数学建模 ——现实生活中的数学 清华大学 姜启源 jiangqy@tsinghua.edu.cn.

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1 数学建模 ——现实生活中的数学 清华大学 姜启源

2 示例 什么是数学建模 数学建模的基本方法和步骤 数学建模进入大学课堂，顺应时代发 展的潮流，符合教育改革的需要 数学建模竞赛的迅速发展，有利于培 养学生创新精神，提高学生综合素质

3 引子 从包汤圆（饺子）说起 问题 通常，1公斤面， 1公斤馅，包100个汤圆（饺子）
引子 从包汤圆（饺子）说起 通常，1公斤面， 1公斤馅，包100个汤圆（饺子） 今天，1公斤面不变，馅比 1公斤多了，问应多包几个（小一些），还是少包几个（大一些）？ 圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆, 若分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v 问题 S s … V v (共n个) V和 nv 哪个大? 定性分析 V比 nv大多少? 定量分析

4 从包汤圆（饺子）说起 假设 模型 应用 1. 皮的厚度一样 2. 汤圆(饺子) 的形状一样 两个 k1（和k2）一样 R ~大皮 半径
(1),(2),(3) 应用 V是 nv是 倍 若100个汤圆（饺子）包1公斤馅, 则50个汤圆(饺子) 可以包 公斤馅 1.4

5 数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等） 数学建模

6 在一次使用中录象带已经转过大半，计数器读数为
示例 录象机计数器的用途 经试验，一盘录象带从头走到尾， 时间用了183分30秒，计数器读数 从0000变到6152。 问 题 在一次使用中录象带已经转过大半，计数器读数为 4580，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？ 计数器读数是均匀增长的吗？ 思考 计数器读数增长越来越慢！ 观察 不仅回答问题，而且建立计数器读数与 录象带转过时间的关系。 要求

7 问题分析 录象机计数器的工作原理 0000 左轮盘 右轮盘 磁头 计数器 录象带 录象带运动方向 主动轮 压轮 主动轮匀速转动
录像带速度是常数 右轮盘 半径增大 计数器读数增长变慢 右轮转速越来越慢

8 计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn；
模型假设 录象带的运动速度是常数 v ； 计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn； 录象带厚度（加两圈间空隙）为常数 w； 空右轮盘半径记作 r ； 时间 t=0 时读数 n=0 . 建立时间t与读数n之间的关系 建模目的 （设v,k,w ,r为已知参数）

9 1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度
模型建立 建立t与n的函数关系有多种方法 1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录象带在时间t内移动的长度vt, 所以

10 模型建立 2. 考察右轮盘面积的 变化，等于录象带厚度 乘以转过的长度，即 3. 考察t到t+dt录象带在 右轮盘缠绕的长度，有

11 一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法
思考 1. 3种建模方法得到同一结果 但仔细推算会发现稍有差别，请解释。 2.模型中有待定参数 一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法

12 理论上，已知t=183.5, n=6152, 再有一组(t, n)数据即可 实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合
参数 估计 另一种确定参数的方法——测试分析 将模型改记作 只需估计 a,b 理论上，已知t=183.5, n=6152, 再有一组(t, n)数据即可 实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合 现有一批测试数据： 用最小二乘法可得 t n t n

13 模 型 检 验 模 型 应 用 应该另外测试一批数据检验模型： 回答提出的问题：由模型算得 n = 4580 时 t = 118.5分，
剩下的录象带能录 = 65分钟的节目。 揭示了“t 与 n 之间呈二次函数关系”这一普遍规律， 当录象带的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可。

14 机理分析建立模型结构,测试分析确定模型参数 机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。建模主要指机理分析
数学建模的基本方法 基本方法 根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律 机理分析 将研究对象看作“黑箱”,通过对量测数据 的统计分析，找出与数据拟合最好的模型 测试分析 二者结合 机理分析建立模型结构,测试分析确定模型参数 机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。建模主要指机理分析

15 数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术
怎 样 学 习 数 学 建 模 数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术 技术大致有章可循 艺术无法归纳成普遍适用的准则 想象力 洞察力 判断力 创新意识 学习、分析、评价、改进别人作过的模型 亲自动手，认真作几个实际题目

16 数学建模进入大学课堂, 顺应时代发展的潮流，符合教育改革的需要

17 数 学 建 模 的 重 要 意 义 数学建模 计算机技术 知识经济 计算机技术和数学软件的迅速发展，为数学建模的应用提供了强有力的工具;
如虎添翼 数学建模 计算机技术 知识经济 数学迅速进入一些诸如经济、生态、人口、地质等领域，为数学建模开拓了许多新的处女地.

18 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地； 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具； 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。
数 学 建 模 的 重 要 意 义 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地； 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具； 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。 “数学是一种关键的,普遍的,可应用的技术” 数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强经济竞争具有重要意义” 教育必须反映并满足社会发展的需求

19 数学建模进入大学课堂 20世纪60~70年代进入西方国家的大学（数学建模教材较集中地出现在70年代）。
20世纪80年代初开始进入我国大学；1987年出版第1本教材（《数学模型》，姜启源编，高教社）；80年代末估计30~40所学校开课（数学系，讲座）。 1985年美国大学生数学建模竞赛开始举办， 1989年我国大学生开始参加这项竞赛。 1992年我国大学生数学建模竞赛开始举办，2006年有30省（市、自治区）848所学校参加。 数学建模竞赛与教学相互促进，参赛的学校基本上都开设课程（各专业，必修课，选修课，讲座）。

20 培养学生用数学的能力， 探索数学教学改革的途径
数学教育应该培养学生两种能力：“算数学”（计算、推导、证明…）和“用数学”（实际问题建模及模型结果的分析、检验、应用）； 传统数学教学体系和内容偏重前者，忽略后者； 数学建模引入教学是不打乱现有体系下的教改实验。 数学建模课的宗旨： 引起注意 激发兴趣 介绍方法 培养能力。

21 数学建模竞赛的迅速发展 有利于培养学生创新精神， 提高学生综合素质

22 全国大学生数学建模竞赛 全国高校规模最大的课外科技活动 1992年由中国工业与应用数学学会(CSIAM)组织第一次竞赛

23 内容 形式 标准 宗旨 数学建模竞赛 (Mathematical Contest in Modeling)简介
赛题：工程技术、管理科学中经过简化的实际问题 答卷：一篇包含模型假设、建立、求解、计算方法设计和计算机实现、结果分析和检验、模型改进等方面的论文 形式 3名大学生组队，在3天内完成的通讯比赛 可使用任何“死”材料（图书、计算机、软件、互联网等），但不得与队外任何人讨论 标准 假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰程度 宗旨 创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争

24 全国大学生数学建模竞赛近5年的题目（本科队从A, B题中选一题，专科队从C, D题中选一题
年份 A题 B题 C题 D题 2001 血管的三维重建 公交车调度 基金使用计划 2002 车灯线光源的优化设计 彩票中的数学 车灯线光源的计算 赛程安排 2003 SARS的传播 露天矿生产的车辆安排 抢渡长江 2004 奥运会临时超市网点设计 电力市场的输电阻塞管理 饮酒驾车 公务员招聘 2005 长江水质的评价和预测 DVD在线租赁 雨量预报方法的评价 2006 出版社的资源配置 艾滋病疗法的评价和疗效的预测 易拉罐形状和尺寸的最优设计 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制

25 数学建模竞赛培养学生创新精神，提高学生综合素质
综合运用学过的数学知识和计算机技术(选择、使用合适的数学软件)通过数学建模分析、解决实际问题的能力 关心国家建设的意识和理论联系实际的学风 面对复杂事物的想象力、洞察力、创造力和独立进行科学研究的能力 团结合作精神和进行协调的组织能力 诚信意识和自律精神 在图书室及互联网上查阅文献、收集资料及撰写科技论文的文字表达能力

26 愿同学们喜欢数学建模 在数学建模竞赛中取得好成绩 谢谢大家!
全国大学生数学建模竞赛组委会网址 组委会办公室地址: 北京清华大学数学系(理科楼1101)胡明娅 电话: 资料订购、咨询等 愿同学们喜欢数学建模 在数学建模竞赛中取得好成绩 谢谢大家!