範例18.1（指數與卜瓦松分配） 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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18.5 生死過程 生死過程（birth and death process） 到達率=離開率 (穩定狀態)
18.5 生死過程 生死過程（birth and death process） 一個系統的到達間隔時間與服務時間均呈指數分配 到達率=離開率 (穩定狀態) 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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18.5 生死過程 生死過程的狀態轉換率圖 平衡方程式（balance equation） 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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18.5 生死過程 由平衡方程式可得 由數學歸納法（mathematical induction）可得 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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18.5 生死過程 因為 所以 以下所討論的等候模式，若屬生死過程，即可用式 (3)及式(4) 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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18.6 M/M/1 模式 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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18.6 M/M/1 模式 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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18.6 M/M/1 模式 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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18.6 M/M/1 模式 我們可計算Lq 如下： 利用Little公式可得 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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範例18.2 問題 解答 某郵局有一個專門辦理郵寄業務的窗口
中午12:00至下午1:00，到郵局辦理郵寄業務的顧客呈指數分配，平均每小時30人 每位顧客的服務時間亦呈指數分配，平均為1.5分鐘 解答 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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範例18.2 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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範例18.2 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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18.7 M/M/s 模式 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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18.7 M/M/s 模式 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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18.7 M/M/s 模式 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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18.8 M/M/1/K 模式 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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18.8 M/M/1/K 模式 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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18.8 M/M/1/K 模式 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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18.8 M/M/1/K 模式 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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18.9 M/M/s/K 模式 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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18.9 M/M/s/K 模式 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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18.9 M/M/s/K 模式 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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範例18.3 概述 問題 保養廠設置2個升降工作台（各1位維修員），並可停放3輛 若汽車無法進入保養廠停放，將會離開
到達率呈指數分配，平均每小時2輛 維修時間呈指數分配，平均需要40分鐘 每位顧客平均消費金額$1350 問題 廠內有n位顧客的機率 有效到達率 每天營業的10小時期間，因顧客無法進入而損失的營業額 兩工作台的期望車輛數 每位維修員每天空閒時間的百分比 等候維修的期望車輛數 每位顧客在保養廠內的期望時間 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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範例18.3 /解答 (a) 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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範例18.3 /解答 (a) 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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範例18.3 /解答 (b) (c) 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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範例18.3 /解答 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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範例18.3 /解答 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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模式 此模式有無限多個服務者,如釣魚場 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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模式 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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有限來源的 M/M/1 模式 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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有限來源的 M/M/s 模式 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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範例18.4 概述 問題 解答 某工廠有6部機器，2位維修員 每部機器的故障間隔時間呈指數分配，平均值30天
維修時間亦呈指數分配，平均值4天 問題 維持良好狀態的平均機器數 故障機器平均等待及修理的總時間 每位維修員空閒時間的百分比 解答 此模式為有限來源N=6的M/M/s=2模式，計算過程請參見課本 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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模式 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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模式 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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模式 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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模式 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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等候決策模式 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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範例18.5 /等候決策模式的應用 解答 考慮機器維修問題 管理當局考慮僅用一位維修員，而將另一位調出
每部機器每天生產的利潤為$6,500，每位維修員每天的人事費用為$2,000 管理當局應如何決策？ 解答 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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範例18.5 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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範例18.6 /等候決策模式的應用 四個考慮方案： 相關資料： 6F增闢影印室($10萬)，並增購B級影印機($55萬)
6F增闢影印室($10萬)，並增購A級影印機($75萬) 增購一台B級影印機，放在5F的影印室 維持目前僅有一台影印機 相關資料： 到達間隔時間呈指數分配，平均每小時5位 影印時間亦呈指數分配，B級10分鐘，A級6分鐘 每位員工至5F影印室平均4 min；若5F、6F各設置一間影印室，則該層樓員工僅需2.8 min 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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範例18.6 /等候決策模式的應用 相關資料/續： 解答： 每位員工每小時人事成本$350
影印室及影印機的成本，將以三年分攤，每年工作天數以250天計，每天工作時數以8小時計 該公司如何在四個方案中做選擇？ 解答： 作業研究 二版 Ch.18 等候理論
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