第二章　导数与微分 第二节　函数的微分法 一、导数的四则运算 二、复合函数的微分法.

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1 第二章　导数与微分 第二节　函数的微分法 一、导数的四则运算 二、复合函数的微分法

2 一、导数的四则运算 定理 1 设函数 u(x)、v(x) 在 x 处可导， 则它们的和、差、积与商 在 x 处也可导， 且
(u(x)  v(x)) = u(x)  v (x); (u(x)v(x)) = u(x)v(x) + u(x)v(x);

3 　　证　上述三个公式的证明思路都类似，我们只证第二个．
因为 u (x + x) - u(x) = u， 即 u (x + x) = u(x) + u， 同理有 v (x + x) = v(x) + v . 令 y = u(x)v(x)， 则 y = u(x + x) v(x + x) - u(x)v(x) = [u(x) + u] · [v(x) + v] - u(x)v(x) = u(x)v + v(x)u + u v .

4 所以

5 推论 1　(cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
推论 2

6 　　例 1　设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1，求 f (x) 及 f (0).　
(5cos x) = 5(cos x)， 又(x4) = 4x3， (cos x) = - sin x， (ex) = ex， (1) = 0， 故 f (x) = (3x4 - ex + 5cos x - 1)  = (3x4)  -(ex ) + (5cos x)  - (1) = 12x3 - ex - 5sin x . f (0) = (12x3 - ex - 5sin x)|x=0 = - 1

7 例 2　设 y = xlnx ， 求 y . 解　根据乘法公式，有 y = (xlnx) = x (lnx) + (x)lnx

8 例 3　设 求 y . 解　根据除法公式，有

9 例 4 设 f (x) = tan x， 求 f (x). 解 即 (tan x) = sec2x . 同理可得 (cot x) = - csc2x .

10 例 5　设 y = sec x， 求 y . 解　根据推论 2，有 即 (sec x) = sec x tan x . 同理可得 (csc x) = - csc x cot x .

11 另外可求得 (以后补证)

12 二、复合函数的微分法 定理 2 设函数 y = f (u)， u =  (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且 或 或

13 证　设变量 x 有增量 x， 　　　　　　　　　　　　　 相应地变量 u 有增量 u， 从而 y 有增量 y. 由于 u 可导， 即

14 　　推论　设 y = f (u) ， u =  (v)， v =  (x) 均可导，则复合函数 y = f [ ( (x))] 也可导，
且

15 例 6　设 y = (2x + 1)5，求 y . 　　解　把 2x + 1 看成中间变量 u， 将 y = (2x + 1)5看成是 y = u5，u = 2x + 1 复合而成， 由于 所以

16 例 7　设 y = sin2 x，求 y . 　　解　这个函数可以看成是 y = sin x · sin x, 可利用乘法的导数公式， 这里， 我们用复合函数求导法. 将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成. 而 所以

17 例 9　设 y = etan x，求 y . 　　解　 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成， 所以 　　复合函数求导数熟练后，中间变另可以不必写出.

18 例 10 求 y . 解　将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中. 这样可以直接写出下式

19 例 12　设 f (x) = arcsin(x2) ，求 f (x).
解

20 例 13 求 y . 解　这个复合函数有三个复合步骤 把这些中间变量都记在脑子中．

21 例 15 求 y . 解

22 例 16 ,求 y . 　　解　先用除法的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则.

23 例 17　设 y = sin(xln x)， 求 y . 解　先用复合函数求导公式， 再用乘法公式 y = cos(xln x) · (xln x) = cos(xln x) · (x · (ln x) + x  ln x ) = (1 + ln x)cos(x ln x) .

24 例 19 解　先用复合函数求导公式， 再用加法求导公式， 然后又会遇到复合函数 的求导.

25 例 20　设 y = sh x， 求 y . 解 即 (sh x)  = ch x . 同理可得 (ch x)  = sh x .

26 补证一下 (x) = x -1 . 所以 (x) = (elnx) = elnx · (ln x) 