統計學 授課教師:林志偉 Email:cwlin@cyut.edu.tw Tel:5021.

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1 統計學 授課教師:林志偉 Tel:5021

2 上課時間 每週三20:00~22:20 上課教室:T2-109(管理大樓) 上課方式: (1)投影片 (2)板書 (3)期中.期末考試

3 課程用書 教課書 統計學 商業與管理的應用(教科書) 礎統計學 方世榮.張文賢 華泰文化 2012 四版

4 評量標準 小考30% 期中35% 期末35% 點名加分 (點到1次總分加1分) 

5 課程內容 機率分配 抽樣方法 估計 統計推論 變異數分析 卡方檢定 線性迴歸 

6 上學期重點複習

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8 1.1　何謂統計學 2/4 統計學是在對不確定的情況下，提供人們能做出聰明決策的科學方法與藝術，其過程包括資料的蒐集、整理、陳示、解釋與分析。透過此一過程，可根據分析的結果加以推論，從而可以獲得合理的研判與有效的結論。 基礎統計學 Chapter 1 緒論

9 1.1 何謂統計學 3/4 統計學能幫助人們在面對不確定的情況下做出決策。
1.1　何謂統計學 3/4 統計學能幫助人們在面對不確定的情況下做出決策。 統計學的主要內容包括統計理論與統計方法。統計理論是研究與闡明統計方法的理論。 統計方法區分為敘述統計(descriptive statistics)與推論統計(inferential statistics)。 基礎統計學 Chapter 1 緒論

10 1.2　統計學的兩個基本概念――母體與樣本 1/3 母體：調查者所欲研究的全部對象所成的集合。 樣本：母體的部分集合。 我們可將母體視為宇集(universal set)，其所包含的元素(element)即為所欲研究的全部個體（對象）；若所包含的元素個數為有限的，則稱為有限母體(finite population)；反之，元素個數為無限，則稱為無限母體(infinite population)。 基礎統計學 Chapter 1 緒論

11 母體與樣本 基礎統計學 Chapter 1 緒論

12 1.2　統計學的兩個基本概念――母體與樣本 3/3 用來描述母體的特徵量數稱為參數或母數(parameter)，而描述樣本的特徵量數稱為統計量(statistic)。例如母體平均數、母體標準差、母體比例等，皆屬於參數，而其對應的統計量為樣本平均數、樣本標準差、樣本比例。 基礎統計學 Chapter 1 緒論

13 1.3 統計學的用途 1.3.1 統計的功用 使得資訊變得有意義 處理不確定性的問題 分析各種變項之間的關係 預測
1.3　統計學的用途 1.3.1　統計的功用 使得資訊變得有意義 處理不確定性的問題 分析各種變項之間的關係 預測 1.3.2　統計在經營決策中的應用 統計在經營決策中的應用範圍 統計在經營決策中應用的流程 基礎統計學 Chapter 1 緒論

14 2.1　資料的形態 1/4 統計資料一般是由一個或多個變數之值所組成，所謂變數(variable)乃是一種具有不同值或結果的特徵之衡量，凡一切可計量的特徵皆稱為變數，而變數的量（或值）稱為變量(variate)。例如：年齡為一變數，其變量可能為1至120；另外，性別、所得、長度、物價等等，亦皆為變數。 基礎統計學 Chapter 2 敘述統計(I)――列表法與圖示法

15 2.1 資料的形態 2/4 質的資料亦稱屬性資料，係依據資料的屬性或類別之尺度來區分的資料，故又稱為類別資料(category data)
2.1　資料的形態 2/4 質的資料亦稱屬性資料，係依據資料的屬性或類別之尺度來區分的資料，故又稱為類別資料(category data) 例如血型、等級、膚色、教育程度、性別、國別、地區別、良品或不良品等資料皆屬之。 例如年齡、身高、體重、分數、意外事件次數、溫度、速度等等皆屬之，它們皆可用數字表達。 量的資料亦稱為屬量資料，係依據數字尺度所衡量得出的資料。 基礎統計學 Chapter 2 敘述統計(I)――列表法與圖示法

16 2.1 資料的形態 3/4 量的資料一般又可區分為間斷資料(discrete data)與連續資料(conti-nuous data)。
2.1　資料的形態 3/4 量的資料一般又可區分為間斷資料(discrete data)與連續資料(conti-nuous data)。 基礎統計學 Chapter 2 敘述統計(I)――列表法與圖示法

17 2.2.2 資數分配表的編製 2/8 2.次數分配表編製實例 例題2.2 觀光系二年級30位學生統計學請假節數的記錄如下，試編製次數分配表。
2.2.2　資數分配表的編製 2/8 2.次數分配表編製實例 例題2.2 觀光系二年級30位學生統計學請假節數的記錄如下，試編製次數分配表。 基礎統計學 Chapter 2 敘述統計(I)――列表法與圖示法

18 2.2.2　資數分配表的編製 3/8 解 簡單次數分配表可採列舉式的分組方式，即按數值大小依序排列。由於學生請假節數從0至6節，故共分為7組。然後再計算各組次數，最後計算總次數，參閱表2.1。 表 名學生全年請假節數分配表 基礎統計學 Chapter 2 敘述統計(I)――列表法與圖示法

19 2.2.2 資數分配表的編製 4/8 例題2.3 假定某一班級48個學生的統計學學期成績如下所示，試編製一次數分配表
2.2.2　資數分配表的編製 4/8 例題2.3 假定某一班級48個學生的統計學學期成績如下所示，試編製一次數分配表 基礎統計學 Chapter 2 敘述統計(I)――列表法與圖示法

20 48位學生統計學成績之次數分配 基礎統計學 Chapter 2 敘述統計(I)――列表法與圖示法

21 2.2.3 相對次數分配與累積次數分配 3/3 解 表2.2之相對次數與累積次數（包括以下累積與以上累積）分別計算於表2.3中：
2.2.3　相對次數分配與累積次數分配 3/3 解 表2.2之相對次數與累積次數（包括以下累積與以上累積）分別計算於表2.3中： 表 2.3 表 2.2之相對次數分配與累積次數分配 基礎統計學 Chapter 2 敘述統計(I)――列表法與圖示法

22 2.3　次數分配的圖示法 直方圖(histogram)係以長方形面積大小，表示次數分配中各組次數的一種統計圖。此種圖形的橫座標代表各組的組界(class boundary)，而縱座標則表示組次數。 例題2.5 參考表2.2，試繪製48位學生統計學成績之直方圖。 基礎統計學 Chapter 2 敘述統計(I)――列表法與圖示法

23 48位學生統計學成績之直方圖 基礎統計學 Chapter 2 敘述統計(I)――列表法與圖示法

24 次數曲線（修勻的平滑曲線） 基礎統計學 Chapter 2 敘述統計(I)――列表法與圖示法

25 2.3.4　其他類型的統計圖 長條圖(bar chart)又簡稱為條圖，係由若干平行條狀的矩形所構成，而以長條（即每一矩形）的長矩（或高度）代表統計量數或百分比的大小。 面積圖是以平面圖形面積的大小，表示次數分配之次數與相對次數的統計圖，適用於質的資料與間斷資料。由於所使用的平面圖形以圓形較為普遍。 基礎統計學 Chapter 2 敘述統計(I)――列表法與圖示法

26 橫條圖之例 基礎統計學 Chapter 2 敘述統計(I)――列表法與圖示法

27 縱條圖之例 基礎統計學 Chapter 2 敘述統計(I)――列表法與圖示法

28 長條圖之例 基礎統計學 Chapter 2 敘述統計(I)――列表法與圖示法

29 3.1　集中趨勢量數 1/21 集中趨勢量數(measures of central tendency)亦簡稱為集中量數，它代表一組資料中，各個個體的某種特性有共同的趨勢存在之量數，又因其可反映該組資料觀測值集中的位置，故又稱為位置量數(location measures)。 較常用的集中趨勢量數有平均數、加權平均數、中位數、眾數與百分位數 基礎統計學 Chapter 3 敘述統計(II)――統計數量

30 3.1　集中趨勢量數 2/21 3.1.1　平均數 平均數 (mean)可說是最重要的集中趨勢量數，它可作為一組資料的代表值。一般而言，平均數具有簡化作用、代表作用及比較作用等幾項功用： 設一組資料有n個數值，x1, x2,…,xn，則其平均數為： 基礎統計學 Chapter 3 敘述統計(II)――統計數量

31 3.1　集中趨勢量數 12/21 一組n個數值的資料x1,x2,…,xn，若按大小順序排列，則其中位數為位於中間位置的數值，亦即：當n為奇數時，第　　　位置的數值為其中位數；當n為偶數時，　　　與 （或　　）位置之二數值的平均為其中位數。 中位數為將一組資料分為相等兩半的數值。 例題3.5 求下列二組資料之中位數： 基礎統計學 Chapter 3 敘述統計(II)――統計數量

32 3.1 集中趨勢量數 14/21 3.1.4 眾數 眾數(mode)亦為一種集中趨勢量數，一般均以符號Mo表示，其意義為： 例題3.7
3.1　集中趨勢量數 14/21 3.1.4　眾數 眾數(mode)亦為一種集中趨勢量數，一般均以符號Mo表示，其意義為： 例題3.7 試求出下列三組資料之眾數： 一組資料中，出現次最多的數直即為眾數 基礎統計學 Chapter 3 敘述統計(II)――統計數量

33 3.1　集中趨勢量數 18/21 例題3.8 在某一十字路口測量噪音水準，記錄50個觀測值，由小而大依序排列，如表3.1所示。試求出P25, P30, P50, P75。 表 3.1 噪音水準的觀測值（以分貝為單位） 基礎統計學 Chapter 3 敘述統計(II)――統計數量

34 3.2　差異量數 1/20 差異量數(dispersion measures)則在衡量一組資料中，各個觀測值之間的差異或離散的程度（故差異量數亦有稱為離散量數者） 重要的差異量數，包括全距、四分位差、平均偏差、標準差（與變異數）及變異係數。 基礎統計學 Chapter 3 敘述統計(II)――統計數量

35 3.2 差異量數 2/20 3.2.1 全距 一組資料中，數值最大者與最小者之差稱為全距(range)，一般以英文字母R表示。 例題3.9
3.2　差異量數 2/20 3.2.1　全距 一組資料中，數值最大者與最小者之差稱為全距(range)，一般以英文字母R表示。 例題3.9 設有二組資料如下： 試求出其全距、平均數與中位數，並作比較。 基礎統計學 Chapter 3 敘述統計(II)――統計數量

36 3.2　差異量數 4/20 3.2.2　四分位差 為克服以全距測度差異程度所產生的缺點，我們不利用此二個極端值（即最大觀測值與最小觀測值），而改用資料的第三個四分位數Q3與第一個四分位數Q1之差，以測度差異情況；此即四分位距(inter-quartile-range; IQR)的觀念。 四分位差(quartile deviation)，通常以符號Q.D.表示，亦即： 基礎統計學 Chapter 3 敘述統計(II)――統計數量

37 3.2　差異量數 7/20 3.2.3　平均偏差 平均偏差(mean absolute deviation; MAD)，乃是各個數值之離差取絕對值 例題3.11 求算5, 6, 7, 9, 23與5, 6, 7, 9兩組資料之平均偏差。 基礎統計學 Chapter 3 敘述統計(II)――統計數量

38 3.2 差異量數 11/20 3.2.4 變異數與標準差 設有一組資料（母體）x1, x2,…,xN，其平均數為： 則變異數的計算式為
3.2　差異量數 11/20 3.2.4　變異數與標準差 設有一組資料（母體）x1, x2,…,xN，其平均數為： 則變異數的計算式為 母體變異數以σ2其意義是各項數值之離差取平方後再求平均。母體標準差一般以σ表示，亦即： 基礎統計學 Chapter 3 敘述統計(II)――統計數量

39 3.3　平均數與標準差的一些應用 1/8 3.3.1　變異係數 所謂相對差異量數乃為絕對差異量數與某一集中趨勢量數或其他適當數值之比，其為無名數，即與原資料的單位無關，且通常以百分比表示。一種比較常見的相對差異量數，即為變異係數(coefficient of variation)，通常以CV表示，其定義如下： 基礎統計學 Chapter 3 敘述統計(II)――統計數量

40 3.5　探索性資料分析 1/6 1.枝葉圖 枝葉圖(stem-and-leaf display)亦是描述資料特性的一種統計圖，其外觀與直方圖（或長條圖）相似，但比後者可提供較多的資訊。枝葉圖適用於量的資料，它是依觀測值之最前面（左邊）的數字排成橫列而構成的，其繪製步驟如下： 考慮觀測值的大小，選擇其前一位數或二位數，由小至大寫成一行，並劃一垂直線。這些數字乃稱為前置(leading)數字；一般而言，若觀測值為二位數，則前置數字取一位；若觀值為三位數，則前置數字取二位。 就每一觀測值記錄其剩餘的數字於垂直線的右邊，並置於觀測值所對應的橫列上。 最後，就每一列之右端的數字依遞增次序排列。 基礎統計學 Chapter 3 敘述統計(II)――統計數量

41 3.5　探索性資料分析 3/6 圖 位學生統計學成績之枝葉圖 基礎統計學 Chapter 3 敘述統計(II)――統計數量

42 3.5　探索性資料分析 4/6 2.盒鬚圖 所謂盒鬚圖(box-and-whisker plot)乃是將某些集中趨勢量數與差異量數，利用圖形表現出來的一種圖示法，藉由這些量數可洞察資料彙總性的特徵，並可作兩組或兩組以上的統計資料之比較。由於盒鬚圖包括了最小值、第一個四分位數(Q1)、中位數(Me)、第三個四分位數(Q3)以及最大值等五個量數，因此有時又稱為5個彙總量數圖形(five-number summary plot)。 基礎統計學 Chapter 3 敘述統計(II)――統計數量

43 3.5 探索性資料分析 5/6 圖3.4 表3.1噪音水準資料的盒鬚圖 圖3.5 二組資料之盒鬚圖的比較
3.5　探索性資料分析 5/6 圖3.4 表3.1噪音水準資料的盒鬚圖 圖3.5 二組資料之盒鬚圖的比較 基礎統計學 Chapter 3 敘述統計(II)――統計數量

44 4.1 導 論 1/2 機率理論是在探討「如何由一已知的母體特徵去推斷一未知的樣本特徵」。 日常生活中，我們常聽到下列的用語：
4.1　導　論 1/2 機率理論是在探討「如何由一已知的母體特徵去推斷一未知的樣本特徵」。 日常生活中，我們常聽到下列的用語： 「本週末可能會下雨，因此郊遊活動很可能要取消」； 「明天某公司的股票可能會漲」； 「今天的棒球賽，甲隊很不可能贏乙隊」。 機率是衡量某一不確定事件可能發生的程度（機會大小），並針對此一不確定事件發生之可能性賦予一量化的數值。 基礎統計學 Chapter 4 機率

45 4.1　導　論 2/2 機率乃是統計推論的基礎，可藉以尋求更理想的推論方法，並藉機率值的大小及其觀念，以表示推論結果的準確性。機率亦是統計決策理論的重要工具，因為決策往往是在不確定性的情況下判斷，而機率則專門在探討不確定性的問題，因此藉由機率理論，可提供決策抉擇的參考。 基礎統計學 Chapter 4 機率

46 4.2 隨機試驗、樣本空間與事件 1/8 隨機試驗(random experiment)的意義：
4.2　隨機試驗、樣本空間與事件 1/8 隨機試驗(random experiment)的意義： 隨機試驗必須能滿足下列三個條件： 試驗可以在相同的條件下重複進行。 試驗的所有可能結果是明確可知的，且不止一個。 每次試驗必定僅出現這些可能結果中的一個，但試驗之前無法肯定該次試驗會出現哪一個可能結果。 觀察一可產生各種可能結果(outcome)的過程，稱為試驗；而若各種可能結果的出現（或發生）具有不確定性，則此一過程便稱為隨機試驗。 基礎統計學 Chapter 4 機率

47 4.2　隨機試驗、樣本空間與事件 2/8 一隨機試驗之各種可能結果的集合，稱為樣本空間(sample space)；樣本空間內的每一元素，稱為樣本點(sample point)。 例題4.1 自一批產品隨機抽出三件加以檢驗，由於每次檢驗皆僅有二種可能結果，即良品(G)與不良品(D)，且每次的可能結果皆不確定，因此它是隨機試驗。此隨機試驗的樣本空間可用樹狀圖的方式列舉出來，如圖4.1所示： 基礎統計學 Chapter 4 機率

48 4.2 隨機試驗、樣本空間與事件 3/8 圖4.1中，樣本點GGG代表三件產品皆為良品。樣本空間則為：
4.2　隨機試驗、樣本空間與事件 3/8 圖4.1 檢驗三件產品之樣本空間的樹狀圖 圖4.1中，樣本點GGG代表三件產品皆為良品。樣本空間則為： 基礎統計學 Chapter 4 機率

49 4.2 隨機試驗、樣本空間與事件 4/8 僅含有限個樣本點的樣本空間，稱為有限樣本空間；含有無限多個樣本點的樣本空間，稱為無限樣本空間。
4.2　隨機試驗、樣本空間與事件 4/8 僅含有限個樣本點的樣本空間，稱為有限樣本空間；含有無限多個樣本點的樣本空間，稱為無限樣本空間。 表4.1　有限樣本空間與無限樣本空間之舉例 基礎統計學 Chapter 4 機率

50 4.2 隨機試驗、樣本空間與事件 5/8 在計算隨機試驗可能出現的結果 乘數定理
4.2　隨機試驗、樣本空間與事件 5/8 在計算隨機試驗可能出現的結果 乘數定理 設一個隨機試驗包含k個試驗E1,E2,…,Ek，若每一試驗Ej有nj種結果，j=1,2,…,k，則該隨機試驗有n1×n2×…×nk種可能結果。 排列 自一個含有m個元素的集合中，一次抽取n個元素（或每抽取一個，抽出不放回，連續抽取n個），則共有　 個不同排列的樣本組，其排列數為： （其中m!視為是m階乘，代表：m!=m(m–1)(m–2)…(1)） 基礎統計學 Chapter 4 機率

51 4.2　隨機試驗、樣本空間與事件 7/8 組合 自一個含有m個元素的集合中，一次抽取n個元素，若不考慮n個元素被抽中元素的順序，則共有　　 個不同組合，其組合數為： 例題4.3 目前台灣地區盛行的威力彩，乃從1號到49號任選6個號碼，若所下注的6個號碼與威力彩開出的號碼完全相同，即中頭彩。試問簽注威力彩共有幾種可能的號碼組合？ 解 基礎統計學 Chapter 4 機率

52 4.2　隨機試驗、樣本空間與事件 8/8 事件(event)乃樣本空間的部分集合（子集）；每一樣本點皆為樣本空間的子集，故亦皆為事件，稱為簡單事件(simple event)；而含有兩個以上的樣本點之事件，稱為複合事件(compound event)。 基礎統計學 Chapter 4 機率

53 4.3 機率測度的方法 1/7 4.3.1 古典方法 限制條件：樣本空間必須是有限的樣本空間。
4.3　機率測度的方法 1/7 4.3.1　古典方法 限制條件：樣本空間必須是有限的樣本空間。 基本假設：假設樣本空間內的每一樣本點之出現的機會皆相同。 古典方法的機率測度 在一有限的樣本空間S中，某一事件E的機率P(E)定義為： 式中n(S)與n(E)分別代表樣本空間與事件所包含的樣本點個數。 (4-1) 基礎統計學 Chapter 4 機率

54 4.4　機率的性質 1/12 4.4.1　事件機率的性質 假定一有限樣本空間S={e1, e2, …, en}與事件E={e1, e2, …, ek}，且每一樣本點的機率為P(ei)，i=1, 2, …, n；若事件E為S的子集，則很顯然： 基礎統計學 Chapter 4 機率

55 4.4　機率的性質 4/12 圖4.3 聯合事件與互斥事件 例題4.11 擲一骰子，其樣本空間為S={1, 2, 3, 4, 5, 6}。令A表示奇數點的事件，B表示偶數點的事件，C表示小於4點的事件，亦即： 基礎統計學 Chapter 4 機率

56 4.4 機率的性質 6/12 例題4.12 例4.11中，A、B與C的餘事件分別為： 很顯然，由此例子我們可發現餘事件的一個重要性質，即：
4.4　機率的性質 6/12 圖4.4　A的餘事件（陰影部分） 例題4.12 例4.11中，A、B與C的餘事件分別為： 很顯然，由此例子我們可發現餘事件的一個重要性質，即： 　一事件之餘事件的餘事件，必為原來的事件。例如： 則 基礎統計學 Chapter 4 機率

57 4.4 機率的性質 7/12 加法法則 若A、B為任意兩事件，則： 互斥事件之加法法則 若A、B為互斥事件，則： 例題4.13
4.4　機率的性質 7/12 加法法則 若A、B為任意兩事件，則： 互斥事件之加法法則 若A、B為互斥事件，則： 例題4.13 擲一粒骰子兩次，試求出點數和為7或第一次為4點之機率。 基礎統計學 Chapter 4 機率

58 4.5 條件機率與獨立事件 1/14 已知B事件發生之下，另一事件A發生的機率，稱為在B發生條件下，A的條件機率，記作P(A|B)。
4.5　條件機率與獨立事件 1/14 已知B事件發生之下，另一事件A發生的機率，稱為在B發生條件下，A的條件機率，記作P(A|B)。 例題4.16 某公司欲招聘一位大專畢業的職員，假定前來應徵者共有20名，其中有15位是公立學校畢業，5位是私立學校畢業；此外，這20名應徵者中有12位是男性，8位是女性，且私立學校畢業之男性只有2人。假定每位應徵者被錄取的機會均相同，試求出： 被錄取者為男性的機率。 被錄取者為男性且為公立學校畢業的機率。 已知被錄取者為男性，問其為公立學校畢業的機率。 基礎統計學 Chapter 4 機率

59 4.5 條件機率與獨立事件 7/14 條件機率 已知B事件發生下，A的條件機率記作P(A|B)，並以公式定義如下： 乘法法則
4.5　條件機率與獨立事件 7/14 條件機率 已知B事件發生下，A的條件機率記作P(A|B)，並以公式定義如下： 乘法法則 設A、B為任意二事件，則聯合事件A∩B的機率（聯合機率）為： 基礎統計學 Chapter 4 機率

60 4.5 條件機率與獨立事件 12/14 4.5.2 獨立事件 獨立事件 設A、B為任意兩事件，若： 或者：
4.5　條件機率與獨立事件 12/14 4.5.2　獨立事件 獨立事件 設A、B為任意兩事件，若： 或者： 則A與B兩事件獨立，否則即為相依(dependent)。 獨立事件之機率乘法法則 若A、B為二獨立事件，則： 基礎統計學 Chapter 4 機率

61 4.6　貝氏定理 1/13 前面幾節所探討的事件機率，基本上大多屬於一種主觀的估計，亦即在了解母體之特性後，便可根據機率理論或機率法則求出某一樣本（事件）出現的機率，這種機率稱為事前機率(prior probability)。然而，若我們能更進一步地了解樣本（事件）的特性，即設法取得有關樣本（事件）之額外的資訊(additional information)，則可對原先的事前機率加以修正，如此所求得的機率稱為事後機率(posterior probability)。通常這些額外的資訊，大多以條件機率的形式表示，即在某一特定事件已知發生之下，另一事件之機率。上述這種結合事前機率與條件機率（額外資訊），以導出事後機率的過程，即為貝氏定理(Bayes' theorem)。 基礎統計學 Chapter 4 機率

62 4.6　貝氏定理 2/13 假定任二事件A與B的機率已知為P(A)與P(B)，設P(A)為事前機率，且可獲得額外資訊（即條件機率）P(B|A)，則依據貝氏定理可求得事後機率P(A|B)，其過程如下： 我們可將貝氏定理用數學式表示如下： 基礎統計學 Chapter 4 機率

63 4.6　貝氏定理 11/13 例題4.22 某工廠使用A1、A2、A3三部機器製造某產品，已知A1機器生產全部產品之20%，A2生產全部之30%，A3生產全部之50%。依過去經驗知，A1、A2、A3三部機器所生產的產品不良率分別為5%、4%與2%。試求： 由全部產品中任意抽出一個，其為不良品之機率。 已知其為不良品後，計算此產品來自A1機器的機率。 基礎統計學 Chapter 4 機率

64 基礎統計學 Chapter 4 機率

65 5.1 隨機變數 1/4 隨機變數係以樣本空間為定義域的實數值函數。
5.1　隨機變數 1/4 隨機變數係以樣本空間為定義域的實數值函數。 假定擲一硬幣兩次，則其樣本空間S={HH, HT, TH, TT}；若定義隨機變數X代表正面的個數，則X之可能值（函數值）為x=0, 1, 2，其與樣本點之對應關係如圖5.1所示： 圖5.1　隨機變數與樣本空間的對應關係 基礎統計學 Chapter 5 機率分配

66 5.1 隨機變數 2/4 例題5.1 試寫出下列隨機變數之可能值： (a)X代表擲一硬幣三次，出現正面之次數。
5.1　隨機變數 2/4 例題5.1 試寫出下列隨機變數之可能值： (a)X代表擲一硬幣三次，出現正面之次數。 (b)一箱子中裝有10個球，其中4個為紅球、6個為白球。採不放回抽樣，連續抽出5個球，令Y代表可能出現之紅球個數。 (c)Z代表某十字路口下個月內發生車禍的次數。 (d)T代表某一品牌日光燈管的壽命長度。 基礎統計學 Chapter 5 機率分配

67 5.1　隨機變數 4/4 一隨機變數如果其可能值的個數為有限的，或雖無限但為可計數的(countable)，則稱之為間斷型或離散型(discrete)隨機變數；反之，若一隨機變數其可能值的個數為無限且為不可計數的，亦即係以連續測度者，則稱為連續型(continuous)隨機變數。連續隨機變數是表示測量的(measurable)資料，如身高、體重、溫度與時間等；間斷隨機變數則表示計數的(countable)資料，如不良品的個數、意外事件次數、班級人數等。 基礎統計學 Chapter 5 機率分配

68 5.2　機率分配 1/29 機率分配乃是針對某些隨機變數之可能值或某一範圍之隨機變數的可能值，求其機率者。機率分配本質上亦是一函數，稱為機率函數(probability function)，其定義域為隨機變數之可能值，而其值域則為相對應的機率值。 基礎統計學 Chapter 5 機率分配

69 樣本空間、隨機變數與機率分配三者間的關係
基礎統計學 Chapter 5 機率分配

70 5.2　機率分配 4/29 解 擲一公正硬幣三次，其樣本空間與隨機變數之可能值x，列示如下表： 基礎統計學 Chapter 5 機率分配

71 5.2　機率分配 5/29 由於樣本空間之每一樣本點出現的機率皆相同，故每一簡單事件的機率皆為　。又x=3出現一次，故其對應的機率值為　，而x=2, 1，各出現3次，故其機率值為 ，同理x=0的機率值為　。最後，將X之機率分配彙總列於表5.1： 表5.1　擲一公正硬幣三次，出現正面次數X之機率分配 基礎統計學 Chapter 5 機率分配

72 5.2 機率分配 6/29 一間斷隨機變數X之機率分配可以函數表示，即： 其中f(xi)必須滿足：
5.2　機率分配 6/29 一間斷隨機變數X之機率分配可以函數表示，即： 其中f(xi)必須滿足： (1)對於X中的每一 xi，0 ≤ f ( xi ) ≤ 1。 (2) 　，X之可能值為xi，i =1, 2, …, k。 基礎統計學 Chapter 5 機率分配

73 5.2　機率分配 7/29 圖5.3　例5.2之機率分配線圖 圖5.4　例5.2之機率直方圖 基礎統計學 Chapter 5 機率分配

74 5.2　機率分配 17/29 5.2.2　連續機率分配 圖5.6(c)中的曲線稱為連續隨機變數X之機率密度曲線(probability density curve)，其數學式f(x)稱為連續隨機變數X之機率密度函數(probability density function)，簡稱為p.d.f.。 連續機率分配與間斷機率 分配相對應的性質敘述如下： (1) 直方圖之面積總和為1。 (2) 就某些組的邊界點a與b而言，介於a與b之相對次數為該區間內，直方圖所表示的面積。 基礎統計學 Chapter 5 機率分配

75 圖5.6 機率密度曲線為相對次數直方圖之極限形式（假想的例子：初生嬰兒體重之相對次數分配）
圖5.6　機率密度曲線為相對次數直方圖之極限形式（假想的例子：初生嬰兒體重之相對次數分配） 基礎統計學 Chapter 5 機率分配

76 5.2　機率分配 20/29 一連續隨機變數之機率密度函數f(x)，並不代表事件[X=x]之機率。相反的，機率密度函數乃描述區間[a, b]之機率為該曲線下，在此區間內之面積。因此，就某一點x而言，其區間距離為0，故面積為0，亦即P(X=x)=0。 基礎統計學 Chapter 5 機率分配

77 5.2　機率分配 21/29 求算間斷機率分配時，採用加總的符號Σ，而計算連續隨機變數之機率時，由於是計算曲線下的面積，故採用積分符號∫。例如上述p.d.f.之性質(1)與(2)可改寫成： 基礎統計學 Chapter 5 機率分配

78 圖5.7 計算P(a<X<b)與P(X>b)之圖例
基礎統計學 Chapter 5 機率分配

79 5.4　期望值與變異數 1/12 5.4.1　間斷機率分配的期望值 設X為一間斷隨機變數，其機率分配為f(x)，則X之平均數亦稱為X的期望值(expected value)，記作E(X)。E(X)即上述母體平均數μ的觀念，兩者通常交替使用。 一間斷隨機變數X的平均數或期望值： 式中x乃在X之可能值X(S)的範圍內，而f(x)則為X之機率分配。 基礎統計學 Chapter 5 機率分配

80 5.4 期望值與變異數 2/12 例題5.9 假設X代表擲一公平硬幣三次中出現正面的次數，試求X的期望值。 解
5.4　期望值與變異數 2/12 例題5.9 假設X代表擲一公平硬幣三次中出現正面的次數，試求X的期望值。 解 參考例5.2，茲將表5.1中機率分配列出，並計算xf(x)，如下表所示： 基礎統計學 Chapter 5 機率分配

81 5.4 期望值與變異數 3/12 由此可知，X之期望值為： 例題5.10
5.4　期望值與變異數 3/12 由此可知，X之期望值為： 例題5.10 某旅行團規定每位遊客須參加意外險，保險金額是每位遊客$100,000。假設每次旅遊發生事故的機率為　　，則平均的保費應為多少？ 基礎統計學 Chapter 5 機率分配

82 5.4 期望值與變異數 4/12 解 保險公司將付給每位遊客$100,000的機率是 ，令X代表保險公司付給遊客之金額，則X之機率分配如下：
5.4　期望值與變異數 4/12 解 保險公司將付給每位遊客$100,000的機率是 ，令X代表保險公司付給遊客之金額，則X之機率分配如下： 因此，平均保費可計算X之期望值得之，即： 基礎統計學 Chapter 5 機率分配

83 5.4 期望值與變異數 9/12 5.4.3 間斷機率分配的變異數 X的變異數定義為平方差(X-μ)2的期望值，記為Var(X)或σ2。
5.4　期望值與變異數 9/12 5.4.3　間斷機率分配的變異數 X的變異數定義為平方差(X-μ)2的期望值，記為Var(X)或σ2。 例題5.13 參考例5.9，試求X之變異數與標準差。 令X為一間斷隨機變數，其機率分配為f(x)，則X的變異數為： 基礎統計學 Chapter 5 機率分配

84 5.4 期望值與變異數 10/12 解 由例5.9知X的期望值μ= ，利用下表更易於計算： 由此可知，Var(X)= ，故標準差
5.4　期望值與變異數 10/12 解 由例5.9知X的期望值μ=　，利用下表更易於計算： 由此可知，Var(X)=　，故標準差 基礎統計學 Chapter 5 機率分配

85 5.4 期望值與變異數 11/12 以(5-16)式計算變異數有時候很繁雜，以下我們提供另一較簡化的計算公式：
5.4　期望值與變異數 11/12 以(5-16)式計算變異數有時候很繁雜，以下我們提供另一較簡化的計算公式： (5-17)式的推導頗為簡單，茲說明如下： 基礎統計學 Chapter 5 機率分配

86 5.4　期望值與變異數 12/12 依前述定義知， 　，且 ，故上式可簡化為： 基礎統計學 Chapter 5 機率分配

87 5.5　期望值與變異數的性質 1/11 5.5.1　期望值的性質 設一隨機變數X，其函數g(X)=aX+b，其中a與b為任意常數，則g(X)的期望值與E(X)的關係如下： 此性質很容易推導，說明如下： 基礎統計學 Chapter 5 機率分配

88 5.5 期望值與變異數的性質 3/11 設X與Y為任意二個隨機變數，其聯合分配為f(x, y)，則X與Y之和及差的期望值為：
5.5　期望值與變異數的性質 3/11 設X與Y為任意二個隨機變數，其聯合分配為f(x, y)，則X與Y之和及差的期望值為： 設兩個隨機變數X與Y互為獨立，則： 基礎統計學 Chapter 5 機率分配

89 5.5 期望值與變異數的性質 4/11 例題5.14 參考例5.11，重新計算g(X)=2X+1之期望值。 解
5.5　期望值與變異數的性質 4/11 例題5.14 參考例5.11，重新計算g(X)=2X+1之期望值。 解 由例5.9知， ，於是由(5-18)式知， 此結果與例5.11相同。 基礎統計學 Chapter 5 機率分配

90 5.5 期望值與變異數的性質 9/11 5.5.2 變異數的性質 設一隨機變數X，其函數g(X)=aX+b之變異數與Var(X)之關係如下：
5.5　期望值與變異數的性質 9/11 5.5.2　變異數的性質 設一隨機變數X，其函數g(X)=aX+b之變異數與Var(X)之關係如下： 當a=0時，(5-24)式變為： 當b=0時，(5-24)式變為： 基礎統計學 Chapter 5 機率分配

91 香腸阿伯 每條香腸成本是20元,售價為30元 打中1條的機率是0.4 打中2條的機率是0.2 打中3條的機率是0.1
打一次要付多少錢,阿伯才不會賠錢? 打一次定價為多少錢以下,對顧客才有吸引力? 基礎統計學 Chapter 5 機率分配

92 百貨福袋 百貨公司週年慶 抽中汽車($100萬)的機率為0.0001 抽中10萬禮卷的機率為0.001 抽中3千元禮卷的機率為0.01
請問百貨公司每份福袋定價500元是否賠錢? 基礎統計學 Chapter 5 機率分配