九年级数学(下)第一章 直角三角形的边角关系

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1 九年级数学(下)第一章 直角三角形的边角关系
1.3三角函数的有关计算 沈阳南昌中学九年级

2 知识回顾 C A B Rt△ABC中除直角之外的五要素: 三条边:AB,AC,BC;两个锐角:∠A ,∠B

3 知识回顾 知识回顾 c b a （1）三边之间的关系 （勾股定理） （2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90° A B C
（3）边角之间的关系

4 特殊角的三角函数值表 三角函数 锐角α 正弦sinα 余弦cosα 正切tanα 300 450 600

5 由锐角的三角函数值反求锐角 ∠A

6 如何解直角三角形 1 . 如图，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°， 求∠B. 解：在Rt△ABC中， ∴∠B=30° ∵tanB= 30°

7 2.如图,身高1.7m的小明用一个两锐角分别是30°和60° 的三角尺测量一棵树的高度.已知他与树之间的距离
解:在Rt△ACD中，∠CAD＝30° ∴tan30°＝ ∴CD＝AD·tan30°＝ ∴CE＝ ≈4.6(m) ∴棵树大约4.6m.

8 3 .如图，△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AB=2，求AC的长.
解：过A作AD⊥BC于D， ∵ 在Rt △ABD中,∠B=45°,AB=2， 2 sinB = 45° 30° D ∴AD=AB·sinB =2×sin45°= ∵在Rt△ACD中，∠C=30° ∴AC=2AD =

9 知识的运用 4.如图,∠D＝90°,∠B=30°,∠ACD=45°, BC=4cm,求AD. A x 怎样做？ B x 4 C D x
解：在Rt△ACD中,∠BDA＝45° ∴CD=AD x 在Rt△ABD中，∠B＝30° ∴tan30°= 怎样做？ 30° 45° ┌ B x 4 C D x ∴BD= AD ∵BD－CD=BC, 即 AD－AD＝4 ∴ AD＝ 体会这两个图形的“模型”作用.将会助你登上希望的峰顶.

10 巩固练习 (课本17页) 建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为60°,观察底部B的仰角为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m) B A C D 40

11 2010年长沙 5.为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC的高度 解：∵在Rt△ADB中， ∠BDA＝45°，AB＝3 ∴DA＝3 在Rt△ADC中，∠CDA＝60° ∴tan60°= ∴CA= ∴BC=CA－BA=( －3)米 答：路况显示牌BC的高度是( －3)米

12 6.一个人先爬了一段45o的山坡300m后，又爬了一段60o的山坡200m，恰好到达山顶。你能计算出山的高度吗？
C 解：过B作BE⊥CD于E，BF⊥AD于F. 在Rt△ABF中，∠A＝45° BF＝AB·sin45°=150 200m 在Rt△ABF中,∠CBE＝60° CE＝BC·sin60°=100 B F E 300m ∴山高( ＋ )m A D

13 B 7.热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高? α=30° A 120 D β=60° 解；在Rt△ABD中，∠BAD＝30° BD＝AD·tan30°=40 在Rt△ACD中,∠CAD＝60° CD＝AD·tan60°=60 C ∴BC＝BD+CD＝100 ∴山高 m

14 8.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 解：过A作AF⊥BD于F.设AF＝x海里 在Rt△ABF中,∠BAF＝60° A ∴BF=AF·tan60°＝ x 在Rt△ADF中，∠DAF＝30° ∴DF=AF·tan30°= x x 30° 60° ∵BF－DF=BD ，即 B D F 12 ∴ x=6 >8 ∴没有触礁的危险

15 C A B D A B C E D 温馨提示 解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时都常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造直角三角形来解.

16 知识回顾 1.解直角三角形 2.解直角三角形的依据 a2＋b2＝c2（勾股定理）； ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形. (必有一边) Ａ Ｃ Ｂ a b c 2.解直角三角形的依据 (1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； (2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º； (3)边角之间的关系:

17 感悟：利用解直角三角形的知识解决实际问题
的一般步骤: 1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) 2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形; (有“弦”用“弦”; 无“弦”用“切”) 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.

18 优选关系式 C A B c a b 已知斜边求直边， 正弦余弦很方便； 已知直边求直边， 运用正切理当然； 已知两边求一角，
函数关系要选好； 已知两边求一边， 勾股定理最方便； 已知直边求斜边， 用除还需正余弦； 计算方法要选择， 能用乘法不用除.

19 学以致用 9.如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观察站A相距10 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？ 北 A B C 10 10 F 1 2

20 如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观察站A相距10 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？
解：过点C作CD ⊥AB,垂足为D 北 A B C 10 45° ∵灯塔B在观察站A北偏西45°的方向 D 5 ∴ ∠B=45° 10 ∵sinB = 10× = F ∴CD= BC·sinB= 10×sin45°= 45° ∵在Rt△DAC中， sin ∠DAC= ∴ ∠ DAC=30° ∴∠CAF= ∠BAF -∠DAC= 45°-30°=15° ∴灯塔C处在观察站A的北偏西15°的方向

21 如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观察站A相距10 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？
解：过点A作AE⊥BC，垂足为E, 北 A B C 10 E 设CE=x ∵在Rt△BAE中，∠BAE=45° ∴AE=BE=10+x 10 ∵在Rt△CAE中，AE2+CE2=AC2 ∴x2+(10+x)2=(10　)2 45° 即：x2+10x-50=0 ∴sin ∠CAE= (舍去) ∴∠CAE≈15° ∴灯塔C处在观察站A的北偏西15° 的方向

22 一个直角三角形中，若已知五个元素中的两个元素（其中必须有一个元素是边），则这样的直角三角形可解.
练一练 1.在Rt △ABC中，∠C＝90°，已知a， ∠A的值，则c的值为 A. atanA B. asinA C D （ ） 2.在Rt △ABC中，∠C＝90°，已知 ，BC＝6， 则AC＝ ，AB＝ 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； (1) ∠A＝45°, a= 3; (2) c=8,b=4; D 一个直角三角形中，若已知五个元素中的两个元素（其中必须有一个元素是边），则这样的直角三角形可解. 8 10 思考：解直角三角形时，必须已知几个元素，才能求得其余元素呢？

23 巩固练习 在山脚C处测得山顶A的仰角为45°问题如下: 沿着水平地面向前300米到达D点在D点测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB. C
60° D

24 14．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD， BC∥AD，迎水坡AB长13米，且tan∠BAE＝ ，则河堤的高BE为 米．
2008沈阳中考 14．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD， BC∥AD，迎水坡AB长13米，且tan∠BAE＝ ，则河堤的高BE为 米． B C D E A 2009沈阳中考 16．如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正 弦值为 ，则坡面AC的长度为 m．

25 再见

26

27 你能解决吗? 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤ α ≤75°.现有一个长6m的梯子.问:
A C B 角α越大,攀上的高度就越高. 这个问题归结为: 在Rt△ABC中,已知∠A= 75°,斜边AB=6,求BC的长

28 你能解决吗? 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤ α ≤75°.现有一个长6m的梯子.问:
A C B 角α是否在50°≤ α ≤75°内 这个问题归结为: 在Rt△ABC中,已知AC=2.4m,斜边AB=6, ,求锐角α的度数?

29 知识应用 例1.如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，

30 仰角和俯角 介绍: 在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 视线 铅直线 仰角

31 知识应用 例1.如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，
α＝22° E 1.20 22.7

32 例2:热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高?
B α=30° A 120 D β=60° C

33 巩固练习 (课本93页) 建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为50°,观察底部B的仰角为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m) B A C D 40

34 例3. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里） A 65° P C 34° B

35 方位角 介绍: 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角. 如图：点A在O的北偏东30°
点B在点O的南偏西45°（西南方向） 30° 45° B O A 东 西 北 南

36 例3. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里） A 65° 80 P C 34° B

37 知识小结 1.在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念(仰角,俯角;方位角等) 2.实际问题向数学模型的转化 (解直角三角形)

38 什么是解直角三角形 1.在直角三角形中，我们把两个锐角、三条边称为直角三 角形的五个元素. 图中∠A，∠B，a，b，c即为直角三角形
2.解直角三角形: 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫做解直角三角形． A B a b c C