Test for difference among the means: t Test

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1 Test for difference among the means: t Test
第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

2 課程目標 瞭解變異數分析的原理 瞭解F考驗的原理與程序 瞭解整體考驗與事後考驗的差異 瞭解相依樣本的ANOVA 瞭解共變數分析的原理
熟習ANOVA的SPSS統計應用 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

3 基本定義 平均數考驗方法 變異數分析是一套應用於探討平均數差異的統計方法
當研究者所欲分析的資料是不同樣本的平均數，也就是探討類別變項對於連續變項的影響，平均數的差異成為主要分析重點 超過兩個以上的平均數的考驗，其原理是運用F考驗來檢驗平均數間的變異量是否顯著的高於隨機變異量，又稱為變異數分析 第一節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

4 變異數分析的基本原理 平均數的變異分析 超過兩個平均數的考驗，其原理仍是以平均數間的變異數（組間變異）除以隨機變異得到的比值（F值），來取代平均數差異與隨機差異的比值（t或Z值），而能夠同時檢驗三個平均數的差異情形 當F值越大，表示研究者關心的組平均數的分散情形較誤差變異來得大，若大於研究者設定的臨界值，研究者即可獲得拒絕虛無假設、接受對立假設的結論。 第二節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

5 單因子變異數分析資料實例 可以計算出四個平均數，即三個組平均數與一個總平均數（grand mean)。變異數分析檢驗的就是這三個組平均數是否具有顯著的差異 研究假設為：高、中、低三種不同運動量的受測者，其睡眠時間不同 第二節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

6 SSwithin and SSbetween
第二節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

7 實驗、族系與比較錯誤率 實驗誤差率（experiment-wise error rate；EWE）
統計的決策，是以整個實驗的型I錯誤率維持一定（例如.05）的情況下，導出各次決策所犯的型I錯誤率為何 族系誤差率（familywise error rate; FWE） 將每一個被檢驗的效果（例如主要效果、交互效果）的統計考驗的型I錯誤率維持一定，導出各次決策所犯的型I錯誤率 比較錯誤率（comparison-wise error rate） 將型I錯誤率設定於每一次的統計考驗，均有相同的犯第一類型錯誤的機率 實驗與族系誤差率 為了維持整體的α水準為.05，必須降低各次考驗的α水準 第二節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

8 固定效果模式與隨機效果模式 固定效果模式（fixed effect model）
當一個研究的自變項的水準個數（k組），包括了該變項所有可能的水準數（K組），也就是樣本的水準數等於母體的水準數（K=k） 。 例如比較大學四個年級學生的曠課次數，此時自變項為年級，具有四個水準，而母體亦為四個年級。 隨機效果模式（random effect model） 研究所取用的自變項，只包含特定的一些水準，而並非包括所有可能的類別，即樣本的水準數小於母體的水準數（K>k） 。 例如教育學者比較不同地區的學校教學方法的成效有所不同，因此隨機選取幾個地區的一些學校共四所（自變項），該研究所關心的四個水準，可以說是隨機自教學方法的母體中，隨機取用得來的。 第二節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

9 變異量拆解 SStotal=SSb+SSw 各離均差平方和平均化後，得到均方和（MS），即為變異數的概念
SSb「導因於獨變項影響的變異」 （組間離均差平方和，sum of squares between groups） SSw「導因於獨變項以外的變異」（隨機變異）（組內離均差平方和，sum of squares within groups） 各離均差平方和平均化後，得到均方和（MS），即為變異數的概念 第二節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

10 F ratio 兩個變異數的比值稱為F統計量 F統計量的機率分配為F分配 F值越大，表示研究者關心的組平均數的分散情形較誤差變異來得大
若大於臨界值，研究者即可獲得拒絕H0的結論 第二節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

11 變異數分析摘要表 變異數分析的結果可以整理成摘要表形式 第二節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

12 相依樣本的變異數分析 相依樣本設計（correlated sample design）
進行變異數分析檢驗時，獨變項的不同水準的受試者並非獨立無關的個體，而是具有關聯的樣本 基本形式 重複量數設計(repeated measured design; RM) 指同一個受試者重複接受不同的實驗處理或進行多次測量的變異數分析，稱為RM分析。 配對樣本設計(randomized block design, RB) 指具有配對關係的樣本接受不同的實驗處理的變異數分析，每一個配對稱為一個區組（block） 又稱為隨機區組設計（randomized blocked design） 第二節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

13 單因子相依樣本設計的資料形式 獨變項分組平均數 區組平均數（橫列上區組平均數） 細格效果 區組效果 細格效果 獨變項效果
表示實驗或分組效果（p個獨變項各水準下的分組平均數） 區組平均數（橫列上區組平均數） 反應該區組的平均水準，也就是區組同質性所造成在依變項上的水準高低 細格效果 每一個細格只有一個觀察值，因此沒有細格內變異，沒有交互效果 細格間的變異視為隨機誤差 區組效果 細格效果 獨變項效果 第二節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

14 F考驗與摘要表 第二節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

15 ANOVA的基本假設 （一）常態性假設 （二）變異數同質性假設 （三）可加性假設 （四）球面性假設（sphericity）
變異數分析需處理超過三個以上的平均數，須假設樣本是抽取自常態化母群體，當樣本數越大，常態化的假設越不易違反。 （二）變異數同質性假設 多個樣本平均數的比較，必須建立在樣本的其他參數保持恆定的基礎上，如果樣本的變異數不同質，將造成推論上的偏誤。也就是樣本變異數同質性假設（homogeneity of variance）。 （三）可加性假設 變異數分析牽涉到變異量的拆解，因此，各種變異來源的變異量須相互獨立，且可以進行累積與加減，稱為可加性（additivity）假設。在進行加總時，係使用離均差平方和，而非變異數本身。 （四）球面性假設（sphericity） 適用於相依樣本的變異數分析，係指不同水準的同一組樣本，在依變項上的得分，兩兩配對相減所得的差的變異數必須相等（同質）。也就是說，不同的受試者在不同水準間配對或重複測量，其變動情形應具有一致性。 第二節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

16 ω2（omega square）量數 類似於迴歸分析的R2 定義式 ω2量數 樣本估計式： 為組間變異與總變異的比值
表示依變項變異量能被獨變項解釋的百分比 亦即獨變項與依變項的關聯強度 樣本估計式： 第二節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

17 ω2量數的判斷 ω2量數的特性 Cohen（1988）建議下列的判斷準則 數值介於0到1之間，越接近1表示關聯越強
ω2量數值分佈為以.05到.06為眾數的正偏態分配，達到.1以上者，即屬於高強度的獨變項效果 一般期刊上所發表的實證論文的，也僅多在.06左右 Cohen（1988）建議下列的判斷準則 第二節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

18 η2 （eta square）量數 η2是迴歸分析當中的R2，除了作為X對Y解釋強度的指標外，經常也被視為效果量的指標
樣本數小時，為母體的偏估計數，需以下式進行調整，以得到不偏估計數（Wherry, 1931） 淨η2 （partial η2 ）量數 扣除了其他效果項的影響後的關聯強度量數 第二節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

19 效果量係數 效果量（size of effect）係數 D量數 f量數 用來衡量獨變項強度的統計量。 最簡單的效果量 指平均數之間的差異程度
平均數間差異越大，表示獨變項的強度越強 f量數 適用於當平均數數目大於2時 第三節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

20 關聯強度分析 統計顯著性（statistical significance） 實務顯著性（practical significance）
基於機率理論的觀點，說明獨變項效果相對於隨機變化的一種統計意義的檢驗 例如利用F考驗來決定獨變項效果的統計意義 實務顯著性（practical significance） 反應獨變項效果在真實世界的強度意義 常用ω2 、 η2、f量數表示 也稱為臨床顯著性（clinical significance） 第二節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

21 整體考驗與多重比較 整體考驗(overall test)
當變異數分析F考驗值達顯著水準，即推翻了平均數相等的虛無假設，亦即表示至少有兩組平均數之間有顯著差異存在。多個平均數整體效果（overall effect）達顯著水準 當整體考驗顯著後必須檢驗哪幾個平均數之間顯著有所不同，即進行多重比較（multiple comparison）來檢驗。 多重比較在進行F考驗之前進行，稱為事前比較（priori comparisons），在獲得顯著的F值之後所進行的多重比較，稱為事後比較（posteriori comparisons）。 第三節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

22 多重比較問題 第一類型錯誤膨脹問題 變異數同質假設問題 當比較次數越多，犯下決策錯誤的可能性就更高
多重比較的統計原理多以族系錯誤率（FWE）的控制為主，期能使整體的錯誤率維持在一定的水準之下 變異數同質假設問題 多個平均數的比較必須在變異數同質假設維繫的情況下才有相同的標準誤 如果各組變異數不同質時，多重比較的顯著性考驗還必須對變異數不同質進行調整處理 第三節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

23 事前比較 時機 在進行研究之前，研究者即基於理論的推理或個人特定的需求，事先另行建立研究假設，以便能夠進行特定的兩兩樣本平均數的考驗
事前比較所處理的是個別比較的假設考驗，在顯著水準的處理上，屬於比較面顯著水準，而不需考慮實驗面的顯著水準 可直接應用t考驗，針對特定的水準，進行平均數差異考驗 第三節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

24 事後比較 變異數同質時（當各組樣本數相同時）
Tukey’s HSD法:將所有的配對比較視為一體，使整個研究的第一類型錯誤維持衡定，第一類型錯誤是一種實驗誤差（experiment-wise error） LSD法又稱為Fisher擔保t檢定（Fisher’s protected t-test），表示這個t檢定是以Ｆ考驗達到顯著之後所進行的後續考驗，同時也在F考驗的誤差估計下所進行 第三節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

25 HSD法 HSD法原理 在常態性、同質性假設成立下，各組人數相等的一種以族系誤差率的控制為原則的多重比較程序
稱為誠實顯著差異（Honestly Significant Difference） 所謂誠實，就是在凸顯LSD法並沒有考慮到實驗與族系面誤差的問題 代價是降低了統計考驗的檢定力。以HSD法所得到的顯著性，會比沒有考慮型一錯誤膨脹問題的檢定方法來的高（例如如果比較次數為三次，HSD的p值為會是LSD法的三倍） Kramer則將Tukey的方法加以延伸至各組樣本數不相等的情況下，由於原理相同，故合稱為Tukey-Kramer法 第三節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

26 Newman-Keuls Methed 原理及計算公式與Tukey’s HSD法相同，唯一不同的是臨界值的使用
N-K法考慮相比較的兩個平均數在排列次序中相差的層級數r（the number of steps between ordered mean），作為自由度的依據，而非HSD的平均數個數k。 由於此法也是利用t檢定原理，因此在SPSS中稱為S-N-K法（Student-Newman-Keuls法） HSD法對於平均數配對差異檢驗較N-K法嚴謹，但是HSD法的統計檢定力則較N-K法為弱 第三節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

27 Scheffe’s methed 原理 一種以F考驗為基礎，適用於n不相等的多重比較技術
此一方法對分配常態性與變異一致性兩項假定之違反頗不敏感，且所犯第一類型錯誤（type I error）的機率較小。可以說是各種方法中最嚴格、檢定力最低的一種多重比較。 Cohen（1996）甚至認為Scheffe執行前不一定要執行F整體考驗，因為如果F考驗不顯著，Scheffe考驗亦不會顯著，但是如果F整體考驗顯著，那麼Scheffe檢定則可以協助研究者尋找出整體考驗下的各種組合效果 第三節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

28 變異數同質假定違反的多重比較 Dunnett’s T3法 調整臨界值來達成族系與實驗面的錯誤機率，使型一機率控制在一定的水準下
表示有nj個人的第j組變異數，表示各平均數變異誤估計數 第三節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

29 Games-Howell法 原理 計算出調整自由度 後，直接與查自於Studentized range distribution的qcv臨界值相比，來決定顯著性 當各組人數大於50時Games-Howell法所求出的機率估計會較T3法正確，類似於Dunnett另外提出的C法 第三節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

30 Dunnett method 類似於Scheff法，適用於實驗研究中
當實驗具有k個平均數，k-1個為實驗控制，一個對照組，每一個實驗組需與對照組比較，因此需進行k-1次配對比較，第一類型錯誤的設定，是以整體實驗的成敗為考量，為一種experiment-wise error。 杜納法基於t分配的機率原理，檢定k-1個實驗組的平均數與單一控制組的平均數之間的差異顯著性，屬於非正交比較（non-orthogonal comparison）。 第三節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

31 共變數分析 共變數分析Analysis of Covariance(ANCOVA)
將一個典型的變異數分析中的各個量數，加入一個或多個連續性的共變項(即控制變項)，以控制變項與依變項間的共變為基礎，進行「調整」(correction)，得到排除控制變項影響的單純(pure)統計量的ANOVA檢定 Y2 Level 1 Level 2 Y1 第四節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

32 單共變數分析的基本原理 共變數分析的目的 單純統計量 共變項也必需為連續變項
將一個典型的變異數分析中的各個量數，加入一個或多個連續性的共變項(即控制變項)，以控制變項與依變項間的共變為基礎，進行「調整」(correction)，得到排除控制變項影響的單純(pure)統計量 單純統計量 指自變項與依變項的關係，因為先行去除控制變項與依變項的共變，因而不再存有該控制變項的影響，單純的反映研究所關心的自變與依變關係。 共變項也必需為連續變項 研究中對於自變項或依變項具有干擾效應的變項 實驗研究中的前測（pretest）多可作為控制變項 第四節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

33 混淆因子的控制 變項關係的檢驗，除了具體明確的界定與陳述其關連或因果特質之外，常取決於研究者是否能夠控制其他無關的干擾變項，減少分析過程的混淆因素。 研究的控制 程序控制（procedural control） 抽樣過程盡可能的隨機化、使研究程序標準化等等 實驗控制（experimental control） 在研究過程中，即針對有可能造成干擾的變項加以測量，再利用實驗設計的操弄與統計的方法，將該因素的效果以「自變項」的角色納入分析 統計控制（statistical control） 以數學原理處理當控制變項與其他自變項對於依變項的影響 第四節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

34 共變數分析的變異數拆解 變異量拆解原理 線性迴歸原理
共變數分析的主要原理係將全體樣本在依變項的得分的變異情形，先以迴歸原理排除共變項的影響，其餘的純淨效果即可區分為「導因於自變項影響的變異」與「導因於誤差的變異」兩個部份 線性迴歸原理 共變數分析是以迴歸的原理，將控制變項以預測變項處理，計算依變項被該預測變項解釋的比率。當依變項的變異量被控制變項可以解釋的部份被計算出來後，剩餘的依變項的變異即排除了控制變項的影響，而完全歸因於自變項效果（實驗處理）。 第四節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

35 共變項的影響二：平均數調整 Level 1 Y2 Level 2 Y2 第四節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

36 共變數分析對於平均數的調整圖示 第四節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

37 迴歸同質假設 迴歸同質假設（assumption of homogeneity of regression）
共變項與依變項的關聯性在各組內相同 第四節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

38 ANCOVA檢驗方法 實際操作 ANCOVA需使用型I平方和來檢驗共變項的效果 迴歸同質性檢驗係檢驗共變項與獨變項的交互作用是否顯著
SPSS中，可以自行調整模型，增加共變項與獨變項的交互作用項，即可獲得檢驗數值 第四節 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA

39 Chapter 11 is done here.. See you later!
Time for rest Chapter 11 is done here.. See you later! 第十一章 平均數的變異分析：ANOVA