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第2章 时域离散信号和系统的频域分析 2.1 学习要点与重要公式 2.2 FT和ZT的逆变换 2.3 分析信号和系统的频率特性2.4 例题
第2章 时域离散信号和系统的频域分析 2.1 学习要点与重要公式 2.2 FT和ZT的逆变换 2.3 分析信号和系统的频率特性2.4 例题 2.5 习题与上机题解答
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2.1 学习要点与重要公式 数字信号处理中有三个重要的数学变换工具， 即傅里叶变换（FT）、 Z变换（ZT）和离散傅里叶变换（DFT）。 利用它们可以将信号和系统在时域空间和频域空间相互转换， 这大大方便了对信号和系统的分析和处理。 三种变换互有联系， 但又不同。 表征一个信号和系统的频域特性是用傅里叶变换。 Z变换是傅里叶变换的一种推广， 单位圆上的Z变换就是傅里叶变换。
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在z域进行分析问题会感到既灵活又方便。 离散傅里叶变换是离散化的傅里叶变换， 因此用计算机分析和处理信号时， 全用离散傅里叶变换进行。 离散傅里叶变换具有快速算法FFT， 使离散傅里叶变换在应用中更加方便与广泛。 但是离散傅里叶变换不同于傅里叶变换和Z变换， 它将信号的时域和频域， 都进行了离散化， 这是它的优点。 但更有它自己的特点， 只有掌握了这些特点， 才能合理正确地使用DFT。 本章只学习前两种变换， 离散傅里叶变换及其FFT将在下一章学习。
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2.1.1 学习要点 （1） 傅里叶变换的正变换和逆变换定义， 以及存在条件。
2.1.1 学习要点 （1） 傅里叶变换的正变换和逆变换定义， 以及存在条件。 （2）傅里叶变换的性质和定理： 傅里叶变换的周期性、 移位与频移性质、 时域卷积定理、 巴塞伐尔定理、 频域卷积定理、 频域微分性质、 实序列和一般序列的傅里叶变换的共轭对称性。 （3）周期序列的离散傅里叶级数及周期序列的傅里叶变换表示式 。 （4）Z变换的正变换和逆变换定义， 以及收敛域与序列特性之间的关系。
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（5） Z变换的定理和性质： 移位、 反转、 z域微分、 共轭序列的Z变换、 时域卷积定理、 初
值定理、 终值定理、 巴塞伐尔定理。 （6） 系统的传输函数和系统函数的求解。 （7） 用极点分布判断系统的因果性和稳定性。 （8） 零状态响应、 零输入响应和稳态响应的求解。 （9） 用零极点分布定性分析并画出系统的幅频特性。
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2.1.2 重要公式 （1） 这两式分别是傅里叶变换的正变换和逆变换的公式。 注意正变换存在的条件是序列服从绝对可和的条件， 即
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（2） 这两式是周期序列的离散傅里叶级数变换对， 可用以表现周期序列的频谱特性。
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（3） 该式用以求周期序列的傅里叶变换。 如果周期序列的周期是N， 则其频谱由N条谱线组成， 注意画图时要用带箭头的线段表示。 （4） 若y(n)=x(n)*h(n), 则 这是时域卷积定理。
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（5） 若y(n)=x(n)h(n), 则 这是频域卷积定理或者称复卷积定理。 （6）
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式中, xe(n)和xo(n)是序列x(n)的共轭对称序列和共轭反对称序列， 常用以求序列的xe(n)和xo(n)。
（7） 这两式分别是序列Z变换的正变换定义和它的逆Z变换定义。
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（8）
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前两式均称为巴塞伐尔定理， 第一式是用序列的傅里叶变换表示， 第二式是用序列的Z变换表示。 如果令x(n)=y(n)， 可用第二式推导出第一式。
（9） 若x(n)=a|n|, 则 x(n)=a|n|是数字信号处理中很典型的双边序列， 一些测试题都是用它演变出来的。
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2.2 FT和ZT的逆变换 （1） FT的逆变换为 用留数定理求其逆变换， 或者将z=ejω代入X(ejω)中， 得到X(z)函数， 再用求逆Z变换的方法求原序列。 注意收敛域要取能包含单位圆的收敛域， 或者说封闭曲线c可取 单位圆。
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例如， 已知序列x(n)的傅里叶变换为 求其反变换x(n)。 将z=ejω代入X(ejω)中， 得到 因极点z=a， 取收敛域为|z|>|a|， 由X(z)很容易得到x(n)=anu(n)。 （2） ZT的逆变换为
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求Z变换可以用部分分式法和围线积分法求解。 用围线积分法求逆Z变换有两个关键。 一个关键是知道收敛域以及收敛域和序列特性之间的关系， 可以总结成几句话： ① 收敛域包含∞点， 序列是因果序列； ② 收敛域在某圆以内， 是左序列； ③ 收敛域在某圆以外， 是右序列； ④ 收敛域在整个z面， 是有限长序列； ⑤ 以上②、 ③、 ④均未考虑0与∞两点， 这两点可以结合问题具体考虑。另一个关键是会求极点留数。
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2.3 分析信号和系统的频率特性 求信号与系统的频域特性要用傅里叶变换。 但分析频率特性使用Z变换却更方便。 我们已经知道系统函数的极、 零点分布完全决定了系统的频率特性， 因此可以用分析极、 零点分布的方法分析系统的频率特性， 包括定性地画幅频特性， 估计峰值频率或者谷值频率， 判定滤波器是高通、 低通等滤波特性， 以及设计简单的滤波器（内容在教材第5章）等。
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根据零、 极点分布可定性画幅频特性。 当频率由0到2π变化时， 观察零点矢量长度和极点矢量长度的变化， 在极点附近会形成峰。 极点愈靠进单位圆， 峰值愈高； 零点附近形成谷， 零点愈靠进单位圆， 谷值愈低， 零点在单位圆上则形成幅频特性的零点。 当然， 峰值频率就在最靠近单位圆的极点附近， 谷值频率就在最靠近单位圆的零点附近。 滤波器是高通还是低通等滤波特性， 也可以通过分析极、 零点分布确定， 不必等画出幅度特性再确定。 一般在最靠近单位圆的极点附近是滤波器的通带； 阻带在最靠近单位圆的零点附近， 如果没有零点， 则离极点最远的地方是阻带。 参见下节例2.4.1。
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2.4 例 题 ［例2.4.1］ 已知IIR数字滤波器的系统函数
2.4 例 题 ［例2.4.1］ 已知IIR数字滤波器的系统函数 试判断滤波器的类型（低通、 高通、 带通、 带阻）。 （某校硕士研究生入学考试题中的一个简单的填空题） 解： 将系统函数写成下式:
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系统的零点为z=0， 极点为z=0. 9， 零点在z平面的原点， 不影响频率特性， 而惟一的极点在实轴的0
［例2.4.2］假设x(n)=xr(n)+jxi(n)， xr(n)和xj(n)为实序列， X(z)=ZT［x(n)］在单位圆的下半部分为零。 已知 求X（ejω）=FT［x(n)］。
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解： Xe(ejω)=FT［xr(n)］ 因为 X(ejω)=0π≤ω≤2π 所以 X(e-jω)=X(ej(2π-ω))=0 0≤ω≤π
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当0≤ω≤π时， ， 故 当π≤ω≤2π时， X(ejω)=0， 故 0≤ω≤π π≤ω≤2π
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因此 Re［X(ejω)］=X(ejω) Im［X(ejω)］=0 ［例2.4.3］ 已知 0≤n≤N N+1≤n≤2N n<0, 2N<n 求x(n)的Z变换。
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解： 题中x(n)是一个三角序列， 可以看做两个相同的矩形序列的卷积。
设y(n)=RN(n)*RN(n), 则 n<0 0≤n≤N－1 N≤n≤2N－1 2N≤n 将y(n)和x(n)进行比较， 得到y(n－1)=x(n)。 因此 Y（z）z－1=X(z) Y(z)=ZT［RN(n)］·ZT［RN(n)］
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故 ［例2.4.4］ 时域离散线性非移变系统的系统函数H(z)为
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（1） 要求系统稳定， 确定a和b的取值域。 （2） 要求系统因果稳定， 重复（1）。 解： （1） H(z)的极点为a、 b， 系统稳定的条件是收敛域包含单位圆， 即单位圆上不能有极点。 因此， 只要满足|a|≠1, |b|≠1即可使系统稳定， 或者说a和b的取值域为除单位圆以的整个z平面。 （2） 系统因果稳定的条件是所有极点全在单位圆内， 所以a和b的取值域为 0≤|a|<1, 0≤|b|<1
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［例2.4.5］ , f1=10 Hz， f2=25 Hz， 用理想采样频率Fs=40 Hz对其进行采样得到 。 （1） 写出 的表达式;
（2） 对 进行频谱分析， 写出其傅里叶变换表达式， 并画出其幅度谱； （3）如要用理想低通滤波器将cos(2πf1t)滤出来， 理想滤波器的截止频率应该取多少？ 解：
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（2） 按照采样定理, 的频谱是x(t)频谱的周期延拓， 延拓周期为Fs=40 Hz，x(t)的频谱为
画出幅度谱如图2.4.1所示。
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图2.4.1
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（3） 观察图2.4.1， 要把cos(2πf1t)滤出来， 理想低 通滤波器的截止频率fc应选在10 Hz和20 Hz之间，可选fc＝ 15 Hz。 如果直接对模拟信号x(t)=cos(2πf1t)+cos(2πf2t)进行滤波， 模拟理想低通滤波器的截止频率选在10 Hz和25 Hz之间， 可以把10 Hz的信号滤出来， 但采样信号由于把模拟频谱按照采样频率周期性地延拓， 使频谱发生变化，因此对理想低通滤波器的截止频率要求不同。
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［例2. 4. 6］ 对x(t)=cos(2πt)+cos(5πt)进行理想采样， 采样间隔T=0
［例2.4.6］ 对x(t)=cos(2πt)+cos(5πt)进行理想采样， 采样间隔T=0.25 s， 得到 ， 再让 通过理想低通滤波器G(jΩ)， G(jΩ)用下式表示: ≤ (1) 写出 的表达式; (2) 求出理想低通滤波器的输出信号y(t)。
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解：(1)
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（2）. 为了求理想低通滤波器的输出， 要分析 的频谱。 中的两个余弦信号频谱分别为在±0. 5π和±1
（2） 为了求理想低通滤波器的输出， 要分析 的频谱。 中的两个余弦信号频谱分别为在±0.5π和±1.25π的位置， 并且以2π为周期进行周期性延拓， 画出采样信号 的频谱示意图如图2.4.2（a）所示， 图2.4.2（b）是理想低通滤波器的幅频特性。 显然， 理想低通滤波器的输出信号有两个， 一个的数字频率为0.5π， 另一个的数字频率为0.75π， 相应的模拟频率为2π和3π， 这样理想 低通滤波器的输出为 y(t)=0.25［cos(2πt)+cos(3πt)］
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图2.4.2
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2.5 习题与上机题解答 1． 设X(ejω)和Y(ejω)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换， 试求下面序列的傅里叶变换：
2.5 习题与上机题解答 1． 设X(ejω)和Y(ejω)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换， 试求下面序列的傅里叶变换： (1) x(n－n0) (2) x*(n) (3) x(－n) (4) x(n)*y(n) (5) x(n)y(n) (6) nx(n) (7) x(2n) (8) x2(n) (9)
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解：（1） 令n′=n－n0, 即n=n′+n0， 则 （2）
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（3） 令n′=－n， 则 （4） FT［x(n)*y(n)］=X(ejω)Y(ejω) 下面证明上式成立：
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令k=n－m, 则
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（5）
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或者 （6） 因为 对该式两边ω求导， 得到
40
因此 （7） 令n′=2n， 则
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或者 （8） 利用（5）题结果， 令x(n)=y(n), 则
43
（9） 令n′=n/2， 则 2． 已知 ≤ 求X(ejω)的傅里叶反变换x(n)。
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解： 3. 线性时不变系统的频率响应（频率响应函数）H(ejω)=|H(ejω)|ejθ(ω)， 如果单位脉冲响应h(n)为实序列， 试证明输入x(n)=A cos(ω0n+j)的稳态响应为
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解： 假设输入信号x(n)=ejω0n，系统单位脉冲响应为h(n)， 则系统输出为
上式说明当输入信号为复指数序列时， 输出序列仍是复指数序列， 且频率相同， 但幅度和相位取决于网络传输函数。 利用该性质解此题：
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上式中|H(ejω)|是ω的偶函数， 相位函数是ω的奇函数， |H(ejω)|=|H(e-jω)|， θ(ω)=－θ(－ω), 故
4．设
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将x(n)以4为周期进行周期延拓， 形成周期序列 ， 画出x(n)和 的波形， 求出 的离散傅里叶级数
和傅里叶变换。 解： 画出x(n)和 的波形如题4解图所示。
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题4解图
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或者
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5. 设题5图所示的序列x(n)的FT用X(ejω)表示， 不直接求出X(ejω)， 完成下列运算或工作：
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(1) (2) (3) (4) 确定并画出傅里叶变换实部Re［X(ejω)］的时间序列xa(n)； (5) (6)
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解 (1) (2) (3) （4） 因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分， 即
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按照上式画出xe(n)的波形如题5解图所示。
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(5) (6) 因为 因此
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6． 试求如下序列的傅里叶变换： (1) x1(n)=δ(n－3) (2) (3) x3(n)=anu(n) 0<a<1 (4) x4(n)=u(n+3)－u(n－4) 解 (1)
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(2) (3)
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(4)
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或者:
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7． 设： （1） x(n)是实偶函数， （2） x(n)是实奇函数， 分别分析推导以上两种假设下， 其x(n)的傅里叶变换性质。 解：令 (1) 因为x(n)是实偶函数， 对上式两边取共轭， 得到
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因此 X(ejω)=X*（e－jω） 上式说明x(n)是实序列， X(ejω)具有共轭对称性质。 由于x(n)是偶函数， x(n) sinω是奇函数， 那么 因此
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该式说明X(ejω)是实函数， 且是ω的偶函数。
总结以上, x(n)是实偶函数时， 对应的傅里叶变换X(ejω)是实函数， 是ω的偶函数。 （2） x(n)是实奇函数。 上面已推出， 由于x(n)是实序列， X(ejω)具有共轭对称性质， 即 X(ejω)=X*(e－jω)
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由于x(n)是奇函数， 上式中x(n) cosω是奇函数， 那么
因此 这说明X(ejω)是纯虚数， 且是ω的奇函数。 8． 设x(n)=R4(n)， 试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)， 并分别用图表示。
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解： xe(n)和xo(n)的波形如题8解图所示。 题8解图
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9．已知x(n)=anu(n), 0<a<1， 分别求出其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)的傅里叶变换。
解： 因为xe(n)的傅里叶变换对应X(ejω)的实部， xo(n)的傅里叶变换对应X(ejω)的虚部乘以j， 因此
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10． 若序列h(n)是实因果序列， 其傅里叶变换的实部如下式：
HR(ejω)=1+cosω 求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejω)。 解：
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11． 若序列h(n)是实因果序列， h(0)=1， 其傅里叶变换的虚部为
HI(ejω)=－sinω 求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejω)。 解：
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12． 设系统的单位脉冲响应h(n)=anu(n), 0<a<1， 输入序列为
x(n)=δ(n)+2δ(n－2) 完成下面各题： (1) 求出系统输出序列y(n)； (2) 分别求出x(n)、 h(n)和y(n)的傅里叶变换。 解 (1)
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(2)
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13． 已知xa(t)=2 cos(2πf0t)， 式中f0=100 Hz， 以采样频率fs=400 Hz对xa(t)进行采样， 得到采样信号 和时域离散信号x(n)， 试完成下面各题： （1） 写出 的傅里叶变换表示式Xa(jΩ)； （2） 写出 和x(n)的表达式； （3） 分别求出 的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。 解：
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上式中指数函数的傅里叶变换不存在， 引入奇异函数δ函数， 它的傅里叶变换可以表示成：
（2）
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（3） 式中
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式中 ω0=Ω0T=0.5π rad 上式推导过程中， 指数序列的傅里叶变换仍然不存在， 只有引入奇异函数δ函数才能写出它的傅里叶变换表示式。 14． 求出以下序列的Z变换及收敛域: (1) 2－nu(n) (2) －2－nu(－n－1) (3) 2－nu(－n) (4) δ(n) (5) δ(n－1) (6) 2－n［u(n)－u(n－10)］
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解 (1) (2)
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(3) (4) ZT［δ(n)］=10≤|z|≤∞ (5) ZT［δ(n－1)］=z－10<|z|≤∞ (6) ≤
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15． 求以下序列的Z变换及其收敛域， 并在z平面上画出极零点分布图。
(1) x(n)=RN(n) N=4 (2) x(n)=Arn cos(ω0n+j)u(n)r=0.9, ω0=0.5π rad, j= 0.25 π rad (3) ≤ ≤ ≤ ≤ 式中， N=4。
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解 (1) 由z4－1=0， 得零点为 由z3(z－1)=0， 得极点为 z1, 2=0, 1 零极点图和收敛域如题15解图(a)所示， 图中, z=1处的零极点相互对消。
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题15解图
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(2)
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零点为 极点为 极零点分布图如题15解图(b)所示。 (3) 令y(n)=R4(n), 则 x(n+1)=y(n)*y(n) zX(z)=［Y(z)］2, X(z)=z－1［Y(z)］2
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因为 因此 极点为 z1=0, z2=1 零点为 在z=1处的极零点相互对消， 收敛域为0<|z|≤∞， 极零点分布图如题15解图(c)所示。
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16． 已知 求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。 解： X(z)有两个极点： z1=0.5, z2=2， 因为收敛域总是以极点为界， 因此收敛域有三种情况： |z|<0.5，0.5<|z|<2， 2<|z|。 三种收敛域对应三种不同的原序列。 （1）收敛域|z|<0.5：
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令 n≥0时， 因为c内无极点，x(n)=0; n≤－1时， c内有极点 0 ， 但z=0是一个n阶极点， 改为求圆外极点留数， 圆外极点有z1=0.5, z2=2， 那么
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(2) 收敛域0.5<|z|<2:
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n≥0时， c内有极点0.5， n<0时， c内有极点 0.5、 0 ， 但 0 是一个n阶极点， 改成求c外极点留数， c外极点只有一个， 即2， x(n)=－Res［F(z), 2］=－2 · 2nu(－n－1) 最后得到
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（3）收敛域|z|<2: n≥0时， c内有极点 0.5、 2， n<0时， 由收敛域判断， 这是一个因果序列， 因此x(n)=0； 或者这样分析， c内有极点0.5、 2、 0， 但0是一个n阶极点， 改求c外极点留数，c外无极点， 所以x(n)=0。
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最后得到 17． 已知x(n)=anu(n), 0<a<1。 分别求： (1) x(n)的Z变换； (2) nx(n)的Z变换； (3) a－nu(－n)的Z变换。 解： (1)
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(2) (3) 18． 已知 分别求： （1） 收敛域0.5<|z|<2对应的原序列x(n)； （2） 收敛域|z|>2对应的原序列x(n)。
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解： （1） 收敛域0.5<|z|<2: n≥0时，c内有极点0.5， x(n)=Res［F(z), 0.5］=0.5n=2－n n<0时， c内有极点0.5、 0， 但0是一个n阶极点， 改求c外极点留数， c外极点只有2， x(n)=－Res［F(z), 2］=2n
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最后得到 x(n)=2－nu(n)+2nu(－n－1)=2－|n| ∞<n<－∞ (2) 收敛域|z|>2: n≥0时， c内有极点0.5、 2，
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n<0时， c内有极点0.5、 2、 0， 但极点0是一个n阶极点， 改成求c外极点留数， 可是c外没有极
点， 因此 x(n)=0 最后得到 x(n)=(0.5n－2n)u(n) 19． 用部分分式法求以下X(z)的反变换： (1)
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(2) 解： (1)
98
(2)
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20． 设确定性序列x(n)的自相关函数用下式表示：
试用x(n)的Z变换X(z)和x(n)的傅里叶变换X(ejω)分别表示自相关函数的Z变换Rxx(z)和傅里叶变换Rxx(ejω)。
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解： 解法一 令m′=n+m, 则
101
解法二 因为x(n)是实序列， X(e－jω)=X*(ejω)， 因此
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21． 用Z变换法解下列差分方程： (1) y(n)－0. 9y(n－1)=0
21． 用Z变换法解下列差分方程： (1) y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n)， y(n)= n≤－1 (2) y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n)， y(－1)=1， y(n)=0 n<－1 (3) y(n)－0.8y(n－1)－0.15y(n－2)=δ(n) y(－1)=0.2, y(－2)=0.5, y(n)=0, 当n≤－3时。 解： (1) y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n)， y(n)=0 n≤－1
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n≥0时， n<0时， y(n)=0 最后得到 y(n)=［－0.5 · (0.9)n+1+0.5］u(n)
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(2) y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n), y(－1)=1, y(n)=0 n<－1
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n≥0时， n<0时， y(n)=0 最后得到 y(n)=［0.45(0.9)n+0.5］u(n)
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Y(z)－0.8z－1［Y(z)+y(－1)z］－0.15z－2［Y(z)+y(－1)z+y(－2)z2］=1
(3) y(n)－0.8y(n－1)－0.15y(n－2)=δ(n) y(－1)=0.2, y(－2)=0.5, y(n)=0, 当n<－2时 Y(z)－0.8z－1［Y(z)+y(－1)z］－0.15z－2［Y(z)+y(－1)z+y(－2)z2］=1
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n≥0时， y(n)=－4.365 · 0.3n · 0.5n n<0时, y(n)=0 最后得到 y(n)=(－4.365 · 0.3n · 0.5n)u(n)
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22． 设线性时不变系统的系统函数H(z)为 （1） 在z平面上用几何法证明该系统是全通网络， 即|H(ejω)|=常数； （2） 参数 a 如何取值， 才能使系统因果稳定？画出其极零点分布及收敛域。 解： (1)
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极点为a, 零点为a－1。 设a=0.6， 极零点分布图如题22解图(a)所示。 我们知道|H(ejω)|等于极点矢量的长度除以零点矢量的长度， 按照题22解图(a)， 得到 因为角ω公用， ，且△AOB~△AOC， 故 ，即
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故H(z)是一个全通网络。 或者按照余弦定理证明:
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题22解图
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（2） 只有选择|a|<1才能使系统因果稳定。 设a=0
（2） 只有选择|a|<1才能使系统因果稳定。 设a=0.6， 极零点分布图及收敛域如题22解图(b)所示。 23． 设系统由下面差分方程描述： y(n)=y(n－1)+y(n－2)+x(n－1) （1） 求系统的系统函数H(z)， 并画出极零点分布图； （2） 限定系统是因果的， 写出H(z)的收敛域， 并求出其单位脉冲响应h(n)； （3） 限定系统是稳定性的， 写出H(z)的收敛域， 并求出其单位脉冲响应h(n)。 解： （1） y(n)=y(n－1)+y(n－2)+x(n－1) 将上式进行Z变换， 得到 Y(z)=Y(z)z－1+Y(z)z－2+X(z)z－1
113
因此 零点为z=0。 令z2－z－1=0， 求出极点： 极零点分布图如题23解图所示。
114
题23解图
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(2) 由于限定系统是因果的， 收敛域需选包含∞点在内的收敛域， 即 。 求系统的单位脉冲响应可以用两种方法， 一种是令输入等于单位脉冲序列， 通过解差分方程， 其零状态输入解便是系统的单位脉冲响应； 另一种方法是求H(z)的逆Z变换。 我们采用第二种方法。 式中
116
， 令
117
n≥0时， h(n)=Res［F(z), z1］+Res［F(z), z2］ 因为h(n)是因果序列, n<0时， h(n)=0， 故
118
(3) 由于限定系统是稳定的， 收敛域需选包含单位圆在内的收敛域， 即|z2|<|z|<|z1|,
n≥0时， c内只有极点z2， 只需求z2点的留数，
119
n<0时， c内只有两个极点： z2和z=0， 因为z=0是一个n阶极点， 改成求圆外极点留数， 圆外极点只有一个， 即z1, 那么
最后得到
120
24． 已知线性因果网络用下面差分方程描述： y(n)=0.9y(n－1)+x(n)+0.9x(n－1) （1） 求网络的系统函数H(z)及单位脉冲响应h(n)； （2） 写出网络频率响应函数H(ejω)的表达式， 并定性画出其幅频特性曲线； （3） 设输入x(n)=ejω0n， 求输出y(n)。 解： （1） y(n)=0.9y(n－1)+x(n)+0.9x(n－1) Y(z)=0.9Y(z)z－1+X(z)+0.9X(z)z－1
121
令 n≥1时，c内有极点0.9，
122
n=0时， c内有极点0.9 ， 0， 最后得到 h(n)=2 · 0.9nu(n－1)+δ(n)
123
（2） 极点为z1=0.9, 零点为z2=－0.9。 极零点图如题24解图(a)所示。 按照极零点图定性画出的幅度特性如题24解图(b)所示。 （3）
124
题24解图
125
25． 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为 x(n)=anu(n), h(n)=bnu(n) <a<1, 0<b<1 （1） 试用卷积法求网络输出y(n)； （2） 试用ZT法求网络输出y(n)。 解： （1） 用卷积法求y(n)。 n≥0时，
126
n<0时， y(n)=0 最后得到 （2） 用ZT法求y(n)。 ，
127
令 n≥0时， c内有极点： a、 b, 因此
128
因为系统是因果系统, 所以n<0时， y(n)=0。
最后得到 26． 线性因果系统用下面差分方程描述： y(n)－2ry(n－1) cosθ+r2y(n－2)=x(n) 式中， x(n)=anu(n), 0<a<1, 0<r<1, θ=常数， 试求系统的响应y(n)。 解： 将题中给出的差分方程进行Z变换，
129
式中 ， 因为是因果系统， 收敛域为|z|>max(r, |a|)， 且n<0时， y(n)=0， 故
130
c包含三个极点， 即a、 z1、 z2。
132
27． 如果x1(n)和x2(n)是两个不同的因果稳定实序列，
求证： 式中， X1(ejω)和X2(ejω)分别表示x1(n)和x2(n)的傅里叶变换。 解： FT［x1(n)*x2(n)］=X1(ejω)X2(ejω) 进行IFT， 得到
133
令n=0, 则 (1) 由于x1(n)和x2(n)是实稳定因果序列， 因此 (2)
134
(3) 由（1）、（2）、（3）式， 得到 28． 若序列h(n)是因果序列， 其傅里叶变换的实部如 下式： 求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejω)。
135
解： 求上式的Z的反变换， 得到序列h(n)的共轭对称序列he(n)为
136
因为h(n)是因果序列， he(n)必定是双边序列， 收敛域取： a<|z|<a－1。
n≥1时， c内有极点： a，
137
n=0时， c内有极点： a、 0，
138
因为he(n)=he(－n)， 所以
139
29． 若序列h(n)是因果序列， h(0)=1， 其傅里叶变换的虚部为
求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejω)。 解：
140
令z=ejω, 有 jHI(ejω)对应h(n)的共轭反对称序列ho(n)， 因此jHI(z)的反变换就是ho(n), 因为h(n)是因果序列， ho(n)是双边序列， 收敛域取: a<|z|<a－1。
141
n≥1时， c内有极点： a, n=0时， c内有极点： a、 0，
142
因为hI(n)=－h(－n), 所以
143
30*. 假设系统函数如下式： 试用MATLAB语言判断系统是否稳定。 解： 调用MATLAB函数filter计算该系统。 系统响应的程序ex230.m如下：
144
%程序ex230.m %调用roots函数求极点， 并判断系统的稳定性 A=［3， －3.98， 1.17， ， －1.5147］； %H(z)的分母多项式系数 p=roots(A) %求H(z)的极点 pm=abs(p)； %求H(z)的极点的模 if max(pm)<1 disp(′系统因果稳定′)， else， disp(′系统不因果稳定′)， end 程序运行结果如下： 极点： － －0.7129i i 0.6760 由极点分布判断系统因果稳定。
145
31*. 假设系统函数如下式： (1) 画出极、 零点分布图， 并判断系统是否稳定； (2) 用输入单位阶跃序列u(n)检查系统是否稳定。
146
解： （1） 求解程序ex231.m如下： %程序ex231.m %判断系统的稳定性 A=［2， －2.98， 0.17， ， －1.5147］； %H(z)的分母多项式系数 B=［0， 0， 1， 5， -50］； %H(z)的分子多项式系数用极点分布判断系统是否稳定 subplot(2， 1， 1)； zplane(B， A)； %绘制H(z)的零极点图 p=roots(A)； %求H(z)的极点 pm=abs(p)； %求H(z)的极点的模
147
if max(pm)<1 disp(′系统因果稳定′)， else， disp(′系统不因果稳定′)， end %画出u(n)的系统输出波形进行判断 un=ones(1， 700)； sn=filter(B， A， un)； n=0： length(sn)－1； subplot(2， 1， 2)； plot(n， sn) xlabel(′n′)； ylabel(′s(n)′) 程序运行结果如下： 系统因果稳定。 系统的零极点图如题31*解图所示。
148
题31*解图
149
（2） 系统对于单位阶跃序列的响应如题31*解图所示， 因为它趋于稳态值， 因此系统稳定。
32*. 下面四个二阶网络的系统函数具有一样的极点分布：
150
试用MATLAB语言研究零点分布对于单位脉冲响应的影响。 要求：
（1） 分别画出各系统的零、 极点分布图； （2） 分别求出各系统的单位脉冲响应， 并画出其 波形； （3） 分析零点分布对于单位脉冲响应的影响。 解： 求解程序为ex232.m， 程序如下：
151
%程序ex232.m A=［1， －1.6， ］； %H(z)的分母多项式系数 B1=1； B2=［1， －0.3］； B3=［1， －0.8］； B4=［1， －1.6， 0.8］； %H(z)的分子多项式系数 b1=［1 0 0］;b2=［1 －0.3 0］; b3=［1， －0.8， 0］； b4=［1，－1.6，0.8］； %H(z)的正次幂分子多项式系数 p=roots(A) %求H1(z)， H2(z)， H3(z)， H4(z)的极点 z1=roots(b1) %求H1(z)的零点 z2=roots(b2) %求H2(z)的零点 z3=roots(b3) %求H3(z)的零点
152
z4=roots(b4) %求H4(z)的零点
［h1n， n］=impz(B1， A， 100)； %计算单位脉冲响应h1(n)的100个样值 ［h2n， n］=impz(B2， A， 100)； %计算单位脉冲响应h1(n)的100个样值 ［h3n， n］=impz(B3， A， 100)； %计算单位脉冲响应h1(n)的100个样值 ［h4n， n］=impz(B4， A， 100)； %计算单位脉冲响应h1(n)的100个样值 %====================================== %以下是绘图部分 subplot(2， 2， 1)；
153
zplane(B1， A)； %绘制H1(z)的零极点图
subplot(2， 2， 2)； stem(n， h1n， ′.′)； %绘制h1(n)的波形图 line(［0， 100］， ［0， 0］) xlabel(′n′)； ylabel(′h1(n)′) subplot(2， 2， 3)； zplane(B2， A)； %绘制H2(z)的零极点图 subplot(2， 2， 4)； stem(n， h2n， ′.′)； %绘制h2(n)的波形图
154
line(［0， 100］， ［0， 0］) xlabel(′n′)； ylabel(′h2(n)′) figure(2)； subplot(2， 2， 1)； zplane(B3， A)； %绘制H3(z)的零极点图 subplot(2， 2， 2)； stem(n， h3n， ′.′)； %绘制h3(n)的波形图 xlabel(′n′)； ylabel(′h3(n)′) subplot(2， 2， 3)；
155
zplane(B4， A)； %绘制H4(z)的零极点图
subplot(2， 2， 4)； stem(n， h4n， ′.′)； %绘制h4(n)的波形图 line(［0， 100］， ［0， 0］) xlabel(′n′)； ylabel(′h4(n)′) 程序运行结果如题32*解图所示。
156
题32*解图
157
四种系统函数的极点分布一样， 只是零点不同， 第一种零点在原点， 不影响系统的频率特性， 也不影响单位脉冲响应。 第二种的零点在实轴上， 但离极点较远。 第三种的零点靠近极点。 第四种的零点非常靠近极点， 比较它们的单位脉冲响应， 会发现零点愈靠近极点， 单位脉冲响应的变化愈缓慢， 因此零点对极点的作用起抵消作用； 同时， 第四种有两个零点， 抵消作用更明显。
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