格点上的赌博 格点场论介绍 北京大学理论物理所 刘川.

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1 格点上的赌博 格点场论介绍 北京大学理论物理所 刘川

2 古龙式的开头

3 WWWW.lattice.com What 场变量定义于（分立的）时空格点上的，研究量子场论的方法 Why
提供了一个非微扰的理论框架，适宜于研究量子场论的非微扰特性 Who K. G. Wilson: 格点场论之父 Where 粒子物理、统计物理

4 金庸式的开头 从我们所知道的自然界谈起： 什么是量子场论  什么是格点量子场论  。。。。。。。

5 提纲 格点量子场论的简介 格点量子场论的研究方法： 结束语： 从我们所知道的自然界谈起： 什么是量子场论  什么是格点量子场论 
什么是量子场论  什么是格点量子场论  格点量子场论的研究方法： 理论基础（path integral） 实战经验（Monte Carlo） 几个例子：统计模型，Higgs质量，QCD 结束语：

6 第一部分 什么是格点量子场论

7 God-given units “最自然”的单位制 只有一个量纲，可以取为能量，也可以取为长度，二者量纲互为倒数：
长度、时间同量纲：(能量)-1 质量、动量、温度同量纲： (能量)＋1

8 尺度 宇观：宇宙尺度 1010ly＝1018 m 宏观：人类尺度 103 －100 m 介观：纳米 尺度 10－9 －10－8 m
微观： －??? 原子分子 m 原子核 m 基本粒子 m 37个量级！

9 构成 费米子： 玻色子：辅助、黏合 轻子（e, m , t 及其相应中微子） 夸克（u, d, c, s, t, b） g，W，Z0，g
Higgs(???)

10 相互作用 相互作用 引力 电磁 弱 强

11 现实与梦想 一个标准 两个标准模型（standard model） 一个梦想 实验是检验真理的唯一标准 宇宙学标准模型 粒子物理标准模型
描述所有物理的Theory of Everything

12 Two Standard Models 粒子物理标准模型 关于强、弱、电磁相互作用的量子规范场论 宇宙学标准模型 热大爆炸宇宙学

13 Two models married 在宇宙早期， 一切结构都 无法存在 能够存在的 只有 基本粒子

14 我们了解的自然界 量子场论   Theory of Something 宇宙性质  基本/非基本粒子 及其相互作用 物质构成 
  量子场论 Theory of Something

15 量子场论 量子的、多自由度体系的、物理理论 相对论性量子场论 研究基本粒子及其相互作用的量子理论 非相对论性量子场论：
S=0 玻色子  标量场 S=1 玻色子  规范场（矢量场） S=1/2 费米子  旋量场 相对论性量子场论 研究基本粒子及其相互作用的量子理论 非相对论性量子场论： 研究原子核系统、凝聚态多体系统的量子理论

16 量子场论的困难 排名不分先后 解析可解的模型少 紫外发散、红外发散 非微扰效应 引力之量子化 除了一些特殊模型、特殊维数
量子场论 >> 微扰量子场论 非微扰的定义 非微扰的计算 引力之量子化

17 量子场论的微扰定义 一个作用量：S[f ( x); l] 首先定义相应的自由场论 l=0 所有物理量展开为 l 的幂级数
一群无相互作用的简谐振子 所有物理量展开为 l 的幂级数 希望足够好（至少对于小的l ）

18 微扰定义的问题 树图 一圈图 二圈图 三圈图 紫外发散

19 紫外发散的原因 k 可以趋于无穷 连续变量 傅立叶变换 连续不可数多自由度

20 紫外发散的原因 相对论性场论中，存在真空涨落

21 微扰定义的问题I 树图 一圈图 二圈图 三圈图 所有圈图紫外发散

22 怎么办？ 正规化 用某种方法，使得 k 有限 重整化 将发散吸收到参数重定义中

23 微扰定义的问题II 所有圈图紫外发散已消除 但是 级数本身仍然发散！

24 怎么办？ 按照渐近展开理解 寻找非微扰的定义 格点场论

25 格点量子场论 场变量定义于（分立的）时空格点上的，研究量子场论的方法 为什么要用格点？
提供了一个非微扰的理论框架，适宜于研究理论的非微扰特性 避免了连续场论中的红外和紫外发散（提供了一种非微扰的截断） 可用数值方法（Monte Carlo）研究

26 总结 自然界之理论描述 量子场论 微扰论的各种困难 需要非微扰的方法 格点量子场论

27 第二部分 格点场论的研究方法

28 格点场论的理论基础 动力学自由度－场－定义于4维欧几里德空间中的（有限多）时空格点上 场的作用量S[f ]是场的（泛）函数
格点场论的非微扰定义： 生成泛函/配分函数 （路径）积分测度 Boltzmann因子

29 量子场论/统计物理 的对偶 欧氏空间与闵氏空间的关系 在一定条件下

30 物理量的计算

31 格点场论的实际计算 能够解析地计算配分函数的情形是罕见的（严格可积系统） 可以计算微扰展开（费曼图），但… 直接数值计算配分函数是不现实的
计算量指数增长 需要重点取样（Monte Carlo方法）

32 Monte Carlo方法 需要产生概率密度 利用Markov过程： 从任意概率分布出发: Markov 跃迁： 持续叠代最终： 格林函数：

33 例子： Lenz-Ising model 研究对称性破缺的范例：Z2被破缺
Ising模型的临界特性不仅仅是这个模型的（气液相变、lf4模型等），它代表了一类模型的临界特性：Z2被破缺 Universality

34 Monte Carlo处理 Ising model的方法
一台可靠的PC 简单（约 行）正确的程序（算法） 一个正确的Random # generator 大约几天的运行时间 可计算出三维Ising模型的大多数的物理量，精度不低于70－80年代的解析RG计算（如e-expansion等）

35 例子：Higgs质量上限 具有O(4)对称性的lf4理论 Triviality  4维 lf4 是marginal operator
当取连续极限时，l实际上对数地趋于零。因此，必须取格距a为有限大，才能使Higgs质量为有限。 Higgs质量必须小于 GeV

36 例子：禁闭 自然界中没有自由夸克，它们总结合成强子（质子、中子、p介子，K介子等），这称为禁闭 静止夸克-反夸克间有着很强的线性禁闭势
格点量子色动力学（Lattice QCD）是唯一能够从QCD出发给出解释的理论

37 例子：强子谱 这些以前被认为是基本粒子的质量曾被认为是自然界基本常数。 Lattice QCD允许我们计算这些质量、衰变常数
mp=938.27MeV (uud) mn= MeV (udd) mp= MeV (ud, ud) mK= MeV (us, us) 这些以前被认为是基本粒子的质量曾被认为是自然界基本常数。 Lattice QCD允许我们计算这些质量、衰变常数

38 例子：新强子态、新物态 Lattice QCD允许我们计算尚未发现的新强子（例如胶球）、研究新的物态（例如夸克胶子等离子体）的性质。
胶球是QCD预言的新强子，它纯粹（lie）由胶子组成。目前的计算表明，最轻的胶球（J PC = 0++）质量在1.7GeV附近 混杂态（hybrids）是夸克－反夸克－胶子组成的束缚态（有胶子激发） 夸克胶子等离子体是一种新的物态

39 第三部分 结束语

40 成绩是有的… 格点场论提供了一个研究量子场论的非微扰的理论方法 格点场论可以利用Monte Carlo等数值方法进行有效的数值研究
经过20年来的Growing pain，我们已经从一个婴儿，长成一个少年 我们还会继续长大

41 问题也不少… 高简并度真空（基态）的模拟 多标度问题的模拟：典型的例子是重夸克－轻夸克同时存在的系统。 费米子模拟问题
QCD 模拟：quenching vs. unquenching 符号问题：如何模拟complex actions? 手征费米子（chiral fermions）问题：如果左右手不对称，会带来原则性的问题.

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