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义务教育教科书（北师）九年级数学下册 第二章 二次函数 二次函数与一元二次方程的关系
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驶向胜利的彼岸 知识回顾 一元二次方程的一般形式是什么？ 二次函数的一般形式是什么？
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情境引入 情境引入 1.如图,一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为________________
驶向胜利的彼岸 情境引入 情境引入 1.如图,一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为________________ 2.如图一元二次方程ax2＋bx＋c＝3的解为_________________
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驶向胜利的彼岸 自主预习 我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么 (1).h和t的关系式是什么？ (2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流. 情境引入
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新知探究 探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。 解：∵A、B在轴上， ∴它们的纵坐标为0，
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结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。
即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（ ）， B（ ） x1，0 x2，0 O A B x1 x2 y x
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探究2、抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？
Y b2-4ac＜0 b2-4ac=0 b2-4ac>0 X O
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一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1、 b2-4ac ＞ 方程ax2+bx+c=0 有两个不等的实数根 抛物线y=ax2+bx+c 与x轴有两个交点——相交。 2、 b2-4ac = 方程ax2+bx+c=0 有两个相等的实数根 抛物线y=ax2+bx+c 与x轴有唯一公共点——相切（顶点）。 3、 b2-4ac ＜ 方程ax2+bx+c=0 没有实数根 抛物线y=ax2+bx+c 与x轴没有公共点——相离。
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随堂练习 1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a= ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是 ；若抛物线与坐标轴有两个公共点，则a的范围是 ； 2、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个交点，则a的范围是 。 3、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p= ，q= 。
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4、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标。
（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8 （3）y=x2-4x+4
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认真思考 5、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在轴下方的条件是（ ） （A）a＜0 b2-4ac≤0 （B）a＜0 b2-4ac＞0 （C）a＞0 b2-4ac＞0 （D）a＜0 b2-4ac＜0 D
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思考 6、已知二次函数y=x2-kx-2+k. (1)求证:不论k取何值时，这个二次函数 y=x2-kx-2+k与x轴有两个不同的交点。 (2)如果二次函数y=x2-kx-2+k与轴两个交点为A、B，设此抛物线与y轴的交点为C，当k为6时,求S△ABC .
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? 6、已知抛物线y=x2+2x+m+1。 （1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值。
驶向胜利的彼岸 6、已知抛物线y=x2+2x+m+1。 （1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值。 （2）若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点，求m的值。 ? 这样解答
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7、已知是x1、x2方程x2-（k-3）x+k+4=0的两个实根，A、B为抛物线y= x2-（k-3）x+k+4与x轴的两个交点，P是y轴上异于原点的点，设∠PAB=α，∠PBA=β，问α、β能否相等？并说明理由. A O B P X Y β α
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8、已知抛物线y=x2-（m2+8）x+2（m2+6）.
? 解答这样
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知识梳理 1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A（x1，0 ）， B（ x2，0 ） 2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次”之间互相转化的关系。体现了数形结合的思想。
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