第6章 彎　曲 245 6.5　非對稱彎曲 當推導彎曲公式時，吾人受限條件於橫截面面積對稱於與中性軸垂直之軸；合內彎矩沿中性軸作用。然而，這些條件乃不需要的。本節將證明彎曲公式即可應用在一具任何形狀截面面積之樑亦可應用在一樑之合內彎矩作用在任意方向。

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1 第6章 彎　曲 245 6.5　非對稱彎曲 當推導彎曲公式時，吾人受限條件於橫截面面積對稱於與中性軸垂直之軸；合內彎矩沿中性軸作用。然而，這些條件乃不需要的。本節將證明彎曲公式即可應用在一具任何形狀截面面積之樑亦可應用在一樑之合內彎矩作用在任意方向。

2 246 彎矩沿主軸作用 考慮一樑之截面具非對稱 (unsymmetrical) 形狀，合內彎矩 M 沿軸 z 作用。要求作用在整個截面面積之應力分佈具零合力，對 y 軸之合內彎矩為零，及對 z 軸之合內彎矩等於 M 。這三個條件可藉由考慮作用在位於 (0 , y , z) 微元素 dA 之力以數學式表示，此力為 dF = dA，因此吾人得 (6-14) (6-15) (6-16) 第6章 彎　曲

3 如6.4節中所示，因z軸通過截面面積形心，式 (6-14) 可成立。
第6章 彎　曲 246 如6.4節中所示，因z軸通過截面面積形心，式 (6-14) 可成立。 假設材料性質為線─彈性，則分佈在截面上之正向應力亦呈線性，故  = (y/c)max，圖6-30(b)。吾人得

4 若 y 及 z 軸被選為面積之慣性主軸 (principal axes of inertia) 則其值必為零。
第6章 彎　曲 246 若 y 及 z 軸被選為面積之慣性主軸 (principal axes of inertia) 則其值必為零。 結論，假如彎矩 M 對任一形心慣性主軸作用，則式 (6-14) 至 (6-16) 即可成立。

5 第6章 彎　曲 246

6 第6章 彎　曲 247 彎矩任意作用 有時，一構件可能承受負載使得合內彎矩不對任一截面主軸作用。首先將彎矩分解為沿主軸方向，然後利用彎曲公式求出各彎矩分量所造成之正向應力。最後應用重疊法 (principle of superposition) 求出此點之合正向應力 (resultant normal stress)。 一樑具矩形截面及承受一彎矩 M 。

7 247 一般式為 (6-17) 式中  = 任意點正向應力。 y , z =
第6章 彎　曲 247 一般式為 (6-17) 式中  = 任意點正向應力。 y , z = 依右手座標系統下，原點在截面面積之形心上，從 x , y , z 軸所量測之點之座標。x 軸朝外離開截面，而 y 及 z 軸分別表示最小及最大面積慣性矩之主軸。 My , Mz = 沿主軸 y 及 z 之合內彎矩分量。若指向 y 及 z 軸則其為正，反之則為負，換言之， My =M sin 及 Mz = M sin ，式中  從 z 軸朝 y軸旋轉為正。 Iy , Iz = 分別對 y 及 z 軸之主慣性矩。參見附錄A。

8 因中性軸上正向應力為零，利用式 (6-17)，令  = 0，吾人可定出圖6-34(d) 中中性軸之角度 ，得
248 中性軸之方位 因中性軸上正向應力為零，利用式 (6-17)，令  = 0，吾人可定出圖6-34(d) 中中性軸之角度 ，得 且因 Mz = M cos 及 My = M sin ，圖6-34(a)，則 (6-18) 第6章 彎　曲

9 此為截面中性軸直線方程式，圖6-32(d)。因括號內之項乃表示直線 (y / z)之斜率
第6章 彎　曲 248 此為截面中性軸直線方程式，圖6-32(d)。因括號內之項乃表示直線 (y / z)之斜率 (6-19) 對於非對稱彎曲，定義彎矩 M 之角度 ，圖6-32(a)，除非 Iz = Iy ,  不等於  ，     90

10  彎曲公式只有在以其截面的慣性主軸來產生彎曲時適用之。此主軸需位於形心上且方位需沿對稱軸及垂直對稱軸。
第6章 彎　曲 248  彎曲公式只有在以其截面的慣性主軸來產生彎曲時適用之。此主軸需位於形心上且方位需沿對稱軸及垂直對稱軸。  若彎矩是依任一軸來施加，則此彎矩須沿截面兩不同主軸方向的分量，且此位置的應力則可由各彎矩分量所產生的應力重疊而得之。

11 第6章 彎　曲 249 6-18

12 第6章 彎　曲 249

13 第6章 彎　曲 249

14 第6章 彎　曲 250

15 第6章 彎　曲 250

16 第6章 彎　曲 250 6-19

17 第6章 彎　曲 251