问题1 设 问.

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1 问题1 设 问

2 问题1 设 问 答

3 问题1 设 问 答 问题2 在微分近似计算中， 在 点附近的近似公式是什么？

4 问题1 设 问 答 问题2 在微分近似计算中， 在 点附近的近似公式是什么？ 答 几何意义？

5 优点： 1.结构简单 2.计算方便 y x 不足: 1.精度不高 2.不能估计误差

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7 优点： y 1.结构简单 2.计算方便 不足: 1.精度不高 x 2.不能估计误差
不足: 1.精度不高 提问学生第一个式子的几何意义。教学目的：1。引导学生学习函数局部逼近的思想； 2。引导学生进行猜想；培养学生的创造性思维 2.不能估计误差

8 泰勒的主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书内首先提出了著名定理——泰勒定理，这公式是从格雷戈里－牛顿插值公式发展而成的，当x＝0时便称作马克劳林定理。1772年，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且称之为微分学基本定理。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量 函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者 。 泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要 。他透过求解方程 导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。此外，此书还包括了他于数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率问题之研究等。

9 y x 提问学生第一个式子的几何意义。教学目的：1。引导学生学习函数局部逼近的思想； 2。引导学生进行猜想；培养学生的创造性思维

10 应满足的条件 1.在 点相交 近似程度越来越好 2.有相同的切线 3.有相同的弯曲方向 请学生猜想多项式应满足的条件 …… ……

11 (3) 当 时 定理1 (皮亚诺型Taylor定理) 设 在 处有 阶导数,则
设 在 处有 阶导数,则 说明: (1)皮亚诺(Peano)型余项 阶Taylor 公式 (2)定性结论 (3) 当 时 的性质 分析: 在 点 阶可导 (2) 只需证

12 ( 在 与 之间). 定理2(拉格朗日型Taylor定理)
如果函数 在含有 的某个开区间 内具有直到 阶的导数,则当 在 内时, 可以表示为 的一个 次多项式与一个余项 之和: ( 在 与 之间). 其中

13 说明: (1)Lagrange型余项的 阶 Taylor公式
(2) 既是定量的，又是定性的 估计误差:如果当 时, 有 ,则 估计精度： (3)麦克劳林(Maclaurin)公式

14 常见函数的麦克劳林(Maclaurin)公式

15 数学试验

16 数学试验

17 数学试验

18 数学试验

19 思考题： 设 在包含 的区间 内有任意阶导 数，那么Taylor定理的结论会有怎样的改变？