3. Motion in 2- & 3-D 二及三維運動 Vectors 向量

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1 3. Motion in 2- & 3-D 二及三維運動 Vectors 向量
Velocity & Acceleration Vectors 速度和加速度向量 Relative Motion 相對運動 Constant Acceleration 等加速 Projectile Motion 拋體運動 Uniform Circular Motion 等速圓周運動

2 At what angle should this penguin leave the water to maximize the range of its jump?
這企鵝應該以甚麽角度離開水面才能跳得最遠？ 45

3 Vectors 向量 Vectors 向量 : Physics: Quantities with both magnitude & direction. 物理 : 同時具有大小和方向的量。 2. Mathematics : Members of a linear space. 數學 : 線性空間裏的成員。 (Free vectors 自由向量) Scalars: Quantities with only magnitude. 純量 : 祗有大小的量。 Displacement 位移 Position vector 位置向量 Vector addition 向量加法 : Commutative 可交換的 : A + B = B + A 2. Associative 可結合的 : (A + B) + C = A + ( B + C )

4 A 2 A z y y x x Multiplication by scalar : 乘以純量 :
Coordinate system. 座標系統 Cartesian coordinate system. 卡氏座標 A Az k = Az y k j A Ay = Ay j Ax i = Ax Ay j = Ay i y j  x x i Ax = Ax i Vector components: 向量分量： Unit vectors: 單位向量 :

5 Example 3.1. Taking a Drive 開車
You drive to city 160 km from home, going 35 N of E. 你從家裏開車 160 km 到市區，方向是東北 35. Express your new position in unit vector notation, using an E-W / N-S coordinate system. 把你的新位置用一個西東 / 南北座標的單位向量表示。 y (N) city r = 160 km j  = 35 x (E) home i

6 Vector Arithmetic with Unit Vectors 使用單位向量的向量算術

7 3.2. Velocity & Acceleration Vectors 速度和加速度向量
Average velocity 平均速度 (Instantaneous) velocity (瞬時)速度 Average acceleration 平均加速度 (Instantaneous) acceleration (瞬時)加速度

8 Velocity & Acceleration in 2-D 二維的速度和加速度
a  v  circular motion 圓周運動

9 3.3. Relative Motion 相對運動 Motion is relative (requires frame of reference). 運動是相對的 ( 需要參框架 ) Man walks at v = 4 km/h down aisle to front of plane, 某人以 v = 4 km/h 沿走道往飛機的前方走， which move at V = 1000 km/h wrt (with respect to) ground. 飛機則以 V = 1000 km/h 相對於地面飛行。 Man’s velocity wrt ground is v = v + V. 該人相對於地面的速度是 v = v + V 。 Plane flies at v wrt air. 飛機以 v 相對於空氣飛行。 Air moves at V wrt ground. 空氣以 V 相對於地面流動。 Plane’s velocity wrt ground is v = v + V. 飛機相對於地面的速度是 v = v + V 。

10 Example 3.2. Navigating a Jetliner 駕駛噴射客機
Jet flies at 960 km / h wrt air, trying to reach airport km northward. 噴射機以 960 km / h 相對於空氣飛行，目的地是北方 1290 km 處的機場。 Assuming wind blows steadly eastward at 190 km / h. 假如風一直以 190 km / h 往東吹。 What direction should the plane fly? 飛機應朝甚麽方向飛 ? How long will the trip takes? 這趟旅程要多久 ? Desired velocity 想要的速度 Wind velocity 風的速度 V 190 km/h Jet velocity 噴射機的速度  v v 960 km/h  Trip time 旅程需時

11 3.4. Constant Acceleration 等加速
Vertical spacing is the same  vertical & horizontal motion are independent. 豎向間隔相等  豎與橫向運動獨立。 2-D:

12 Example 3.3. Windsurfing 風浪板
You’re windsurfing at 7.3 m/s when a wind gust accelerates you at m/s2 at 60 to your original direction. 你的風浪板在 7.3 m/s 時被一陣風以 m/s2 朝你原方向 60 加速。 If the gust lasts 8.7 s, what is your net displacement? 如果陣風維持 8.7 s,你的淨位移為何 ? net displacement 淨位移

13 3.5. Projectile Motion 拋體運動
2-D motion under constant gravitational acceleration 重力等加速之下的二維運動 parabola 拋物線 vx 不變

14 Example Washout 沖失 A section of highway was washed away by flood, creating a gash 1.7 m deep. 一段公路被洪水沖走，留下一個深 1.7 m 的斷層。 A car moving at 31 m/s goes over the edge. 一部汽車以 31 m/s 衝過斷處。 How far from the edge does it land? 它會落在離斷處多遠的地方?

15 Projectile Trajectory 拋體軌跡
 Projectile trajectory : parabola 拋體軌跡 : 拋物線

16 Example 3.5. Out of the Hole 出洞
A construction worker stands in a 2.6 m deep hole, 3.1 m from edge of hole. 一個建築工人站在一個 2.6 m 深的洞中，離洞邊 3.1 m 處。 He tosses a hammer to a companion outside the hole. 他把一個鎚子拋給洞外的同伴。 Let the hammer leave his hand 1.0 m above hole bottom at an angle of 35. 讓鎚子離手時高於洞底 1.0 m ，仰角為 35 。 What’s the minimum speed for it to clear the edge? 要越過洞邊的最低速率為何? How far from the edge does it land? 它的落點離洞邊多遠? minimum speed 最低速率  Lands at 5.5 m from edge. 落點離洞邊 5.5 m 。

17 The Range of a Projectile 拋體的射程
Horizontal range 水平射程 ( y = y0 ) :  Longest range at 最遠射程在 0 = 45 = /4. Prob 70: Range is same for 0 & /2  0 射程一樣 Prob 2.77: Projectile spends 71% in upper half of trajectory. 拋體有 71%的時間是在軌跡的上半部

18 Example 3.6. Probing the Atmosphere 探測大氣
After a short engine firing, a rocket reaches 4.6 km/s. 經過引擎短暫的發動後，火箭達到 4.6 km/s。 If the rocket is to land within 50 km from its launch site, 如果火箭要在發射處 50 km 內降落， what’s the maximum allowable deviation from a vertical trajectory? 離垂直軌跡的最大偏角為何? Short engine firing 引擎短暫發動  y  0, v0 = 4.6 km/s.  maximum allowable deviation from a vertical trajectory is 0.67. 離垂直軌跡的最大偏角為 0.67.

19 3.6. Uniform Circular Motion 等速圓周運動
Uniform circular motion : circular trajectory, constant speed. 等速圓周運動：圓形軌跡，速度一定。 Examples 例 : Satellite orbit. 衛星軌道 Planetary orbits (almost). 行星軌道 (幾乎是) Earth’s rotation. 地球的自轉 Motors. 馬達 Electrons in magnetic field. 磁場中的電子 ⁞ ⁞

20   v = v2  v1 ( centripetal 向心 )

21 Example 3.7. Space Shuttle Orbit 太空梭軌道
Orbit of space shuttle is circular at altitude 250 km, where g is 93% of its surface value. 太空梭的軌道是圓的，高度為 250 km；該處的 g 是地面值的 93% 。 Find its orbital period. 求其週期。 ( low orbits 低軌 ) ISS 太空站 : r ~ 350 km 15.7 orbits a day 每曰繞 15.7 次

22 Example 3.7. Engineering a Road 道路工程
Consider a flat, horizontal road with 80 km/h (22.2 m/s) speed limit. 茲有一平坦，在水平面的路，速限為 80 km/h (22.2 m/s) 。 If the max vehicle acceleration is 1.5 m/s2, 如果車輛的最大加速度是 1.5 m/s2 ， what’s the min safe radius for curves on this road. 這路在拐彎處最小的安全半徑為何？

23 Nonuniform Circular Motion 非等速圓周運動
Nonuniform Circular Motion : trajectory circular, speed nonuniform 非等速圓周運動 ： 圓形軌跡，速度不一定。  a non-radial but ar = v2 / r a 非徑向，但 ar = v2 / r v at ar a

24 GOT IT 懂嗎 ? 3.4. Arbitrary motion 隨意運動 :
ar = v2 / r r = radius of curvature 曲率半徑 If v1 = v4 , & v2 = v3 , rank ak. 設 v1 = v4 , & v2 = v3 ,替 ak 排序。 Ans 答 : a2 > a3 > a4 > a1