3.8 复合函数的导数 [法则4] 如果函数y＝f(u)对u可导，函数u＝g(x)对x可导，

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1 3.8 复合函数的导数 [法则4] 如果函数y＝f(u)对u可导，函数u＝g(x)对x可导， 则复合函数y＝f[g(x)]对x也可导，且yx'＝yu'·ux'。 即复合函数对自变量的导数等于函数对中间变量的 导数乘以中间变量对自变量的导数。 证明：设Δy、Δu、Δx分别为y、u、x的增量 因为u＝g(x)在x处可导，所以u＝g(x)在x处连续 当Δx→0时Δu→0。 由 和 可得 即 yx’＝yu’·ux’

2 例 求下列函数的导数 ⑴　　　 ⑵　 ⑶ 解：⑴ 设y＝ ，u＝2x＋1， yx’＝yu’·ux’＝ ⑵ yx'＝-4(1－3x)-5(1－3x)'＝12(1－3x)-5 ⑶ yx'＝

3 例 求下列函数的导数 ⑴ y＝ln cosx＋cos(lnx) ⑵ y＝(2x2－3) 解：⑴ ⑵

4 3.9 反函数的导数 [法则5] 已知严格单调函数y＝f(x)是严格单调函数x＝g(y) 的反函数，且x＝g(y)在点y处的导数不为零，那么 y＝f(x)在x处可导，且 1.反三角函数的导数 ⑴ (arcsinx)'＝ (-1＜x＜1) ⑵ (arccosx)'＝ (-1＜x＜1) ⑶ (arctgx)'＝ (-∞＜x＜+∞) ⑷ (arcctgx)'＝ (-∞＜x＜+∞)

5 例 求下列函数的导数 ⑴ y＝x arcsinx ⑵ y＝arccos (a＞0) ⑶ y＝arctg2x 解： ⑴ ⑵ ⑶

6 2.指数函数的导数 ⑴ (ex)'＝ex 证明： ∵指数函数y＝ex与对数函数x＝lny互为反函数， 而xy'＝(lny)'＝ ∴yx'＝ ＝y＝ex ⑵ (ax)'＝axlna ∵指数函数y＝ax与对数函数x＝logay互为反函数， 而xy'＝(logay)'＝ ∴yx'＝ ＝ylna＝axlna

7 例 求下列函数的导数 ⑴ y＝x3ex ⑵ y＝e3x＋a5x ⑶ y＝eaxcosbx 解： ⑴ y'＝3x2ex＋x3ex ⑵ y'＝e3x·3＋a5xlna·5 ＝3e3x＋5a5xlna ⑶ y'＝eax·a·cosbx＋eax(－sinbx·b) ＝eax(acosbx－bsinbx)

8 [导数公式表] y＝C (C为常数) y’＝0 y＝xα(α为实数) y’＝αxα-1 y＝logax y’＝ y＝lnx y’＝ y＝ax y’＝axlna y＝ex y’＝ex y＝sinx y’＝cosx y＝cosx y’＝-sinx y＝tgx y’＝sec2x y＝ctgx y’＝-csc2x y＝arcsinx y’＝ y＝arccosx y’＝ y＝arctgx y’＝ y＝arcctgx y’＝

9 整理得 3.10 隐函数的导数 所谓隐函数是指y是x的函数，但y与x之间的关系 只能由F(x,y)＝0给出，而不易化成y＝f(x)的形式
的函数。 例 3.27 已知x3＋y3＝3axy，求yx' 解：把y看成是x的函数，则y3、3axy是复合函数， 等式两边同时对x求导，得 3x2＋3y2·y'＝3ay＋3ax·y' 整理得

10 [对数求导法] 例 3.29 求y＝ 的导数 解：两边取对数，得 lny＝ [ln|x-1|＋ln|x-2|－ln|x-3|－ln|x-4|] 两边对x求导，得 所以 例 3.30 求y＝xsinx的导数 解：两边取对数，得 lny＝sinx·lnx

11 3.12 高阶导数 [定义] 函数y＝f(x)的导数f'(x)的导数[f'(x)]'叫做f(x)的二阶导数，记作f”(x)或y”， y＝f(x)的二阶导数f”(x)的导数[f”(x)]'叫做f(x)的三阶导数，记作f'''(x)或y'''， 依此类推，y＝f(x)的 n－1 阶导数的导数叫做f(x)的 n 阶导数，记作f(n)(x)或y(n)， 二阶及二阶以上的导数，统称为高阶导数。

12 例 设y＝excosx，求y'和y” 解：y’＝excosx＋ex(－sinx) ＝ex(cosx－sinx) 　y”＝ex(cosx－sinx)＋ex(－sinx－cosx) ＝－2exsinx 例 求函数y＝ax的n阶导数 解：y’＝(lna)ax y”＝(lna)2ax 　　……………… 　　y(n)＝(lna)nax

13 3.13 微分的概念及其几何意义 1. 微分是函数增量的近似值 ∵ ∴ Δy≈f'(x)Δx 我们把等式右边的部分称为函数y的微分，记作dy 即Δy≈dy 2. 微分的定义 设函数y＝f(x)在x处可导，则称f'(x)Δx为函数y 在点x处的微分，记作dy，即dy＝f'(x)Δx 考察函数y＝x，则dx＝dy＝(x)'Δx＝Δx 故微分又可表示为dy＝f'(x)dx

14 3. 微商的概念 ∵dy＝f'(x)dx ∴ f'(x)＝ 即导数等于函数的微分与自变量的微分的商， 叫做微商 同样，我们也可以用 表示 f”(x)， ……………… 用 表示 f(n)(x)。

15 4. 微分的几何意义 如图， PN＝Δx，P'N＝Δy， P’ f'(x)＝tg∠TPN＝ T TN＝f'(x)Δx＝dy P N 所以，Δy表示曲线的纵坐标的改变量 dy表示切线的纵坐标的改变量。 这就是微分的几何意义。

16 3.14 微分的运算 由微分表达式dy＝f’(x)dx可以看出，求函数的 微分只要用函数的导数乘以自变量的微分即可。 例3.40 求函数y＝ 的微分 解：dy＝[ ]’dx [注意] 在求微分的结果中，千万不要漏写最后面的dx

17 [微分公式表] y＝C (C为常数) dy＝0 y＝xα(α为实数) dy＝αxα-1dx y＝logax dy＝ dx y＝lnx dy＝ dx y＝ax dy＝axlnadx y＝ex dy＝exdx y＝sinx dy＝cosxdx y＝cosx dy＝-sinxdx y＝tgx dy＝sec2xdx y＝ctgx dy＝-csc2xdx y＝arcsinx dy＝ dx y＝arccosx dy＝ dx y＝arctgx dy＝ dx y＝arcctgx dy＝ dx

18 [微分的四则运算法则] ⑴ d(u±v)＝du±dv ⑵ d(uv)＝udv＋vdu ⑶ 例3.41 设y＝2x4－3ex＋cosx，求dy
解：dy＝d(2x4－3ex＋cosx)＝d(2x4)－d(3ex)＋d(cosx)＝8x3dx－3exdx－sinxdx＝(8x3－3ex－sinx)dx 例3.42 设y＝e-axsinbx，求dy 解：dy＝d(e-axsinbx)＝e-axd(sinbx)＋sinbxd(e-ax) ＝e-axcosbx·bdx－ae-axsinbxdx ＝e-ax(bcosbx－asinbx)dx

19 [用换元法求微分] 例3.43 求函数y＝esinx的微分 解：令u＝sinx，则du＝cosxdx 原函数换元后变为y＝eu 则dy＝eudu＝esinxcosxdx [注意] 用换元法解题时，在最后结果里不应有中间变量u，只能包含x。

20 [习题选讲] P.171 复习题三 4⑴ 证明可导偶函数的导函数为奇函数 证明： 设f(x)是偶函数， 则f(－x)＝f(x)，f(－x＋Δx)＝f(x－Δx) 设g(x)＝f'(x)，则g(x)＝ g(-x)＝ ＝－g(x) ∴g(x)是奇函数。

21 作业： P ⑴⑵⑷⑸⑹⑺⑼⑾⑿⒀⒁， 　　　　4 ⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑿, 6 ⑶⑷,8 ⑵⑶⑷, 10 ,11 P ⑴⑵⑶⑷⑹，3 P ⑴⑵⑶⑷⑹,