全 微 分 欧阳顺湘 北京师范大学珠海分校 2004.12.28.

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1 全 微 分 欧阳顺湘 北京师范大学珠海分校

2 回忆：单变量函数的微分

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4 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.

5 一元函数的微分： 2/16

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7 微分考察：函数增量的近似计算 一元函数考察 二元函数考察

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9 例 函数增量计算

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11 微分考察：函数增量的近似计算 一元函数考察 二元函数考察 特别地，考察偏增量

12 Question: 二元函数的偏增量的近似计算

13 二元函数全微分的定义 一些假设条件 为考察下式 我们下面总是

14 二元函数全微分的定义

15 增量表达式的解释1

16 增量表达式的解释2

17 注1 若函数 在区域D内各点处都可微, 则称函数在D内可微.

18 注2 若函数 在点 处可微.则必连续.

19 Question 什么样的函数可微？（找必要条件） 对可微的函数，怎样求它的微分？ 上面的必要条件何时恰到好处，称为函数可微的充分条件？

20 可微的必要条件

21 注 偏导数存在不一定可微

22 可微的充分条件

23 连续、可导与可微的关系 四个概念之间的联系 函数可微 偏导数存在 偏导数连续 函数连续

24 多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数可导

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26 例 求函数 的全微分

27 二元函数全微分的几何意义 先回忆一元函数微分的几何意义

28 一元函数微分的几何意义 几何意义:(如图) T N P M ）

29 二元函数全微分的几何意义 11/16

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35 *全微分在近似计算中的应用 从而 13/16

36 解 得 14/16

37 第四节 偏导数的计算 多元复合函数的求导法则 定理1 设函数 在点 处 有偏导数, 而函数 在对应点 处可微 则复合函数 在点 处有偏导数,
第四节 偏导数的计算 多元复合函数的求导法则 定理1 设函数 在点 处 有偏导数, 而函数 在对应点 处可微 则复合函数 在点 处有偏导数, (1) 且 连锁法则

38 练习

39 例3.设 求 解

40 例1. 求 解 例2. 求 解

41 若函数 都在点 x 处可导, 推论1. 函数 在对应点 处可微, 则复合函数 在点 x 处可导, 且 全导数

42 推论2. 函数 则复合函数 在点 x 的导数 全导数 说明 以上公式都可推广到中间变量或自变量多于两个的情形.

43 如, 则 特别 注意 是在 中视 为常量,对 求偏导, 是在 中视 为常量,对 求偏导,

44 作 业 Page

45 The End