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Published by陌 柏 Modified 7年之前
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§3.9 曲 率 一、弧微分 有向弧段的值、 弧微分公式 二、曲率及其计算公式 曲率、 曲率的计算公式 三、曲率圆与曲率半径 曲率圆曲率半径
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一、弧微分 有向弧段 的值 s(简称为弧s) : M M0 ( s 的绝对值等于这弧段的长度,当有向弧段的方向与曲线的
显然,弧 s 是 x 的函数:ss(x),而且s(x)是x的单调增加函 数. x y O M0 x0 M x y O M0 x0 M s>0 s<0
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下面来求s(x)的导数及微分. 设x , x+ Dx 为(a,b)内两个邻近的点,它们在曲线 yf(x)上的对应点为M,M,并设对应于x的增量Dx ,弧 s 的增 量为Ds,于是 M0 M M x0 x x+Dx Dx Dy y O Ds
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因为 1, 因此 由于ss(x)是单调增加函数,从而 于是 ds 这就是弧微分公式.
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二、曲率及其计算公式 观察曲线的弯曲线程度与切线的关系: M1 M2 N2 N1 ) j
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度,
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设曲线C是光滑的,曲线 线C上从点M 到点M 的弧 为Ds ,切线的转角为Da . M0 M M Ds Da x y O a+Da ) a s C 平均曲率: 曲率:
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曲率的计算公式: 设曲线的直角坐标方程是yf(x),且f(x)具有二阶导数. 因为tan a y ,所以 于是 从而,有
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例1 计算等双曲线x y 1在点(1,1)处的曲率.
解 因此,y|x11,y|x12. 曲线x y 1在点(1,1)处的曲率为
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例2 抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大?
解 由yax2bxc,得 y2axb ,y2a , 代入曲率公式,得 要使K 最大,只须2axb0, 对应的点为 抛物线的顶点.因此,抛物线在顶点处的曲率最大,最大曲率为 K|2a| .
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讨论: 1.直线上任一点的曲率等于什么? 提示:设直线方程为y=ax+b,则y =a, y = 0.于是 2.若曲线由参数方程 给出,那么曲率如何计算? . 提示:
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三、曲率圆与曲率半径 曲线在M点的曲率半径 y r D M y=f(x) x O 曲线在M点的曲率圆 曲线在M点的曲率中心
曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r 有如下关系:
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例3 设工件表面的截线为抛物线y0.4x 2.现在要用砂轮 磨削其内表面.问用直径多大的砂轮才比较合适?
O x y y=0.4 x2
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例3 设工件表面的截线为抛物线y0.4x 2.现在要用砂轮 磨削其内表面.问用直径多大的砂轮才比较合适?
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径. y0.8x ,y0.8, y|x00,y|x00.8. 把它们代入曲率公式,得 0.8. 抛物线顶点处的曲率半径为 所以选用砂轮的半径不得超过1.25单位长,即直径不得超过 2.50单位长.
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