Chap 8 積分技巧L’Hôpital’s定理和瑕積分

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1 Chap 8 積分技巧L’Hôpital’s定理和瑕積分
8.1 基本積分規則 8.2 分部積分法 8.3 三角函數的積分 8.4 三角替換法 8.5 部份分式法 8.6 使用積分表和其他方法求積分 8.7 不確定型式和L’Hôpital’s定理 8.8 瑕積分

2 Section 8.1 基本積分規則 學習目標: • 複習整理被積分函數來套用基本積分規則

3 例題 比較三個相似的積分 Solution = = a. b. c.

4 例題 利用兩個基本規則求積分 Solution

5 例題 的代換 Solution 令 => 原式

6 例題 使用對數規則的情形 求 Solution

7 例題 使用對數規則的情形 Solution

8 例題 三角恆等式 Solution

9 被積函數常用分解原理 1. 2. 3. 4. 5. = 6. = 7. = =

10 Section 8.2 分部積分法 學習目標: • 以分部積分法求反導數

11 分部積分法 =>

12 定理 分部積分法

13 分部積分法的引導法則: 1.利用基本積分公式，嘗試令dv代表被積分函數中最 複雜的部份，而u則代表剩下的部份。
2.嘗試選擇u，使u的導函數比u簡單，而令dv代表被 積分函數中剩下的部份

14 是有意義的 是可行的. it is simpler.

15 例題 分部積分法 Solution

16 例題 分部積分法 Solution

17 例題 單項函數的積分 Solution

18 例題 重複進行分部積分 Solution

19 例題 分部積分法 Solution

20 例題 求圖形中心 Solution 所以得到圖形中心位在

21 總結

22 例題 Tabular Method Solution

23 Section 8.3 分部積分法 學習目標: • 含sinx和cosx冪次的積分 • 含secx和tanx冪次的積分
• 含sinmx和cosnx乘積的積分

24 含正、餘弦函數冪次的積分引導法則:

25 例題 正弦函數的冪次是正的奇數 Solution

26 例題 餘弦函數的冪次是正的奇數 Solution

27 例題3 餘弦函數的冪次是正的偶數 Solution

28 Wallis 公式

29 Wallis 公式

30 含正割、正切函數的冪次積分引導法則

31 含正割、正切函數的冪次積分引導法則

32 例題4 正切函數的冪次是正的奇數 Solution

33 例題5 正割函數的冪次是正的偶數 Solution

34 例題 正切函數的冪次是偶數 Solution

35 例題 化回正、餘弦 Solution

36 利用下列積化和差公式將積分寫成

37 例題 利用積化和差公式 Solution

38 Section 8.4 三角替換法 學習目標: • 以三角替換求積分 • 以積分建立模型來解決實際問題

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42 例題 三角替換: Solution

43 例題 三角替換: Solution

44 例題 三角替換:有理冪次 Solution

45 例題 以替換的變數表示定積分的上、下限 Solution

46 定理 積分公式( a > 0 ) 證明

47 例題 求弧長 Solution

48 Section 8.5 部份分式法 學習目標: • 了解部份分式的概念 • 有理函數分解成一次分式後求積分
• 有理函數分解成二次分式後求積分

49 部份分式

50 部份分式

51 分解N(x)/D(x)為部份分式

52 分解N(x)/D(x)為部份分式

53 例題 一次因式都不相同 Solution

54 例題 重複一次因式 Solution

55 例題 有二次因式但是一次因式均不相同 Solution

56 例題 重複二次因式 Solution

57 Section 8.6 使用積分表和其他方法求積分
學習目標: • 使用積分表求不定積分 • 利用簡化公式求不定積分 • 求以正、餘弦組成有理函數的不定積分

58 公式 4. 公式 9.

59 例題 使用積分表 Solution

60 例題 使用積分表 Solution

61 例題 使用積分表 Solution

62 簡化公式:

63 例題 利用簡化公式 Solution

64 例題 使用積分表 Solution

65 正、餘弦組成有理函數的替換方法:

66 Section 8.7 不確定型式和L’Hôpital’s定理
學習目標: • 察覺不定型的極限問題 • 使用L’Hôpital’s定理求不確定型式的極限

67 定理 廣義的中間值定理

68 定理 L’Hôpital’s 定理

69 證明:

70 例題 不確定型式0/0 Solution

71 例題 不確定型式∞/∞ Solution

72 例題 連續使用L’Hôpital’s 定理 Solution

73 例題 不確定型式0×∞ Solution

74 例題 不確定型式1^∞ Solution

75 例題 不確定形式0^0 Solution

76 例題 不確定形式∞－∞ Solution

77 Section 8.8 瑕積分 學習目標: • 求上下限無窮大的瑕積分 • 求極限無窮大之函數的瑕積分

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79 例題 發散的瑕積分 Solution

80 例題 收斂的瑕積分 Solution

81 例題 L’Hôpital’s 定理求瑕積分 Solution

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83 例題 發散的瑕積分 Solution

84 例題8 內部區間不連續的瑕積分 Solution

85 例題 重複瑕積分 Solution

86 定理 特殊的瑕積分

87 例題 轉體的體積及表面積 Solution