大開眼界──利用彈簧探討颱風眼形狀的秘密

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1 大開眼界──利用彈簧探討颱風眼形狀的秘密
Typhoon asymmetries and the rotating spring with multiple time scales 　　本報告利用平面上的旋轉彈簧了解多角形颱風眼中心空氣塊的受力情形。旋轉彈簧是一個被輕彈簧繫著的質點在水平面上旋轉的動力系統，它將表現一個多重時間尺度的運動、呈現多角星形的軌跡，我利用空間和時間的無因次量總結數值實驗的結果。旋轉彈簧質點的受力情形解釋了空氣塊在颱風眼中受到小型低壓中心的影響，以及平均氣壓梯度力隨與颱風中心距離增加的趨 勢，也凸顯颱風中心小渦旋的重要性。 　　設質點座標為(x,y)，與原點距離為r，運動時間為t，由虎克定律可以列出以下運動方程 式： 壹、前言 　　衛星觀測資料顯示，颱風眼並不一定是圓形卻可能是多角形的結構，例如2001年侵台的納莉颱風、2003年襲美的Isabel颶風，都被觀測到明顯的三角形、五角星形的颱風眼結構（圖一）。這個現象在被觀測到之前，就已經被科學家以正壓模式預測出(Kossin和Schubert 2001)。 　　給定初始x, y位置及速度dx/dt, dy/dt即可以4階Runge Kutta數值積分方法透過MATLAB軟體 模擬質點的軌跡。 二、系統變數分析 　　本報告中將旋轉後相同的軌跡形狀視為同一種，因此可將初始徑向速度、y座標設為零不失一般性。 　　總共只有五個獨立的變數決定旋轉彈簧的行為：L、xi、m、r0、k。根據Buckingham Pi定理，系統可被含有兩個無因次變數的方程式所 描述。由平衡狀態時的受力方程式可推得 圖一、颱風眼的可見光衛星影像，上圖為2001年納莉颱風，下圖為2003年Isabel颶風 　　一個被彈簧繫著的旋轉質點在運動過程中，會受到拉近、推出的力量，產生多 角形的軌跡。它與多角形颱風眼的關係引起我的好奇心，希望找出颱風眼中類似的作用力，了解氣壓梯度力的分布情形。 貳、旋轉彈簧的行為 為無因次的時間 一、旋轉彈簧系統簡介 另一個無因次變數則是無因次的空間 　　旋轉彈簧系統由一個力常數為k 、原長為r0且沒有質量的理想彈簧，一端固定在座標原點，另一端繫著質量為m的質點在光滑水平面上運動（圖 二）。 兩者互相獨立。 　　描述一種質點軌跡形狀，需要兩個無因次的量： 圖二、旋轉彈簧系統 　　質點對原點的總能量、角動量L守恆，會表現出二維的運動，並帶有旋轉、伸縮週期兩種時間尺度。當初始時彈簧所給予的拉力恰提供旋轉所需的向心力，且徑向速度為零時，質點處於平衡狀態、其軌跡會是圓形的，設平衡 半徑為r*，速度為v*，滿足 1. 角數W：質點旋轉一圈時經歷的振盪次數，可能不是整數，反應在軌跡圖形上就是角數。 2. 振盪幅度A：　　　　　　　　，代表質點運動時遠離平衡位置的程度。 　　 L = mr*v*　、 　　若不處於平衡狀態時，質點會呈現週期性的運動，產生多角形的軌跡。 圖三、數值模擬旋轉彈簧質點軌跡與各種變數的關係

2 参、多角形颱風眼與旋轉彈簧的關係 三、實驗結果 二、氣壓梯度力分析 一、正壓模式中的多角形颱風眼
　　這篇報告中，我使用正壓模式所產生的數據，畫出類似多角形颱風眼中心的氣壓場與流線。圖六表明颱風眼周圍的流線確實出現多角形的樣式，與旋轉彈簧的質點軌跡相似。 　　圖四顯示角數W與K、N的關係，當K愈大、N愈小時，W與K的值會很接近，這是由於離開平衡半徑很少、軌跡仍接近圓形，同時旋轉週期遠大於振盪週期。因此旋轉一圈的週期 可以用平衡半徑的旋轉週期近似。 　　圖七是質點在旋轉彈簧中和空氣塊在颱風眼中的受力比較圖，在多角形颱風眼中空氣塊受到的氣壓梯度力受到不同尺度擾動的影響，表現得相當複雜。 (a) (b) (a) (b) (c) (d) 圖七、受力比較圖　(a)旋轉彈簧的質點軌跡，藍圈是質點每轉過固定角度時的位置　(b) 藍圈處的加速度，由左而右對應到逆時針方向的藍圈　(c)填色部份為氣壓，紅線為一條流線，紅圈是對應到(a)圖藍圈的位置　(d)紅圈處的氣壓梯度 力，由左而右對應到逆時針方向的紅圈 圖四、角數W與N、K的關係　(a)W(N,K)　(b)W(N,K)/K，其中綠色部分的值很接近1 　　圖五顯示振盪幅度A與N、K的關係，同樣當K愈大、N愈小時，A會與N的值很接近。若N太大，質點能向外拉伸彈簧的距離比向內壓 縮的距離大的多，造成A與N的值不接近。 (a) (b) 二、氣壓梯度力分析 　　以距中心最遠處為中點，沿著流線平均兩側的氣壓梯度力，對與中心的夾角做圖。並以同樣的方式計算旋轉彈簧質點的平均加速度，與多角形颱風眼做比較： 圖五、振盪幅度A與N、K的關係　(a)A(N,K)　(b)A(N,K)/N，其中橘色部分的值很接近1 　　： 参、多角形颱風眼與旋轉彈簧的關係 (a) (b) 一、正壓模式中的多角形颱風眼 (c) 圖八、平均方法示意圖　(a)旋轉彈簧平均加速度　(b)白色箭號代表氣壓梯度力，紅色箭號代表平均後的氣壓梯度力，大小經過放大　(c)平均氣壓梯度力大小與夾角的關係 圖六、正壓模式模擬的多角形颱風眼，填色部分代表氣壓，數值是與外圍的壓力差(hPa)，如右方色標所示，黑線代表流 線，白色箭號代表氣壓梯度力

3 圖九、旋轉彈簧的平均加速度大小，正值代表方向向心，左圖為以離原點最遠處為中心的平均圖，右圖為以離原點最近處為中心的平均圖
　　多角形颱風眼中心的氣壓梯度力與旋轉彈簧質點受到的力有密切的關係。平均氣壓梯度力大小隨夾角的變化（圖十左欄）與旋轉彈簧質點平均加速度大小隨角度的變化（圖九）有相同的趨勢。平均氣壓梯度力的方向總是向心的（圖十右欄），也與旋轉彈簧質點相同。 　　衛星觀測顯示，此多角形颱風眼的結構在數小時內並不會有顯著的改變，因此其流線相當程度地代表空氣塊運動的軌跡。當空氣塊行經一個小型低壓中心，會受到類似彈簧的拉力使它向內移動，離開小型低壓中心時則受到相對較小的向內氣壓梯度力，不足以提供旋轉所需的向心力使空氣塊向外移動。 　　這個結果也顯示在小型低壓中心周圍，氣壓梯度力雖有複雜的變化，卻都是對稱分布，並且尺度相對較小，往復、旋轉運動主宰了空氣塊的大尺度行為，導致流線呈多角形。 　　這種不均勻的氣壓場是不穩定的，在衛星雲圖中（圖一）可以看到，颱風眼附近有許多小型渦旋伴隨著小型低壓中心，維持了此氣壓場的存在，形成多角形颱風眼結構。 圖十、平均氣壓梯度力，左欄為平均氣壓梯度力的大小與夾角的關係，右欄為平均氣壓梯度力的方向 肆、結論與應用 1. 旋轉彈簧系統的行為可簡化成一個週期內的行為，被兩個互相獨立的無因次量　　　、 　　　　　所描述，其中r*滿足　　　　　 。 2. 在N<0.2、K>6的情況下旋轉彈簧的軌跡可以被初始條件預測，角數近似為K、振盪幅度近似為N。 3. 空氣塊在多角形颱風眼流經小型低壓中心受到的平均氣壓梯度力，可以用平面旋轉彈簧系統中的平均加速度合理解釋。 4. 氣壓擾動在低壓中心附近是對稱的，並含有更小尺度的變化。 5. 了解多角形颱風眼中心氣壓梯度力的分布情形有助於研究小渦旋的生成和穩定性。 伍、參考文獻 Kossin, J. P. and W. H. Schubert, 2001: Mesovortices, polygonal flow patterns, and rapid pressure falls in hurricane-like vortices. J. Atmos. Sci., 58, Kossin, J. P., B. D. McNoldy,　W. H. Schubert, 2002:Vortical Swirls in Hurricane eye clouds., Mon. Wea. Rev., 130, Kossin, J. P. and W. H. Schubert, 2004: Mesovortices in Hurricane Isabel. BAMS, Lynch, P., 2003: Resonant rossby wave triads and the swinging spring. BAMS,