第十章 轉動 10-2 轉動的變數 10-3 角量是向量嗎？ 10-4 等角加速度轉動 10-5 線與角變數的關連

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1 第十章 轉動 10-2 轉動的變數 10-3 角量是向量嗎？ 10-4 等角加速度轉動 10-5 線與角變數的關連
10-2 轉動的變數 角量是向量嗎？ 10-4 等角加速度轉動 10-5 線與角變數的關連 10-6 轉動動能 轉動慣量的計算 10-8 力矩 轉動的牛頓第二定律 10-10 功和轉動動能

2 10-2 轉動的變數 剛體: 指所有部份都可固定在一起轉動，且不會有任何變形產生的物體。 角變量： 角位移q：可以告知物體旋轉了多遠。
角速度w：可以告知物體旋轉多快。 角加速度a：可以告知角速度變化多快。

3 10-2 轉動的變數 角位置 : θ= s/r (弳度量(rad))
測量角度最適切的單位是弧度(rad)；其定義是弧長s (沿著圓周測量的長度) 除以圓的半徑( q = s / r )。 角位置 : θ= s/r (弳度量(rad)) 1 圈 = 360o = 2πr / r = 2π弳度 1 弳度 = 57.3o = 圈

4 10-2 轉動的變數 角位移的定義： 沿逆時針方向的角位移為正向，沿順時針方向的角位移為負向。

5 10-2 轉動的變數 角速度的定義： 平均角速度 瞬時角速度
角速度的單位一般是每秒幾徑度 (rad/s) or 每秒幾圈 (rev/s) or 每分鐘轉幾圈 (rpm) ；通常將逆時針方向是為正向。

6 10-2 轉動的變數 角加速度的定義： 平均角加速度 瞬時角加速度
角加速度的單位一般是每秒平方幾徑度 ( rad/s2 ) or 每秒平方幾圈 ( rev/s2 ) ；通常將逆時針方向是為正向。

7 例題 10- ex1 地球的角速率 地球是以軸為中心自轉。請問它的角速率是多少 rad/s？( 這個問題要求的是角速率，因此我們不必理會旋轉方向。) 地球自轉一圈需時一日。自轉的角位移是 2π rad。亦即在Δt = 1日這段時間內，地球的角位移是 Δθ = 2π rad。因此地球的角速率是 2π rad/日。把日換算成秒 (s)。

8 測試站 1 圖中為一均勻圓盤，可以繞著中心軸旋轉，下列各組值分別代表其初與末角位置，試問哪一組之角位移為負值？(a) -3 rad , +5 rad (b) -3 rad , -7 rad (c) 7 rad , -3 rad 。

9 10-3 角量是向量嗎？ 角向量的方向：角速度、角加速度皆可視為向量(軸向量)，我們以右手定則訂定軸向量之方向。
角位移不可視為向量(軸向量)，因為角位移不滿足向量之交換律。

10 10-4 等角加速度轉動

11 測試站 2 一旋轉物體的角位置θ(t)分別為(a) θ= 3t-4 (b) θ= -5t3 + 4t2 + 6 (c) θ= 2/t2 – 4/t (d) θ= 5t2 -3 。試問那些適用等角加速運動公式？

12 例題 下圖為一以等角加速度α=0.35 rad/s2繞著中心旋轉之磨石輪，t = 0 時，其角速度為ωo= rad/s，參考線是水平的，角位置θo=0。(a) t >0時，於何時參考線的角位置θo= 5.0 rev？(b)試描述石輪於這段時間內的轉動狀態。(c)石輪於何時會暫時停住？

13 例題 (a) qo=0, q= 5.0 rev =10 p rad, wo= -4.6 rad/s, a = 0.35 rad/s2 (b) ∵wo= -4.6 rad/s and a = 0.35 rad/s2 負方向之轉動減慢 停止 朝正方向之轉動且加速 於 t = 32 s 時多轉了5.0 rev (c)

14 例題 10- ex2 陶工輪車在 0.75 秒內從靜止轉到 210 rpm。(a) 請問輪車在這段時間內的角加速度為多少？假設角加速度是恆定的；(b) 輪車在這段時間內轉了多少周？ (a) 剛開始時輪車是靜止的，所以初始角速度是零。 最終角速度 角加速度 (b) 由於 α 是恆定的，所以平均角速度是 角位移是 因為 2πrad = 一周，所以周轉數是

15 10-5 線與角變數的關連 位置(弧長): r = constant 速 率 : 角加速度: 切線 向心 週 期: f ： 頻率

16 測試站 3 一隻蟑螂停留在旋轉木馬的邊緣。若此系統(旋轉木馬+蟑螂)的角速率固定，則蟑螂有(a)徑向加速度ar和(b)切向加速度at嗎？若角速率w是遞減的，則 蟑螂也有(c) 徑向加速度和 (d) 切向加速度嗎？

17 例題 10- ex3 一個離心器正以 5400 rpm 在轉動。(a) 請求出運動週期 ( 以秒為單位 ) 及頻率 ( 以 Hz 為單位 )；(b) 若離心器的半徑是 14 cm，請問一個位於離心器外緣的物體之運動速率為多少 ( 單位：m/s)？ (a) 首先把 rpm 換算成 Hz： 因此頻率 f = 90 Hz = 90 s-1。週期是 (b) 欲求出線性速率，得先求出角速率是多少 rad/s： 所以 w = 2p f = 180p rad/s。線性速率則為

18 例題 10- ex4 若一片光碟正以 210 rpm 在旋轉，則(a)位於光碟外緣一點之向心加速度為多少？ (b) 當轉盤被關掉時，唱盤以均一角加速度在 2.0 s ( 秒 ) 之內停止，請問其角加速度是多少？光碟外緣一點之切線加速度為多少？光碟的直徑是 12 cm。 (a) 先把 210 rpm 換算成每秒周轉頻率 (Hz) 光碟每轉一周即的角度等於 2π 弧。所以角速度是 向心加速度是 (b) 角加速度是 切線加速度是

19 10-6 轉動動能 轉動動能 (kg-m2) 轉動慣量

20 測試站 4 圖為三個質點繞一垂直軸轉動的情形。軸和質心間的垂直距離如圖所示。試將三質點對軸的轉動慣量由大至小依順序排列。

21 10-7 轉動慣量的計算

22 10-7 轉動慣量的計算 平行軸定理 Icom： 物體繞通過其質心的平行軸之轉動慣量。 h ： 指定軸及通過質心之軸間的垂直距離。

23 測試站 5 圖為一均勻平板，試將此平板對四軸的轉動慣量由大至小排列之。

24 例題 下圖中之鋼體為由兩個質量均為m的質點以棒連結而成。若棒長L質量可忽略不計。則(a)此物體通過質心與棒垂直的軸之轉動慣量Icom為何？(b)此物體對通過棒子左端且與第一軸平行之轉動軸的轉動慣量為何 I？

25 例題 (a) (b) or

26 例題 下圖是一根質量M、長度L的細薄均勻棒，它位於 x 軸上，且原點位於棒的中心。(a)此棒相對於同過中心點的垂直轉軸之轉動慣量為若干？(b)若一新轉軸也垂直薄棒且通過棒的左端，則對此新轉軸之轉動慣量為何？

27 例題 (a) (b) or

28 例題 10- ex5 如圖阿特武德機是由一根繩子繞著一個轉動慣量為 I 半徑為 R，質量為 M 的滑輪組成，繩子的兩端分別掛著兩個木塊(質量為 m1 和 m2 )。假設滑輪轉動時沒有摩擦力，繩子也不打滑。忽略空氣阻力。如果木塊從靜止被放開，請求出它們在移動了 h 的距離之後(一塊往上，一塊往下) 之速率。

29 例題 10- ex5 因無摩擦、無滑動且處於保守立場所以系統之機械能守恆
設 m1 > m2 ：這些質量移動了 h 的距離後，重力位能的變化是 二個木塊和滑輪，它們的起始動能都是零，所以 且滑輪的正切速率是角速率乘上半徑：v=wR 求出

30 10-8 力矩 力矩的大小即等於力的大小乘上桿槓臂： 產生逆時針方向轉動的力矩取作正,產生順時針方向轉動的力矩則取作負.

31 不同的力矩；同樣大小的力，但離轉動軸的距離不同
10-8 力矩 不同的力矩；同樣大小的力，但離轉動軸的距離不同 不同的力矩；同樣大小的力，但施力方向不同

32 測試站 6 圖為一支在20cm處鑽有一轉樞紐的一公尺細棒。施在細棒上的五個力(在同平面)是等值的。試由大至小將這五個力所產生力矩大小排列之。

33 例題 10- ex6 假設你為了使腳踏車的輪子停止轉動，把手放在輪子的兩邊用力往中心推，如圖所示。兩邊用的力都是10.0 N。輪子的半徑是32 cm，你的手和輪胎之間的動摩擦力係數是0.75。輪子往順時針方向轉動。作用在輪子上的淨力矩是多少？

34 例題 10- ex6 每一隻手施於輪胎上的摩擦力是 所以每個力矩的大小是 因為兩個力矩都會使輪胎變慢，所以符號一樣。
因為輪胎往順時針方向轉動，所以輪胎的角速度是負的。但角速率減少，所以 角加速度的符號是相反的，即是正的。由於 a 0，淨力矩也是正的。因此

35 10-9 轉動的牛頓第二運動定律 當有一外力矩作用在物體上時，其所產生的角加速度：淨力矩等於轉動慣量乘上角加速度。

36 測試站 7 圖為一支在中心左側鑽有一轉樞紐的一公尺細棒。兩個在同一平面上的力F1和F2施予細棒。只有F1如圖所示，F2是垂直於細棒且在細棒右末端。若此細棒無法轉動，則(a) F2的方向為何？(b) F2是大於，小於或等於F1？

37 例題 一均勻圓盤質量為 M=2.5 kg ，半徑 R=20 cm ，固定在一水平軸上。 一質量 m=1.2 kg 的木塊經由一不計質量的繩子繞過圓盤的邊緣懸掛著。 求木塊下落的加速度 (假設木塊會滑落) ，圓盤的角加速度及繩子的張力。該繩不會滑脫且在軸上無摩擦力。

38 例題 平移運動 － 牛頓第二定律 轉動運動 － 牛頓第二定律

39 例題 10- ex7 石磨是一個質量2.5 kg，半徑9.00 cm的均勻圓盤。若從靜止狀態開始轉動，馬達必須供應多大的固定力矩以使石磨在6.00 s內到達126 rev/s的轉速？ 由牛頓第二定律知 其中石磨是均勻圓盤，所以其轉動慣量是 且由 所以可得

40 10-10 功和轉動動能 移動功率 轉動功率

41 10-10 功和轉動動能

42 例題 10- ex8 陶工輪車是一個用來製作陶藝作品的圓形石塊。(a) 若一個陶工輪車是一個質量40.0 kg、直徑0.50 m的均勻圓盤，則馬達要做多少的功才能使輪車從靜止加速到80.0 rpm？(b)若馬達在這段時間內供應一個的固定力矩t，輪車要轉動多少周才會到達這個速率？ (a) 輪車轉動動能的變化是 (b)

43 例題 一均勻圓盤質量為 M=2.5 kg ，半徑 R=20 cm ，固定在一水平軸上。 一質量 m=1.2 kg 的木塊經由一不計質量的繩子繞過圓盤的邊緣懸掛著。圓盤的角加速度為 α= -24 rad/s2 ，在 t= 0 時圓盤由靜止轉動，則在 t= 2.5 s 時，轉動動能 K 為何？

44 例題 Method 1 Method 2

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46 問 : 1, 4, 9 習：10, 27, 39, 55, 60

47 例題 10- ex6 圖中是另一種型式的阿特武德機，其中一個木塊不是懸在滑輪的另一邊，而是位於桌面上。滑動的木塊 (質量m1)和桌面之間的動摩擦係數是 mk。從靜止狀態放開木塊。請求出木塊移動了h 距離之後的速率

48 例題 10- ex6 系統之能量守恆 當物體質量移動了 h 的距離後，重力位能的變化是 二個木塊和滑輪，它們的起始動能都是零，所以
m1個木塊之摩擦力所耗散之能量為 且滑輪的正切速率是角速率乘上半徑：v=wR 求出