大綱: 正比 反比 應用問題 顧震宇 台灣數位學習科技股份有限公司

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1 大綱: 正比 反比 應用問題 顧震宇 台灣數位學習科技股份有限公司
正比與反比 (題型解析) 大綱: 正比 反比 應用問題 顧震宇 台灣數位學習科技股份有限公司 這個單元老師講解正比與反比的題型解析， 主要的內容有關正比的定義相關問題、反比定義的相關問題以及正比與反比如何應用

2 例題 1. (正比的判斷) (1) 正方形的邊長和面積是否成正比 ?
正比與反比 - 題型解析 (1) 正方形的邊長和面積是否成正比 ? (2) 一個麵包 22 元，買 x 個麵包共需 y 元， 則購買數量和總價是否成正比 ? (3) 一台斤折合 0.6 公斤，如果 x 台斤可以折合 y 公斤， 則 y 與 x 是否成正比 ? 正比 x 與 y 成正比 或稱 y 隨著 x 正變 [解答] (1) 否 (2) 是 (3) 是 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

3 例題 2. (正比計算) 已知 y 與 x 成正比，且當 x＝3 時，y＝8，當 x＝12 時，y＝? 設 正比
正比與反比 - 題型解析 已知 y 與 x 成正比，且當 x＝3 時，y＝8，當 x＝12 時，y＝? 正比 設 x 與 y 成正比 或稱 y 隨著 x 正變 心得筆記 解正比問題的步驟： 1. 設 y＝kx 2. 將已知的 x、y 代入求 k 3. 將欲求的條件代入 [解答] 32 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

4 例題 3. (正比計算) 設 隨著 正變，且當 時， ， (1) x、y 的關係式。 (2) 當 x＝1 時，y＝ ? 設 正比
正比與反比 - 題型解析 設 隨著 正變，且當 時， ， (1) x、y 的關係式。 (2) 當 x＝1 時，y＝ ? 正比 設 x 與 y 成正比 或稱 y 隨著 x 正變 [解答] (1) (2) 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

5 例題 4. (正比應用 – 含糖量) 正比與反比 - 題型解析 奶茶每 500 毫升中含糖量 25 毫克，如果 x 毫升的奶茶含糖量 y 毫克， 請問 (1) y 與 x 是否成正比 ? (2) 當 x＝1200 時，y 值為多少 ? (1) 正比 (1) 每 500 毫升 含糖量 25 毫克 每 1 毫升 含糖量 毫克 x 與 y 成正比 或稱 y 隨著 x 正變 每 x 毫升 含糖量 毫克 (2) [解答] (1) 是 (2) 60 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

6 例題 5. (正比應用 – 彈簧問題) 正比與反比 - 題型解析 已知在彈性限度內，彈簧的伸長量與拉力成正比。 若一彈簧在無受力 的情況下長度為 15 公分，在拉力 6 公克時彈簧的長度變為 17 公分， 則在彈性限度內，當彈簧受 24 公克的拉力時，彈簧的長度變為多少 公分 ? 設拉力 x 公克時，彈簧長度為 y 公分，則伸長量為 ( y-15 ) 公分 且 y-15＝kx 正比 x 與 y 成正比 或稱 y 隨著 x 正變 [解答] 公分 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

7 例題 6. (正比應用 – 寶石價格) 正比與反比 - 題型解析 寶石的價格隨其整塊重量的平方成正比，小明有重 50 克的寶石一塊， 價值為 100 萬元。 (1) 他不慎摔裂成兩塊，重量比為 2：3，求此兩塊寶石總價多少元 ? (2) 小明損失多少元 ? 正比 x 與 y 成正比 (1) 設重量為 x，價格為 y，則 第一塊重量 克，價格為 元。 第二塊重量 克，價格為 元。 比例分配 (2) ＝480000 若 M 被分為 a：b 兩部份，則 兩部份分別為 、 [解答] (1) 元 (2) 元 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

8 例題 7. (反比的判斷) 正比與反比 - 題型解析 (1) 面積 20 平方公分的長方形，長和寬是否成反比 ? (2) 媽媽花了 200 元買蘋果，若蘋果一個 x 元，買了 y 個，請問 x 與 y 是否成反比 ? (3) 若華式溫度 ( oF ) 與攝氏溫度 ( oC ) 的關係式為 ，請問華式與攝氏溫度是否成反比 ? 反比 x 與 y 成反比 或稱 y 隨著 x 反變 [解答] (1) 是 (2) 是 (3) 否 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

9 例題 8. (反比計算) 正比與反比 - 題型解析 設 y 與 x 成反比，且當 x＝5 時，y＝12， (1) 求 x、y 的關係式 (2) 當 y＝6 時， x 是多少 ? 反比 設 x 與 y 成反比 或稱 y 隨著 x 反變 心得筆記 解反比問題的步驟： 1. 設 xy＝k 2. 將已知的 x、y 代入求 k 3. 將欲求的條件代入 [解答] (1) xy＝60 (2) 10 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

10 例題 9. (反比應用 – 分擔費用問題) 正比與反比 - 題型解析 班上租一部遊覽車出遊，並由登記參加的同學平均分擔租車費用 8000 元，若以 x 表示參加同學人數，y 表示每人分擔的錢，請問： (1) x 與 y 是否成反比 ? (2) 若有 20 人參加，請問每人分擔多少錢 ? (3) 當 x 變為 2 倍時，y 變為多少倍 ? (1) xy＝8000 (2) (3) 反比 x 與 y 成反比 或稱 y 隨著 x 反變 [解答] (1) 是 (2) (3) 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

11 例題 10. (反比應用 – 工程問題) 正比與反比 - 題型解析 有一工程，小王每天工作 8 小時，30 天可完工。今欲在 20 天內趕完， 則小王每天應增加多少小時 ? 同一人、同一工程總花費時間不變 假設小王每天應工作 x 小時 [解答] 4 小時 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

12 例題 11. (反比應用 – 速度問題) 有一路程，甲花 4 小時走完，乙花 3.5 小時走完，求甲、乙速率比 為何 ?
正比與反比 - 題型解析 有一路程，甲花 4 小時走完，乙花 3.5 小時走完，求甲、乙速率比 為何 ? 設距離為 S，甲的速率為 x，乙的速率為 y 。 距離＝時間 x 速度 心得筆記 距離為定值，速度與時間成反比。 速度為定值，距離與時間成正比。 時間為定值，距離與速度成正比。 [解答] 7：8 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

13 例題 12. (反比應用 – 注水問題) 正比與反比 - 題型解析 已知一空水槽可容水 1800 公升，今用一條水管注入水槽，已知 此水管每分鐘注入的量為 x 公升，注滿水槽的時間是 y 小時，則： (1) 求 x、y 的關係式。 (2) 若注水管每分鐘注入 6 公升，則注滿水槽需要多少小時 ? (3) 若注水管經過 1 小時 30 分注滿，則每分鐘注入水多少公升 ? 每小時注入的量為 60x 公升 (1) (2) (3) [解答] (1) xy＝30 (2) 5 小時 (3) 20 公升 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

14 例題 13. (速度問題) 正比與反比 - 題型解析 操場跑道一圈長 300 公尺，甲、乙、丙三人各繞跑道一圈所花時間 的總和為 25 分鐘；若甲、乙每分鐘速度的比為 2：3，而甲、丙 每分鐘速度的比為 1：2，則丙的速度為每分鐘多少公尺 ? 甲的速度：乙的速度：丙的速度 ： ： 連比例式性質 ： ： 距離 設甲每分鐘速度為 2k 公尺， 乙每分鐘速度為 3k 公尺， 丙每分鐘速度為 4k 公尺。 時間＝ 速度 第13題，操場跑道一圈長 300 公尺，甲、乙、丙三人各繞跑道一圈所花時間的總和為 25 分鐘，若甲、乙每分鐘速度的比為 2：3，而甲、丙每分鐘速度的比為1:2，則丙的速度為每分鐘多少公尺？ 由已知知道甲、乙每分鐘的速度比和甲丙每分鐘的速度比可以求三人速度的連比為 2：3：4，由比例式的性質可假設三人的速度分別為 2k、3k、4k 公尺，則由時間等於距離除以速度可以列式為 甲的時間 2k分之300加乙的時間3k分之300加丙的時間 4k分之300等於總時間 25，那麼約分後可得 k分之325等於25則知 k等於 325 除以 25等於 13，而欲求丙的速度即為 4乘以13=52。 [解答] 丙的速度每分鐘 52 公尺 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

15 例題 14. (比例分配應用) 正比與反比 - 題型解析 甲、乙、丙三人聚餐共花了 820 元，若已知三人出錢的比例依序為 25：10：6，則甲、乙、丙各出了多少錢 ? 甲： 乙： 比例分配 將數值 M 按照 a：b：c 分為三部份， 則三部份分別為 丙： 例題 14. 這題我們要開始講解比例分配的應用，先複習一下比例分配的觀念，將數值M按照a:b:c分成三部份，則三部份分別為M乘以a+b+c分之a、M乘以a+b+c分之b、M乘以a+b+c分之c，這個概念在於將M分成 a+b+c 份，而第一部份佔了 M 的a+b+c分之a ，瞭解了比例分配的觀念，回到題目，甲乙丙三人聚餐共花了 820元，若已知三人出錢的比例依序為25：10：6，則甲、乙、丙各出了多少錢？ 由比例分配知道甲出了 820乘以 分之25等於 820乘以 41分之25，約分後可得甲出了 500元， 相同的方法可求乙出了 820乘以41分之10得到 200 元 丙出了820乘以41分之6等於120元 [解答] 甲出 500 元，乙出 200 元，丙出 120 元 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

16 例題 15. (比例分配應用) 正比與反比 - 題型解析 已知甲、乙、丙三人的錢數比為 3：5：6。若丙分別給甲、乙兩人 各 30 元後，甲、乙、丙的錢數比為 7：11：10，則此三人共有多少錢 ? 甲原有的錢 + 30＝甲後來的錢 設三人共有 M 元 比例分配 將數值 M 按照 a：b：c 分為三部份， 則三部份分別為 例題 15. 已知甲、乙、丙三人的錢數比為3：5：6，若丙分別給甲、乙兩人各 30 元後，甲、乙、丙的錢數比為 7:11:10， 則此三人共有多少錢？ 這題老師用比例分配講解，我們可以假設三人共有 M 元，由已知知到甲從丙那邊得到 30 元，所以甲原有的錢 + 30 會等於甲後來的錢，而依照比例分配的觀念知道甲原有的錢等於 M乘以 3+5+6分之3，而因為三人的錢總數不變，所以甲後來的錢為 M乘以 分之7，所以可以列式為 M乘 3+5+6分之3加30等於M乘以 分之7，整理一下得到 M乘以 14分之3加30等於M乘以28分之7，同乘 28將分母去掉，可得到6M+840=7M，移項後得到 M=840。 [解答] 共有 840 元 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

17 例題 16. (繩子重疊) 正比與反比 - 題型解析 如圖，將白繩的 及紅繩的 重疊並以膠帶黏合，形成一條長度為 60 公分的繩子，求未黏合之前，兩繩子的長度各多少公分 ? 60 白繩： ： 紅繩： 1 ： 2 比例分配 ： ： 2 將數值 M 按照 a：b：c 分為三部份， 則三部份分別為 例題16. 如圖，將白繩的 4 分之 1 及紅繩的 3 分之 1 重疊並以膠帶黏合，形成一條長度為 60 公分的繩子，求未黏合之前， 兩繩長度各為多少公分? 白繩的 4分之1 代表重合的部份比白繩沒有重合的部份為 1:3，紅繩的 3分之1 代表重合的部份比紅繩沒有重疊的部份為 1:2， 那麼可知三段長度的連比為 3：1：2，所以根據比例分配可知白繩為 60乘以 分之3加上60乘以3+1+2分之1 等於 30+10=40，紅繩為 60乘以3+1+2分之1加上60乘以3+1+2分之2等於30公分。 [解答] 白繩 40 公分；紅繩 30 公分 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

18 重點整理 已知 x, y 的和為 6，且 x 的 2 倍比 y 的 3 倍多 2，求 x, y x + y = 6 …….. (1)
二元一次方程式的圖形-題型解析 已知 x, y 的和為 6，且 x 的 2 倍比 y 的 3 倍多 2，求 x, y x + y = 6 …….. (1) 2x = 3y + 2 ….. (2) 聯立方程式的解 在聯立方程式中，x, y 的值 同時滿足每一個方程式的解 解聯立方程式 將兩個變數化簡成一元一次式後 求得其中一個變數的值 1. 代入消去法 2. 加減消去法 解的情形 一組解、無解 or 無限多組解 x - 2y = 1 x + y = 13 x = 2y + 1 -) 2y y = 13 -3y = -12 x + y = 2 2x + 2y = 4 x + y = 4 x + y = 8 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司