2.5 回路分析的矩阵方法 广义支路及其特性方程的矩阵形式 广义支路及其图 特性方程

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1 2.5 回路分析的矩阵方法 广义支路及其特性方程的矩阵形式 广义支路及其图 特性方程 ukRk(ikiSk)uSkRkikRkiSkuSk 或 ikGk(ukuSk)iSkGkukGkuSkiSk

2 设电路具有b条支路、n个节点，将所有支路的特性方程合成写成矩阵形式，有
ubRbibRbiSuS 或 ibGbubGbuSiS 其中ib和ub分别为支路电流向量和支路电压向量； uS[uS1, uS2, …, uSb]T和iS[iS1, iS2, …, iSb]T分别为电压源向量和电流源向量，Rbdiag[R1, R2, …, Rb]为支路电阻矩阵，Gbdiag[G1, G2, …, Gb]为支路电导矩阵。

3 网孔分析的矩阵方法 基尔霍夫定律的降阶网孔矩阵 Mub = 0 将一般支路特性方程的矩阵形式代入上式，可得 MubMRbibMRbiSMuS0 由于 ib = MTim 所以得网孔方程 MRbMTimMRbiSMuS 令 RmMRbMT uSmMRbiSMuS 网孔方程可简写为 RmimuSm

4 例2.5.1 试用矩阵方法列写图(a)所示电路的网孔矩阵方程，并求各广义支路的电压和电流
(a) (b) 解：可按下述步骤列写电路的网孔矩阵方程 (1) 按照广义支路的定义，作出电路的有向图，设定支路及网孔的参考方向，如图(b)所示 (2) 根据有向图写出降阶网孔矩阵

5 (3) 由电路及电路的图写出支路电导矩阵 电压源向量为 电流源向量为 (4) 求取网孔电阻矩阵 (5) 计算网孔电压源向量

6 (6) 列出网孔矩阵方程为 (7) 求解上述方程得到网孔电流向量 (8) 求取支路电流向量 所以

7 基尔霍夫定律的基本回路矩阵形式 对于一个具有b条支路、l个基本回路的连通图，定义基本回路矩阵B=[bik]lb，其中行号对应基本回路，列号对应支路，B的第(i，k)个元素bik定义为 有向图及其基本回路 选支路4、5和6构成一个树，则得连支集{1,2,3}

8 可知基本回路为l1、l2和l3，即{1,5,6}、{2,4,5,6}和{3,4,5}，如下图所示。
此时可以写出基本回路矩阵为 按上述选取基本回路的情况下，B具有下列形式 B = {1l┇ Bt} l个基本回路 l条连支 n1条树支

9 对基本回路列写KVL方程，并写成矩阵形式，有
推广到一般情况，假设ub表示支路电压向量，则基尔霍夫电压定律的基本回路矩阵形式为 Bub = 0 如果将支路电压向量按照连支电压和树支电压进行分块，则上式可以写成

10 从而得到连支电压和树支电压之间的关系为 连支电流是一组独立变量，可以用来表达全部支路电流。通过对基本割集（即单树支割集）列写KCL方程，能够将树支电流表示成连支电流的代数和。 选支路4、5和6构成的一个树，其基本割集如右图

11 应用KCL，有 用连支电流表示所有支路电流，写成矩阵形式为 推广到一般情况，假设il表示基本回路电流向量，ib表示支路电流向量，基尔霍夫电流定律的基本回路矩阵形式为

12 基本回路分析的矩阵方法 得到基尔霍夫定律的基本回路矩阵形式和支路方程的矩阵形式之后，就可以建立基本回路方程的矩阵形式，进而求出电路的支路电压和支路电流。 将支路特性方程代入基尔霍夫电压定律的基本回路矩阵形式，有 BubBRbibBRbiSBuS0 再将基尔霍夫电流定律的基本回路矩阵形式代入有 BRbBTilBRbiSBuS RlBRbBT uSlBRbiSBuS 令 回路方程可简写为 RliluSl

13 运用回路分析矩阵法分析电路的步骤可总结为：
(1) 画出与电路对应的有向图，选树并按先连支后树支的次序对支路进行编号。再作出基本回路，选回路方向与该回路中的连支方向相一致。 (2) 写出基本回路矩阵B、支路电阻矩阵Rb、电压源向量uS及电流源向量iS (3) 求回路阻抗矩阵RlBRbBT (4) 求回路电压源向量uSlBRbiSBuS (5) 求回路电流向量ilRl–1uSl (6) 求支路电流向量ibBTil (7) 求支路电压向量ubRbibRbiS+uS

14 例2.5.2 试用矩阵方法列写出图 (a)所示电路的基本回路方程。
(a) (b) 解：可按下述步骤列写电路的基本回路方程 (1) 画出图(a)所示电路的有向图。选树T：{5,6,7}，并按先连支后树支的次序对支路进行编号。作出基本回路，其方向与该回路中的连支方向相一致，如图(b)所示。

15 (2) 写出基本回路矩阵B、支路电阻矩阵Rb、电压源向量uS及电流向量iS
uS  [0 uS uS6 0]T iS [ –iS ]T (3) 求回路电阻矩阵Rl

16 (4) 求回路电压源向量uSl 最后得到以基本回路电流向量il为变量的基本回路方程为

17 例2.5.3 试按指定的树T：{4,5,6}写出图 (a)所示电路的基本回路方程
(a) (b) 解：图(a)所示电路的有向图如图(b)所示。图中标出了各个基本回路及其参考方向

18 首先，将受控电源看作为独立电源。直接写出电路方程为
然后把受控电源的控制量用基本回路电流表示 代入上式，经移项便得所求的基本回路方程

19 2.6 割集分析的矩阵方法 割集分析法是以割集电压为独立变量来列写电路方程的电路分析方法。在割集分析法中，一般以树支电压（也称割集电压）为独立变量，对每个基本割集列写KCL方程，求得树支电压。而连支电压可通过树支电压求出。节点分析法是割集分析法的特例。 2.6.1 节点分析的矩阵方法 基尔霍夫定律的降阶关联矩阵形式 Aib = 0 ub = ATun 结合支路方程式，可以整理得 AibAGbATunAGbuSAiS0

20 AGbATun AGbuSAiS 令 iSnAGbuSAiS GnAGbAT 可简写为 GnuniSn 基尔霍夫定律的基本割集矩阵形式 对一个支路数为b、割集数为c的连通图，定义一个基本割集矩阵Q=[qik]cb，其中行号对应割集，列号对应支路，Q的第(i，k)个元素qik定义为

21 选支路4、5和6构成一个树，可知上图的基本割集为cl、c2和c3，即{2,3,4}、{1,2,3,5}和{1,2,6}，如下图
有向图及其基本割集 选支路4、5和6构成一个树，可知上图的基本割集为cl、c2和c3，即{2,3,4}、{1,2,3,5}和{1,2,6}，如下图 基本割集矩阵为 按上述选取基本割集的情况下，Q具有下列形式： Q = [ Ql ┇ 1t ] nl个基本回路 l条连支 n1条树支

22 对基本割集列写KCL方程，并写成矩阵形式有
推广到一般情况，假设ib表示支路电流向量，基尔霍夫电流定律的基本割集矩阵形式为 Qib = 0 如果将支路电流按照连支电流和树支电流进行分块，则上式可以写成

23 从而得到树支电流和连支电流之间的关系为 树支电压是一组独立变量，可以用来表达全部支路电压。对基本回路列写KVL方程，能够将连支电压表示成树支电压的代数和。

24 用树支电压表示所有支路电压，并写成矩阵形式为
推广到一般情况，假设ut 表示基本割集电压向量，ub表示支路电压向量，基尔霍夫电压定律的基本割集矩阵形式为

25 基本割集分析的矩阵方法 得到基尔霍夫定律的基本割集矩阵形式和支路方程的矩阵形式之后，就可以建立基本割集方程的矩阵形式，进而求出电路的支路电压和支路电流。 将支路特性方程代入基尔霍夫电流定律的基本割集矩阵形式，有 QibQGbub QGbuS QiS0 再将基尔霍夫电压定律的基本割集矩阵形式代入有 QGbQTut QGbuS QiS GqQGbQT iSqQGbuSQiS 令 割集方程可简写为 GqutiSq

26 运用基本割集矩阵法分析电路的步骤可总结为：
(1) 画出与电路对应的有向图，选树并按先连支后树支的次序对支路进行编号。再作出基本割集，选基本割集方向与该割集中的树支方向相一致。 (2) 写出基本割集矩阵Q，支路电导矩阵Gb，电压源向量uS及电流源向量iS (3) 求基本割集导纳矩阵Gq QGbQT (4) 求基本割集电流源向量iSq QGbuS QiS (5) 求基本割集电压向量ut Gq1iSq (6) 求支路电压向量ub QTut (7) 求支路电流向量ib Gbub GbuS iS

27 例2.6.2 试列写出图 (a)所示电路的基本割集方程
(a) (b) 解：可按下列步骤进行 (1) 画出图 (a)所示电路的有向图。选树Tt为{5,6,7}并按先接支后树支的次序进行支路编号。再找出基本割集cl、c2及c3并使基本割集的方向与该基本割集中的树支方向相一致，如图(b)所示。

28 (2) 写出基本割集矩阵Q、支路电导矩阵Gb、电流源向量iS及电压源向量uS
uS  [0 uS uS6 0]T iS [ –iS ]T (3) 求基本割集导纳矩阵Gq

29 (4) 求基本割集电流源向量iSq 最后得到以基本割集电压向量ut为变量的基本割集方程为

30 2.7 电路的对偶性 两个互为对偶的电路 (a) (b)

31 通过直接观察，可得图 (a)所示电路的网孔方程为
图 (b)所示电路的节点方程 ， ， ， ， ， 如果两个电路的元件值具有下列关系

32 则上两个方程的解的值相同，即 如果电路 相同，各项系数以及激励的数值相同，那么电路方程的解的数值也分别相等，称这样的两个电路互为对偶电路。 的节点方程与电路N的网孔方程不仅形式 对偶性是电路中普遍存在的一种规律。如果电路中某一关系（定理、方程等）的表述是成立的，则将表述中的概念（变量、参数、元件、结构等）用其对偶因素转换后所得的对偶表述也一定是成立的。这就是对偶原理。

33 设电路N的网孔矩阵为M，电路 的关联矩阵为 ，如果 ，则这两个电路的有向图称为对 偶图。 对于一个连通的、平面的拓扑图G，可以按如下步骤作出其对偶图 （1）对图G的每一网孔，画出图 的节点。 （2）对图G的每一条支路，画出图 的支路。 （3）根据给定有向图G，确定对偶图 中支路的 方向。

34 解：按照作对偶图的规则，在图G的网孔ml、m2、m3和m4中分别画出节点
例 试作出图 (a)所示有向图G的对偶图 (a) (b) (c) 解：按照作对偶图的规则，在图G的网孔ml、m2、m3和m4中分别画出节点 、 和 ，节点 网孔的外面，并作为图 用虚线画出连接节点 及 些支路与图G中各支路是一一对应的。这样，就得出 ，如图(c)所示。 则画在外 的参考节点，见图(b)。图中 的各条支路，这 了对偶图

35 在作出对偶图之后，就可以在对偶图的基础上作出对偶电路。这只要在对偶图的每一支路
支路k相对偶的元件即可。 上画上与 例 试求图 (a)所示电路N的对偶电路 (a) (b) 解：根据上面所说的方法可得如图(b)所示对偶电路。图中，

36 2.8 端口特性分析 在有些情况下，仅需求解电路某一支路或某些支路电压、电流，这时一种解决办法就是把复杂的“大”电路拆分成“小”电路，对这些“小”电路逐一求解从而得出所需结果。 2.8.1 一端口电路的端口特性 一端口电路的端口特性是由电路本身的拓扑结构和元件参数决定的，与外电路无关。

37 解：图(a)所示电路由电阻串、并联构成，其等效电阻为3Ω。如果外加电流源i，如图中虚线部分所示，得到电路的端口特性为
一端口电路的端口特性可以在一端口电路的端口接任意电路的情况下来求取。为此，要列出整个电路的方程，然后消去端口电压、电流变量以外的所有变量即可。 例 试求图示一端口电路的端口特性。 (a) (b) 解：图(a)所示电路由电阻串、并联构成，其等效电阻为3Ω。如果外加电流源i，如图中虚线部分所示，得到电路的端口特性为 或

38 图(b)所示的电路含电阻和受控电源。外加电压源u，如图中虚线部分所示。对节点①列写节点方程得
u1即为节点电压un1，解得 对回路l1列写KVL方程，得 消去un1即可得到电路的端口特性为 或

39 例2.8.2 试求图示含独立电压源一端口电路的端口特性
解：外施电压源u，如图中虚线部分所示。利用网孔分析法来求电流i，设网孔电流为im1、im2，于是有网孔方程 解得 所以电路的端口特性 或

40 例 试求图示一端口电路的端口特性 解：用“外加电流源法”来求一端口的电压电流关系。外加电流源i，其端口电压为u。用网孔分析法来求电压u，设网孔电流为im1、im2、im3，有网孔方程

41 补充网孔电流im2所满足的方程 由上述方程消去各网孔电流，即得到一端口电路的端口特性为 也可以用“外加电压源法”来求一端口的端口特性。外加电压源u，其流过电压源的电流为i。利用节点分析法来求电压i，设节点电压为un1、un2，有节点方程 补充节点电压un1所满足的方程 由上述方程消去节点电压，即得到一端口电路的端口特性

42 一端口电路的等效电路 如果一个一端口电路N和另一个一端口电路N’的端口特性完全相同，也就是它们在ui平面上的伏安特性曲线完全重叠，则这两个一端口电路便是等效的。求一端口电路的等效电路，实质上是求该一端口电路的端口特性。 例 求图示一端口电路的最简等效电路。 解：已知图示一端口电路的端口特性为

43 也可以把端口特性改写为 (a) (b) 图(a)所示电路也具有相同的端口特性，其电路由两个元件组成，是可能具有的最简形式，即为所求电路等效的戴维南电路。图(b)所示电流源与电阻并联的电路也具有同样端口特性，也具有最简形式，即为等效的诺顿电路。

44 2.8.3 不含独立电源二端口电路的端口特性 一个四端电路，若其四个端钮能两两成对地构成端口，则此四端电路是一个二端口电路。 二端口电路 二端口电路的端口上共有四个变量，即u1、u2、i1和i2。它的端口特性就是由存在于这四个变量之间的约束关系来描述的。每个端口对电路提供一个约束，因此四个变量间的约束关系有两个。这两个约束关系为

45 对于含电阻元件和/或受控电源的线性二端口电路，上述两个约束关系可具体化为下列两个线性方程
从四个端口变量中任选两个作为独立变量，另两个作为非独立变量。共有C426种选法。对每一种选法，均能用由两个非独立变量与独立变量之间关系的显式方程来表示，于是能得出六种二端口参数。

46 一、含开路电阻参数的二端口方程 选择端口电流i1和i2为独立变量的情况，相当于二端口电路受到两个电流源i1和i2的共同激励。 此时 u = Ri 或 式中

47 矩阵R称为二端口电路的开路电阻矩阵，它的元素称为r参数
端口2开路时端口1的驱动点电阻 端口1开路时的反向转移电阻 端口2开路时的正向转移电阻 端口1开路时端口2的驱动点电阻

48 r参数等效电路 例 试求图示二端口电路的开路电阻参数 解：先将端口2开路，端口1不变。按电路的连接方式可列出

49 根据r参数定义式可求出 再将端口1开路，端口2不变。按电路的连接方式可列出 根据r参数定义式可求出

50 二、含短路电导参数的二端口方程 选取端口电压u1和u2为独立变量的情况相当于二端口电路受到两个电压源u1和u2的共同激励。 此时 i = Gu 或 式中

51 矩阵G称为二端口电路的短路电导矩阵，它的元素称为g参数
端口2短路时端口1的驱动点电导 端口1短路时的反向转移电导 端口2短路时的正向转移电导 端口1短路时端口2的驱动点电导

52 g参数等效电路 三、含混合参数的二端口方程 若选取一端口电流和另一端口电压为独立变量，相当于二端口电路的一端口受到电流源的激励，另一端口受到电压源的激励。

53 先讨论端口1受电流源激励、端口2受电压源激励的二端口电路
特性方程 写成矩阵形式 可解得

54 令 则 或 其中

55 h参数等效电路 对于端口1受电压源激励、端口2受电流源激励的二端口电路 特性方程

56 写成矩阵形式 可解得 令 则 或

57 其中 四、含传输参数的二端口方程 选u2和i2为独立变量时

58 令 则 或 其中

59 当选取u1和i1为独立变量时 令 则 或

60 其中 2.8.4二端口电路各参数间的关系 同一个二端口电路的六种参数之间是可以相互换算

61 例 试求图示二端口电路的六种参数矩阵 解：根据题图可写出 表示成矩阵形式 可知

62 再根据参数互换表可分别求出 又a21=0，R矩阵不存在 可见并非任何一个二端口电路都具有六种矩阵

63 一个二端口电路是否具有六种矩阵，可根据下列六个22矩阵是否奇异来断定，即
(1) 当 时，二端口电路无R矩阵 (2) 当 时，二端口电路无G矩阵 (3) 当 时，二端口电路无H矩阵 (4) 当 时，二端口电路无 矩阵

64 (5) 当 时，二端口电路无A矩阵 (6) 当 时，二端口电路无 矩阵 例 已知压控电流源是一个二端口电路，试问该二端口电路是否具有全部六种矩阵 解：根据题图有

65 由上面二式可求得 上述六个矩阵中只有下列两个矩阵行列式 可知此受控电源只有Y矩阵和A矩阵，无其他矩阵

66 二端口电路的互连 二端口电路间的连接方式有：串联、并联、串并联、并串联和级联等 一、串联连接 两个二端口电路的串联连接 若假设二端口电路N1、N2的开路电阻矩阵分别为R1、R2，N1、N2连接后仍满足端口定义

67 由N1、N2的端口特性 根据题图的串联连接，有 可得 其中

68 两个二端口电路相互连接在一起后，若各自的端口电流约束条件不被破坏，则由两个子二端口电路串联而成的总二端口电路，其开路电阻矩阵R等于两个子二端口电路的开路电阻矩阵R1、R2之和。
两个二端口电路之间的连接是否会破坏各自的端口电流约束条件，可通过有效性测试来判定。对串联连接来说，测试电路如下

69 若在这两次测量中电压表的读数均为零，即uV10和uV20，则可断定串联连接没有破坏两个子二端口电路各自的端口电流约束条件。
二、并联连接 两个二端口电路的并联连接

70 若假设二端口电路N1、N2短路电导矩阵分别为G1、G2，N1、N2连接后仍满足端口定义，由N1、N2的端口特性
根据题图的并联连接，有 可得 其中

71 两个二端口电路相互连接在一起后，若各自的端口电流约束条件不被破坏，则由两个子二端口电路并联而成的总二端口电路，其短路电导矩阵G等于两个子二端口电路的短路电导矩阵G1、G2之和。
两个二端口电路之间的连接是否会破坏各自的端口电流约束条件，可通过有效性测试来判定。对并联连接来说，测试电路如下

72 若在这两次测量中电压表的读数均为零，即V10和V20，则可断定并联连接没有破坏两个子二端口电路各自的端口电流约束条件。
三、串并联和并串联连接 两个二端口电路的串–并联连接

73 假设二端口电路N1、N2第一种混合参数矩阵分别为H1、H2，N1、N2连接后仍满足端口定义，则
其中 两个二端口电路的并串联连接

74 假设二端口电路N1、N2第二种混合参数矩阵分别为
其中 四、级联连接 两个二端口电路的级联连接

75 级联不会破坏端口条件，所以不需要做有效性测试。
根据级联电路所示电压、电流参考方向可得 其中 级联不会破坏端口条件，所以不需要做有效性测试。 例 已知R11，R23，R32。试求图(a)所示T形二端口电路的R矩阵和A矩阵 (a) (b) (c)

76 解：T形电路可以看成是两个简单二端口电路的串联（见图(b)），也可以看成是三个简单二端口电路的级联（见图(c)）。不难断定这两种接法都是有效的。把它看成是二端口电路的串联是为了便于求R矩阵，把它看成是二端口电路的级联是为了便于求A矩阵 对图 (b)，不难求得 此T形电路的R矩阵

77 对图 (c)，不难求得 此T形电路的A矩阵

78 如果利用端口检查方法得出两个二端口电路的连接失效，则必须采取措施变失效连接为有效连接。一般可采用光电隔离、变压器隔离等方法来实现有效连接。

79 具有端接的二端口电路 为了便于讨论，限定所接的一端口端电路是线性非时变的，而且接在输入端口上的一端口电路设定为戴维南（或诺顿）电路，输出端口所接的一端口电路设定为一个电阻

80 采用r参数，二端口电路的电压电流关系可表示为
外接一端口电路的电压电流关系 联立上述四个方程，可求解得到端口电压u1、u2和电流i1、i2。 此外 驱动点（输入）电阻 开路电压

81 输出电阻 二端口电路端口电压比 电路转移电压比（电压增益） 二端口电路端口电流比 电路转移电流比（电流增益）

82 含独立电源二端口电路的端口特性 当二端口电路中含有独立电源时，其端口特性可用以下六种方程形式加以表达 诸式中的参数矩阵都是不含独立电源，即内部独立电源全部置零情况下二端口电路的参数矩阵。

83 上述各方程右端的一列常数项，是内部独立电源在端口上的贡献。常数项可按下图所示电路求解出

84 独立电源在端口上的贡献，但对同一个二端口电路来说，不可能出现一个端口同时既开路又短路的状态，所以它们只能通过上面四种（开路、短路）状态的任意一种电压和电流表达出来。
上两个方程中的 ，尽管也是内部 如

85 解：将图(a)所示二端口电路的内部电压源置零，得图(b)，对中间网孔列写网孔方程得
例 试用r参数表示图 (a)电路的端口特性 (a) (b) 解：将图(a)所示二端口电路的内部电压源置零，得图(b)，对中间网孔列写网孔方程得 求得网孔电流

86 由KVL得 将网孔电流im3代入上式 于是有R矩阵

87 为了求出所需要的方程，还应求出 含源双口两个端口都开路时，可求出 最后得出用r参数表示的端口特性