1.2 事件的频率与概率 一、事件的频率 二、概率的公理化体系 1.2 事件的频率与概率.

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1 1.2 事件的频率与概率 一、事件的频率 二、概率的公理化体系 1.2 事件的频率与概率

2 一、事件的频率 频率满足下述三条基本性质：

3 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率.
例1 试验 序号 2 3 1 5 4 0.4 0.6 0.2 1.0 0.8 22 25 21 24 18 0.44 0.50 0.42 0.48 0.36 0.502 0.498 0.512 0.506 0.492 0.488 251 249 256 253 246 244 随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性 波动最小

4 著名试验 蒲丰 试验者 德摩根 蒲 丰 皮尔逊 2048 1061 0.5181 4040 2048 0.5069 12000 6019 0.5016 24000 12012 0.5005

5 频率的稳定性和基本性质启示我们给出如下的公理化定义
从上述数据不难看出，频率具有如下特性 (1) 随机波动性 当n较小时, 频率 fn(A)在0~1之间随机波动, 其幅度较大, 即使对同样的n, 所得的频率 fn(A)也不尽相同； (2) 统计规律性 随n的增大, 频率fn(A)呈现出稳定性, 逐渐稳定于某个常数 p (如0.5). 因此, 用频率的这个稳定值来表示事件发生的可能性大小是合适的. 　 故把频率的这个稳定值 p 作为事件发生的可能性大小的度量, 称之为事件A的概率, 记作P(A). 即有 概率的统计定义 （无法计算） 频率的稳定性和基本性质启示我们给出如下的公理化定义

6 二、概率的公理化体系 1933年 , 苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公 理化体系, 给出了概率的严格定义, 使概率论有了迅速发展.
1933年 , 苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公 理化体系, 给出了概率的严格定义, 使概率论有了迅速发展. 定义2 设Ω为试验 E 的样本空间, Ω 的子集 A 是随机事件, 称实值函数 P(A) 为 A 的概率，如果 P(A) 满足下述三条公理

7 上述定义称为概率的公理化定义，由此定义容易推得
定理1（概率的基本性质） 满足上述三条公理的概率 P (A) 具有下列基本性质：

8 性质的证明 证 及概率的完全可加性得 证

9 证 证

10 加法定理 证 由 及性质得 加法公式的推广

11 例2 解  A B AB

12 Georges Louis Leclerc Comte de Buffon
蒲丰 Georges Louis Leclerc Comte de Buffon Born: 7 Sept 1707 in Montbard, Côte d'Or, France Died: 16 April 1788 in Paris, France

13 Andrey Nikolaevich Kolmogorov
柯尔莫哥洛夫 Andrey Nikolaevich Kolmogorov Born: 25 April 1903 in Tambov,Tambov 　 province,Russia Died: 20 Oct 1987 in Moscow,Russia