第六章 关系数据理论 6.1 问题的提出 6.2 规范化 6.3 数据依赖的公理系统 *6.4 模式的分解 6.5 小结 管理科学与工程学院.

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1 第六章 关系数据理论 6.1 问题的提出 6.2 规范化 6.3 数据依赖的公理系统 *6.4 模式的分解 6.5 小结 管理科学与工程学院

2 6.1 问题的提出 关系数据库逻辑设计 针对具体问题，如何构造一个适合于它的数据模式 数据库逻辑设计的工具──关系数据库的规范化理论
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3 问题的提出 一、概念回顾 二、关系模式的形式化定义 三、什么是数据依赖 四、关系模式的简化定义 五、数据依赖对关系模式影响
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4 一、概念回顾 关系：描述实体、属性、实体间的联系。 从形式上看，它是一张二维表，是所涉及属性的笛卡尔积的一个子集。 关系模式：用来定义关系。
关系数据库：基于关系模型的数据库，利用关系来描述现实世界。 从形式上看，它由一组关系组成。 关系数据库的模式：定义这组关系的关系模式的全体。 管理科学与工程学院

5 二、关系模式的形式化定义 关系模式由五部分组成，即它是一个五元组： R(U, D, DOM, F) U： 组成该关系的属性名集合
D： 属性组U中属性所来自的域 DOM：属性向域的映象集合 F： 属性间数据的依赖关系集合 管理科学与工程学院

6 三、什么是数据依赖 1. 完整性约束的表现形式 限定属性取值范围：例如学生成绩必须在0-100之间
定义属性值间的相互关连（主要体现于值的相等与否），这就是数据依赖，它是数据库模式设计的关键 管理科学与工程学院

7 什么是数据依赖（续） 2. 数据依赖 是通过一个关系中属性间值的相等与否体现出来的数据间的相互关系 是现实世界属性间相互联系的抽象
是数据内在的性质 是语义的体现 管理科学与工程学院

8 3. 数据依赖的类型 什么是数据依赖（续） 函数依赖（Functional Dependency，简记为FD）
多值依赖（Multivalued Dependency，简记为MVD） 其他 管理科学与工程学院

9 四、关系模式的简化表示 关系模式R（U, D, DOM, F） 简化为一个三元组： R（U, F）
当且仅当U上的一个关系r 满足F时，r称为关系模式 R（U, F）的一个关系 管理科学与工程学院

10 五、数据依赖对关系模式的影响 例：描述学校的数据库： 学生的学号（Sno）、所在系（Sdept）
系主任姓名（Mname）、课程名（Cname） 成绩（Grade） 单一的关系模式 ： Student <U、F> U ＝｛ Sno, Sdept, Mname, Cname, Grade ｝ 管理科学与工程学院

11 数据依赖对关系模式的影响（续） 学校数据库的语义： ⒈ 一个系有若干学生， 一个学生只属于一个系； ⒉ 一个系只有一名主任；
⒈ 一个系有若干学生， 一个学生只属于一个系； ⒉ 一个系只有一名主任； ⒊ 一个学生可以选修多门课程， 每门课程有若干学生选修； ⒋ 每个学生所学的每门课程都有一个成绩。 管理科学与工程学院

12 数据依赖对关系模式的影响（续） 属性组U上的一组函数依赖F： (Sno, Cname) → Grade ｝ Sno Cname Sdept
F ＝｛ Sno → Sdept, Sdept → Mname, (Sno, Cname) → Grade ｝ Sno Cname Sdept Mname Grade 管理科学与工程学院

13 关系模式Student<U, F>中存在的问题
⒈ 数据冗余太大 浪费大量的存储空间 例：每一个系主任的姓名重复出现 ⒉ 更新异常（Update Anomalies） 数据冗余 ，更新数据时，维护数据完整性代价大。 例：某系更换系主任后，系统必须修改与该系学生有关的每一个元组 管理科学与工程学院

14 关系模式Student<U, F>中存在的问题
⒊ 插入异常（Insertion Anomalies） 该插的数据插不进去 例，如果一个系刚成立，尚无学生，我们就无法把这个系及其系主任的信息存入数据库。 ⒋ 删除异常（Deletion Anomalies） 不该删除的数据不得不删 例，如果某个系的学生全部毕业了， 我们在删除该系学生信息的同时，把这个系及其系主任的信息也丢掉了。 管理科学与工程学院

15 解决方法：通过分解关系模式来消除其中不合适
数据依赖对关系模式的影响（续） 结论： Student关系模式不是一个好的模式。 “好”的模式： 不会发生插入异常、删除异常、更新异常， 数据冗余应尽可能少。 原因：由存在于模式中的某些数据依赖引起的 解决方法：通过分解关系模式来消除其中不合适 的数据依赖。 管理科学与工程学院

16 6.2 规范化 规范化理论正是用来改造关系模式，通过分解关系模式来消除其中不合适的数据依赖，以解决插入异常、删除异常、更新异常和数据冗余问题。 管理科学与工程学院

17 6.2.1 函数依赖 一、函数依赖 二、平凡函数依赖与非平凡函数依赖 三、完全函数依赖与部分函数依赖 四、传递函数依赖 管理科学与工程学院

18 一、函数依赖 定义6.1 设R(U)是一个属性集U上的关系模式，X和Y是U的子集。
若对于R(U)的任意一个可能的关系r，r中不可能存在两个元组在X上的属性值相等， 而在Y上的属性值不等， 则称 “X函数确定Y” 或 “Y函数依赖于X”，记作X→Y。 X称为这个函数依赖的决定属性集(Determinant)。 Y=f(x) 管理科学与工程学院

19 说明： 1. 函数依赖不是指关系模式R的某个或某些关系实例满足的约束条件，而是指R的所有关系实例均要满足的约束条件。
2. 函数依赖是语义范畴的概念。只能根据数据的语义来确定函数依赖。 例如“姓名→年龄”这个函数依赖只有在不允许有同名人的条件下成立 3. 数据库设计者可以对现实世界作强制的规定。例如规定不允许同名人出现，函数依赖“姓名→年龄”成立。所插入的元组必须满足规定的函数依赖，若发现有同名人存在， 则拒绝装入该元组。 管理科学与工程学院

20 函数依赖（续） 假设不允许重名，则有: 例: Student(Sno, Sname, Ssex, Sage, Sdept)
Sno → Ssex， Sno → Sage , Sno → Sdept， Sno ←→ Sname, Sname → Ssex， Sname → Sage Sname → Sdept 但Ssex →Sage 若X→Y，并且Y→X, 则记为X←→Y。 若Y不函数依赖于X, 则记为X─→Y。 管理科学与工程学院

21 二、平凡函数依赖与非平凡函数依赖 在关系模式R(U)中，对于U的子集X和Y， 如果X→Y，但Y  X，则称X→Y是非平凡的函数依赖
例：在关系SC(Sno, Cno, Grade)中， 非平凡函数依赖： (Sno, Cno) → Grade 平凡函数依赖： (Sno, Cno) → Sno (Sno, Cno) → Cno 管理科学与工程学院

22 对于任一关系模式，平凡函数依赖都是必然成立的，它不反映新的语义，因此若不特别声明， 我们总是讨论非平凡函数依赖。
平凡函数依赖与非平凡函数依赖（续） 对于任一关系模式，平凡函数依赖都是必然成立的，它不反映新的语义，因此若不特别声明， 我们总是讨论非平凡函数依赖。 管理科学与工程学院

23 定义6.2 在关系模式R(U)中，如果X→Y，并且对于X的任何一个真子集X’，都有
三、完全函数依赖与部分函数依赖 定义6.2 在关系模式R(U)中，如果X→Y，并且对于X的任何一个真子集X’，都有 X’ Y, 则称Y完全函数依赖于X，记作X ｆ Y。 若X→Y，但Y不完全函数依赖于X，则称Y部分函数依赖于X，记作X P Y。 管理科学与工程学院

24 完全函数依赖与部分函数依赖（续） 例: 在关系SC(Sno, Cno, Grade)中，
由于：Sno →Grade，Cno → Grade， 因此：(Sno, Cno) ｆ Grade 管理科学与工程学院

25 四、传递函数依赖 定义6.3 在关系模式R(U)中，如果X→Y，Y→Z，且Y X，Y→X，则称Z传递函数依赖于X。记为X t Z。
注: 如果Y→X， 即X←→Y，则Z直接依赖于X。 工号 定额 工号 车间主任 t 例如，设车间考核职工完成生产定额关系为W： W(日期,工号,姓名,工种,超额,定额,车间,车间主任) p f 管理科学与工程学院

26 6.2.2 码 定义6.4 设K为关系模式R<U,F>中的属性或属性组合。若K ｆ U，则K称为R的一个侯选码（Candidate Key）。若关系模式R有多个候选码，则选定其中的一个做为主码（Primary key）。 主属性与非主属性 ALL KEY 管理科学与工程学院

27 外部码 定义6.5 关系模式 R 中属性或属性组X 并非R 的码，但 X 是另一个关系模式的码，则称 X 是R 的外部码（Foreign key）也称外码 主码又和外部码一起提供了表示关系间联系的手段。 管理科学与工程学院

28 6.2.3 范式 范式是符合某一种级别的关系模式的集合。 关系数据库中的关系必须满足一定的要求。满足不同程度要求的为不同范式。 范式的种类：
第一范式(1NF) 第二范式(2NF) 第三范式(3NF) BC范式(BCNF) 第四范式(4NF) 第五范式(5NF) 管理科学与工程学院

29 6.2.3 范式 各种范式之间存在联系： 某一关系模式R为第n范式，可简记为R∈nNF。 管理科学与工程学院

30 6.2.4 2NF 1NF的定义 如果一个关系模式R的所有属性都是不可分的基本数据项，则R∈1NF。
第一范式是对关系模式的最起码的要求。不满足第一范式的数据库模式不能称为关系数据库。 但是满足第一范式的关系模式并不一定是一个好的关系模式。 管理科学与工程学院

31 2NF 例: 关系模式 SLC(Sno, Sdept, Sloc, Cno, Grade)
函数依赖包括： (Sno, Cno) f Grade Sno → Sdept (Sno, Cno) P Sdept Sno → Sloc (Sno, Cno) P Sloc Sdept → Sloc 管理科学与工程学院

32 2NF Sno Cno Grade Sdept Sloc SLC SLC的码为(Sno, Cno) SLC满足第一范式。
非主属性Sdept和Sloc部分函数依赖于码(Sno, Cno) 管理科学与工程学院

33 SLC不是一个好的关系模式 (1) 插入异常 (2) 删除异常
假设Sno＝95102，Sdept＝IS，Sloc＝N的学生还未选课，因课程号是主属性，因此该学生的信息无法插入SLC。 (2) 删除异常 假定某个学生本来只选修了3号课程这一门课。现在因身体不适，他连3号课程也不选修了。因课程号是主属性，此操作将导致该学生信息的整个元组都要删除。 管理科学与工程学院

34 SLC不是一个好的关系模式 (3) 数据冗余度大 如果一个学生选修了10门课程，那么他的Sdept和Sloc值就要重复存储了10次。
(4) 修改复杂 例如学生转系，在修改此学生元组的Sdept值的同时，还可能需要修改住处（Sloc）。如果这个学生选修了K门课，则必须无遗漏地修改K个元组中全部Sdept、Sloc信息。 管理科学与工程学院

35 2NF 原因 Sdept、 Sloc部分函数依赖于码。 解决方法 SC（Sno， Cno， Grade）
SLC分解为两个关系模式，以消除这些部分函数依赖 SC（Sno， Cno， Grade） SL（Sno， Sdept， Sloc） 管理科学与工程学院

36 2NF Sno Cno Grade Sdept Sloc SLC SLC的码为(Sno, Cno) SLC满足第一范式。
非主属性Sdept和Sloc部分函数依赖于码(Sno, Cno) 管理科学与工程学院

37 2NF 函数依赖图： SL Sno Sdept Sloc Sno Cno Grade SC 管理科学与工程学院

38 2NF 2NF的定义 定义6.6 若关系模式R∈1NF，并且每一个非主属性都完全函数依赖于R的码，则R∈2NF。
例：W(日期,工号,姓名,工种,超额,定额,车间,车间主任) 把上面的W关系规范到2NF。 消除部分依赖，即：W分解为W1+W2 其中：W1（日期,工号,超额） W2(工号,姓名,工种,定额,车间,车间主任) 但W2中定额和车间主任仍传递依赖于工号。 管理科学与工程学院

39 第二范式（续） 采用投影分解法将一个1NF的关系分解为多个2NF的关系，可以在一定程度上减轻原1NF关系中存在的插入异常、删除异常、数据冗余度大、修改复杂等问题。 将一个1NF关系分解为多个2NF的关系，并不能完全消除关系模式中的各种异常情况和数据冗余。 管理科学与工程学院

40 3NF的定义 定义6.7 关系模式R<U，F> 中若不存在这样的码X ，属性组Y及非主属性Z（Z  Y）, 使得X→Y，Y→Z成立， Y → X，则称R<U，F> ∈ 3NF。 例如，对于W2(工号,姓名,工种,定额,车间,车间主任) 把上面的W2关系规范到3NF，消除传递依赖 即：W2分解为W21+W22+ W23 其中：W21（工号,姓名,工种,车间） W22(工种,定额) W23(车间,车间主任) 则W= W1+ W21+W22+ W23变成四个属于3NF的关系。 管理科学与工程学院

41 3NF 若R∈3NF，则R的每一个非主属性既不部分函数依赖于候选码也不传递函数依赖于候选码。 如果R∈3NF，则R也是2NF。
采用投影分解法将一个2NF的关系分解为多个3NF的关系，可以在一定程度上解决原2NF关系中存在的插入异常、删除异常、数据冗余度大、修改复杂等问题。 将一个2NF关系分解为多个3NF的关系后，并不能完全消除关系模式中的各种异常情况和数据冗余。 管理科学与工程学院

42 BC范式（BCNF） 定义6.8 设关系模式R<U，F>∈1NF，如果对于R的每个函数依赖X→Y，若Y不属于X，则X必含有候选码，那么R∈BCNF。 若R∈BCNF 每一个决定属性集（因素）都包含（候选）码 R中的所有属性（主，非主属性）都完全函数依赖于码 R∈3NF（证明） 若R∈3NF 则 R不一定∈BCNF 管理科学与工程学院

43 BCNF 例：在关系模式STJ（S，T，J）中，S表示学生，T表示教师，J表示课程。
每一教师只教一门课。每门课由若干教师教，某一学生选定某门课，就确定了一个固定的教师。某个学生选修某个教师的课就确定了所选课的名称 ： (S，J)→T，(S，T)→J，T→J 管理科学与工程学院

44 BCNF S J T STJ 管理科学与工程学院

45 BCNF STJ∈3NF (S，J)和(S，T)都可以作为候选码 S、T、J都是主属性 STJ∈BCNF
T→J，T是决定属性集，T不是候选码 管理科学与工程学院

46 BCNF SJ(S，J) ∈ BCNF， TJ(T，J)∈ BCNF 解决方法：将STJ分解为二个关系模式：
没有任何属性对码的部分函数依赖和传递函数依赖 S J ST T TJ 管理科学与工程学院

47 BCNF [例5] C (CNO,CNAME,PCNO) [例6] S (SNO,SNAME,SDEPT,SAGE)
[例7] SJP (S,J,P) 学生\课程\名次 管理科学与工程学院

48 3NF与BCNF的关系 如果关系模式R∈BCNF， 必定有R∈3NF 如果R∈3NF，且R只有一个候选码， 则R必属于BCNF。
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49 BCNF的关系模式所具有的性质 ⒈ 所有非主属性都完全函数依赖于每个候选码 ⒉ 所有主属性都完全函数依赖于每个不包含它的候选码
⒊ 没有任何属性完全函数依赖于非码的任何一组属性 对于第三章学生数据库中的三个关系模式： Student(Sno,Sname,Ssex,Sage,Sdept) Course(Cno,Cname,Cpno,Ccredit) SC(Sno,Cno,Grade) 它们都已达到BC范式。 如果一个关系数据库中的所有关系模式都属于BCNF，那么在函数依赖范畴内，它已实现了模式的彻底分解，达到了最高的规范化程度。 管理科学与工程学院

50 6.2.7 多值依赖 例9: 学校中某一门课程由多个教师讲授，他们使用相同的一套参考书。 关系模式Teaching(C, T, B)
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51 表6.3 教 员 T 参 考 书 B 课 程 C 李 勇 物理 王 军 数学 计算数学 … … … 光学原理 物理习题集 张 平 数学分析
物理 数学 计算数学 李 勇 王 军 张 平 周 峰 普通物理学 光学原理 物理习题集 数学分析 微分方程 高等代数 … … 管理科学与工程学院 …

52 参考书B 教员T 课程C 用二维表表示Teaching 普通物理学 光学原理 物理习题集 数学分析 微分方程 高等代数 … 李 勇 王 军
张 平 物 理 数 学 参考书B 教员T 课程C 管理科学与工程学院

53 多值依赖（续） Teaching∈BCNF: Teach具有唯一候选码(C，T，B)， 即全码 Teaching模式中存在的问题
(1)数据冗余度大：有多少名任课教师，参考书就要存储多少次 管理科学与工程学院

54 多值依赖（续） (2)插入操作复杂：当某一课程增加一名任课教师时，该课程有多少本参照书，就必须插入多少个元组 （物理，刘关，普通物理学）
例如物理课增加一名教师刘关，需要插入两个元组： （物理，刘关，普通物理学） （物理，刘关，光学原理） 管理科学与工程学院

55 多值依赖（续） (3) 删除操作复杂：某一门课要去掉一本参考书，该课程有多少名教师，就必须删除多少个元组
(4) 修改操作复杂：某一门课要修改一本参考书，该课程有多少名教师，就必须修改多少个元组 产生原因 存在多值依赖 管理科学与工程学院

56 一、多值依赖 定义6.9 例 Teaching（C, T, B） 对于C的每一个值，T有一组值与之对应，而不论B取何值
设R(U)是一个属性集U上的一个关系模式， X、 Y和Z是U的子集，并且Z＝U－X－Y，多值依赖 X→→Y成立当且仅当对R的任一关系r，r在（X，Z）上的每个值对应一组Y的值，这组值仅仅决定于X值而与Z值无关 例 Teaching（C, T, B） 对于C的每一个值，T有一组值与之对应，而不论B取何值 管理科学与工程学院

57 一、多值依赖 在R（U）的任一关系r中，如果存在元组t，s 使得t[X]=s[X]，那么就必然存在元组 w，v r，（w，v可以与s，t相同），使得w[X]=v[X]=t[X]，而w[Y]=t[Y]，w[Z]=s[Z]，v[Y]=s[Y]，v[Z]=t[Z]（即交换s，t元组的Y值所得的两个新元组必在r中），则Y多值依赖于X，记为X→→Y。 这里，X，Y是U的子集，Z=U-X-Y。 t x y z2 s x y z1 w x y z1 v x y z2 管理科学与工程学院

58 多值依赖（续） 平凡多值依赖和非平凡的多值依赖 X→→Y为平凡的多值依赖 否则称X→→Y为非平凡的多值依赖 若X→→Y，而Z＝φ，则称
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59 多值依赖（续） [例10] 关系模式WSC(W,S,C),W表示仓库,S表示保管员,C表示商品 W S C W1 S1 C1 C2 C3
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60 多值依赖的性质 （1）多值依赖具有对称性 （2）多值依赖具有传递性 若X→→Y，则X→→Z，其中Z＝U－X－Y
多值依赖的对称性可以用完全二分图直观地表示出来。 （2）多值依赖具有传递性 若X→→Y，Y→→Z， 则X→→Z -Y 管理科学与工程学院

61 多值依赖的对称性 Xi Zi1 Zi2 … Zim Yi1 Yi2 … Yin 管理科学与工程学院

62 多值依赖的对称性 物 理 普通物理学 光学原理 物理习题集 李勇 王军 管理科学与工程学院

63 多值依赖（续） （3）函数依赖是多值依赖的特殊情况。 若X→Y，则X→→Y。 （4）若X→→Y，X→→Z，则X→→Y Z。
（6）若X→→Y，X→→Z，则X→→Y-Z， X→→Z -Y。 管理科学与工程学院

64 多值依赖与函数依赖的区别 (1) 有效性 多值依赖的有效性与属性集的范围有关
若X→→Y在U上成立，则在W（X Y  W  U）上一定成立；反之则不然，即X→→Y在W（W  U）上成立，在U上并不一定成立 多值依赖的定义中不仅涉及属性组 X和 Y，而且涉及U中其余属性Z。 一般地，在R（U）上若有X→→Y在W（W  U）上成立，则称X→→Y为R（U）的嵌入型多值依赖 管理科学与工程学院

65 多值依赖与函数依赖的区别 只要在R（U）的任何一个关系r中，元组在X和Y上的值满足定义6.l（函数依赖），
则函数依赖X→Y在任何属性集W（X Y  W U）上成立。 管理科学与工程学院

66 多值依赖（续） (2) 若函数依赖X→Y在R（U）上成立，则对于任何Y'  Y均有X→Y' 成立
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67 6.2.8 第四范式（4NF） 允许的是函数依赖（是非平凡多值依赖）
定义 关系模式R<U，F>∈1NF，如果对于R的每个非平凡多值依赖X→→Y（Y  X），X都含有候选码，则R∈4NF。 如果R ∈ 4NF， 则R ∈ BCNF 不允许有非平凡且非函数依赖的多值依赖 允许的是函数依赖（是非平凡多值依赖） 管理科学与工程学院

68 第四范式（续） 例： Teach(C,T,B) ∈ 4NF 存在非平凡的多值依赖C→→T，且C不是候选码
CT(C, T) ∈ 4NF CB(C, B) ∈ 4NF C→→T， C→→B是平凡多值依赖 例:WSC(W,S,C) 管理科学与工程学院

69 6.2.9 规范化 关系数据库的规范化理论是数据库逻辑设计的工具。
一个关系只要其分量都是不可分的数据项，它就是规范化的关系，但这只是最基本的规范化。 规范化程度可以有多个不同的级别 管理科学与工程学院

70 规范化（续） 规范化程度过低的关系不一定能够很好地描述现实世界，可能会存在插入异常、删除异常、修改复杂、数据冗余等问题
一个低一级范式的关系模式，通过模式分解可以转换为若干个高一级范式的关系模式集合，这种过程就叫关系模式的规范化 管理科学与工程学院

71 规范化（续） 关系模式规范化的基本步骤 1NF ↓ 消除非主属性对码的部分函数依赖 消除决定属性 2NF
↓ 消除非主属性对码的部分函数依赖 消除决定属性 2NF 集非码的非平 ↓ 消除非主属性对码的传递函数依赖 凡函数依赖 NF ↓ 消除主属性对码的部分和传递函数依赖 BCNF ↓ 消除非平凡且非函数依赖的多值依赖 4NF 管理科学与工程学院

72 规范化的基本思想 消除不合适的数据依赖 的各关系模式达到某种程度的“分离” 采用“一事一地”的模式设计原则
让一个关系描述一个概念、一个实体或者实体间的一种联系。若多于一个概念就把它“分离”出去 所谓规范化实质上是概念的单一化 管理科学与工程学院

73 规范化（续） 不能说规范化程度越高的关系模式就越好
在设计数据库模式结构时，必须对现实世界的实际情况和用户应用需求作进一步分析，确定一个合适的、能够反映现实世界的模式 上面的规范化步骤可以在其中任何一步终止 管理科学与工程学院

74 6.3 数据依赖的公理系统 逻辑蕴含 定义6.11 对于满足一组函数依赖 F 的关系模式R <U，F>，其任何一个关系r，若函数依赖X→Y都成立, 则称 F逻辑蕴含X →Y 管理科学与工程学院

75 Armstrong公理系统 一套推理规则，是模式分解算法的理论基础 用途 求给定关系模式的码 从一组函数依赖求得蕴含的函数依赖
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76 1. Armstrong公理系统 关系模式R <U，F >来说有以下的推理规则：
Al.自反律（Reflexivity）： 若Y  X  U，则X →Y为F所蕴含。 A2.增广律（Augmentation）：若X→Y为F所蕴含，且Z  U，则XZ→YZ为F所蕴含。 A3.传递律（Transitivity）：若X→Y及Y→Z为F所蕴含，则X→Z为F所蕴含。 注意：由自反律所得到的函数依赖均是平凡的函数依赖，自反律的使用并不依赖于F 管理科学与工程学院

77 定理 6.l Armstrong推理规则是正确的
（l）自反律:若Y  X  U，则X →Y为F所蕴含 证: 设Y  X  U 对R <U，F> 的任一关系r中的任意两个元组t，s： 若t[X]=s[X]，由于Y  X，有t[y]=s[y]， 所以X→Y成立. 自反律得证 管理科学与工程学院

78 定理6.l (2)增广律: 若X→Y为F所蕴含，且Z  U，则XZ→YZ 为F所蕴含。 证：设X→Y为F所蕴含，且Z  U。
设R<U，F> 的任一关系r中任意的两个元组t，s； 若t[XZ]=s[XZ]，则有t[X]=s[X]和t[Z]=s[Z]； 由X→Y，于是有t[Y]=s[Y]，所以t[YZ]=s[YZ]，所以XZ→YZ为F所蕴含. 增广律得证。 管理科学与工程学院

79 定理6.l (3) 传递律：若X→Y及Y→Z为F所蕴含，则 X→Z为 F所蕴含。 证：设X→Y及Y→Z为F所蕴含。
对R<U，F> 的任一关系 r中的任意两个元组 t，s。 若t[X]=s[X]，由于X→Y，有 t[Y]=s[Y]； 再由Y→Z，有t[Z]=s[Z]，所以X→Z为F所蕴含. 传递律得证。 管理科学与工程学院

80 2. 导出规则 1.根据A1，A2，A3这三条推理规则可以得到下面三条推理规则： 合并规则：由X→Y，X→Z，有X→YZ。
伪传递规则：由X→Y，WY→Z，有XW→Z。 分解规则：由X→Y及 ZY，有X→Z。 （A1， A3） 管理科学与工程学院

81 导出规则 2.根据合并规则和分解规则，可得引理6.1
引理5.l X→A1 A2…Ak成立的充分必要条 件是X→Ai成立（i=l，2，…，k）。 管理科学与工程学院

82 3. 函数依赖闭包 定义6.l2 在关系模式R<U，F>中为F所逻辑蕴含 的函数依赖的全体叫作 F的闭包，记为F+。
定义 设F为属性集U上的一组函数依赖，X U， XF+ ={ A|X→A能由F 根据Armstrong公理导出}，XF+称为属性集X关于函数依赖集F 的闭包 管理科学与工程学院

83 F的闭包 F+={ F={X Y,Y Z}, F+计算是NP完全问题，X A1A2...An
X φ, Y φ, Z φ, XY φ, XZ φ, YZ φ, XYZ φ, X X, Y Y, Z Z, XY X, XZ X, YZ Y, XYZ X, X Y, Y Z , XY Y, XZ Y, YZ Z, XYZ Y, X Z, Y YZ, XY Z, XZ Z, YZ YZ, XYZ Z, X XY, XY XY, XZ XY, XYZ XY, X XZ, XY YZ, XZ XZ, XYZ YZ X YZ, XY XZ, XZ XY, XYZ XZ, X ZYZ, XY XYZ, XZ XYZ, XYZ XYZ } 管理科学与工程学院

84 关于闭包的引理 引理6.2 设F为属性集U上的一组函数依赖，X，Y  U，X→Y能由F 根据Armstrong公理导出的充分必要条件是Y XF+ 用途 将判定X→Y是否能由F根据Armstrong公理导出的问题， 就转化为求出XF+ ，判定Y是否为XF+的子集的问题 管理科学与工程学院

85 求闭包的算法 算法6.l 求属性集X（X  U）关于U上的函数依 赖集F 的闭包XF+ 输入：X，F 输出：XF+ 步骤：
（1）令X（0）=X，i=0 （2）求B，这里B = { A |( V)(  W)(V→WF ∧V  X（i）∧A W)}； （3）X（i+1）=B∪X（i） 管理科学与工程学院

86 算法6.l （4）判断X（i+1）= X （i）吗? （5）若相等或X（i）=U , 则X（i）就是XF+ , 算法终止。
（6）若否，则 i=i+l，返回第（2）步。 对于算法5.l， 令ai =|X（i）|，{ai }形成一个步长大 于1的严格递增的序列，序列的上界是 | U |，因 此该算法最多 |U| - |X| 次循环就会终止。 管理科学与工程学院

87 Define XF+ = closure of X
Algorithm Define XF+ = closure of X = set of attributes functionally determined byX Basis: XF+ :=X Induction: If Y XF+, and Y A is a given FD, then add A to XF+ End when XF+ cannot be changed. A y X+ New X+ 管理科学与工程学院

88 U={A, B, C, D}; F={A B, BC D}; A+ = AB. C+ = C. (AC)+ = ABCD. Example
管理科学与工程学院

89 Example U={A, B, C, D}; A B, BC D. (AC)+ = ABCD. D A C B 管理科学与工程学院

90 函数依赖闭包 [例1] 已知关系模式R<U，F>，其中 U={A，B，C，D，E}；
F={AB→C，B→D，C→E，EC→B，AC→B}。 求（AB）F+ 。 解 设X（0）=AB； (1)计算X（1）: 逐一的扫描F集合中各个函数依赖， 找左部为A，B或AB的函数依赖。得到两个： AB→C，B→D。 于是X（1）=AB∪CD=ABCD。 管理科学与工程学院

91 函数依赖闭包 (2)因为X（0）≠ X（1） ，所以再找出左部为ABCD子集的那些函数依赖，又得到AB→C，B→D， C→E，AC→B，
于是X（2）=X（1）∪BCDE=ABCDE。 (3)因为X（2）=U，算法终止 所以（AB）F+ =ABCDE。 管理科学与工程学院

92 4. Armstrong公理系统的有效性与完备性
建立公理系统体系目的：从已知的 f 推导出未知的f 明确：1.公理系统推导出来的 f 正确？ 2. F+中的每一个 f 都能推导出来？ 管理科学与工程学院

93 4. Armstrong公理系统的有效性与完备性
有效性：由F出发根据Armstrong公理推导出来的每一个函数依赖一定在F+中 /* Armstrong正确 完备性：F+中的每一个函数依赖，必定可以由F出发根据Armstrong公理推导出来 /* Armstrong公理够用，完全 完备性：所有不能用Armstrong公理推导出来f, 都不为真 若 f 不能用Armstrong公理推导出来， f∈ F+ 管理科学与工程学院

94 有效性与完备性的证明 证明： 1. 有效性 可由定理6.l得证 2. 完备性
只需证明逆否命题: 若函数依赖X→Y不能由F从Armstrong公理导出，那么它必然不为F所蕴含 分三步证明： 管理科学与工程学院

95 有效性与完备性的证明 (1)引理: 若V→W成立，且V  XF+，则W  XF+
证 因为 V  XF+ ，所以有X→V成立； 因为X →V，V→W，于是X→W成立 所以W  XF+ (2)/* 若 f 不能用Armstrong公理推导出来， f∈ F+ /* 若存在r， F+中的全部函数依赖在 r上成立。 /* 而不能用Armstrong公理推导出来的f , 在r上不成立。 构造一张二维表r，它由下列两个元组构成，可以证明r必是R（U，F）的一个关系，即F+中的全部函数依赖在 r上成立。 管理科学与工程学院

96 Armstrong公理系统的有效性与完备性(续)
XF U-XF+     若r不是R<U，F> 的关系，则必由于F中有函数依赖V→W在r上不成立所致。由r的构成可知，V必定是XF+ 的子集，而W不是XF+ 的子集，可是由第（1）步，W  XF+，矛盾。所以r必是R<U，F>的一个关系。 管理科学与工程学院

97 Armstrong公理系统的有效性与完备性(续)
(3) )/* 若 f 不能用Armstrong公理推导出来， f∈ F+ /* 而不能用Armstrong公理推导出来的 f , 在r上不成立。 若X→Y 不能由F从Armstrong公理导出，则Y 不是 XF+ 的子集。（引理5.2） 因此必有Y 的子集Y’ 满足 Y’ U-XF+， 则X→Y在 r 中不成立，即X→Y必不为 R<U，F> 蕴含 /* 因为 F+中的全部函数依赖在 r上成立。 管理科学与工程学院

98 Armstrong公理系统的有效性与完备性(续)
“蕴含” == “导出” 等价的概念 F+ ==由F出发借助Armstrong公理导出的函数依赖的集合 管理科学与工程学院

99 5. 函数依赖集等价 定义6.14 如果G+=F+，就说函数依赖集 F覆盖G（F是G的覆盖，或G是F的覆盖）， 或F与G等价。
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100 函数依赖集等价的充要条件 引理6.3 F+ = G+ 的充分必要条件是 F  G+ ，和G  F+ 证: 必要性显然，只证充分性。
证: 必要性显然，只证充分性。 （1）若FG+ ，则XF+  XG++ 。 （2）任取X→YF+ 则有 Y  XF+  XG++ 。 所以X→Y  (G+）+= G+。即F+  G+。 （3）同理可证G+  F+ ，所以F+ = G+。 管理科学与工程学院

101 函数依赖集等价 要判定F  G+，只须逐一对F中的函数依赖X→Y，考察 Y 是否属于XG++ 就行了。因此引理5.3 给出了判断两个函数依赖集等价的可行算法。 管理科学与工程学院

102 6. 最小依赖集 定义6.15 如果函数依赖集F满足下列条件，则称F为一个极小函数依赖集。亦称为最小依赖集或最小覆盖。
(2) F中不存在这样的函数依赖X→A，使得F与 F-{X→A}等价。 (3) F中不存在这样的函数依赖X→A， X有真 子集Z使得F-{X→A}∪{Z→A}与F等价。 管理科学与工程学院

103 最小依赖集 [例2] 对于6.l节中的关系模式S<U，F>，其中： U={ SNO，SDEPT，MN，CNAME，G }，
F={ SNO→SDEPT，SDEPT→MN， （SNO，CNAME）→G } 设F’={SNO→SDEPT，SNO→MN， SDEPT→MN，(SNO，CNAME)→G， (SNO，SDEPT)→SDEPT} F是最小覆盖，而F ’不是。 因为：F ’-{SNO→MN}与F ’等价 F ’-{(SNO，SDEPT)→SDEPT}也与F ’等价 F ’-{(SNO，SDEPT)→SDEPT} ∪{SNO→SDEPT}也与F ’等价 管理科学与工程学院

104 7. 极小化过程 定理6.3 每一个函数依赖集F均等价于一个极小 函数依赖集Fm。此Fm称为F的最小依赖集
(1)逐一检查F中各函数依赖FDi：X→Y， 若Y=A1A2 …Ak，k > 2， 则用 { X→Aj |j=1，2，…， k} 来取代X→Y。 引理5.1保证了F变换前后的等价性。 管理科学与工程学院

105 极小化过程 (2)逐一检查F中各函数依赖FDi：X→A， 令G=F-{X→A}， 若AXG+， 则从F中去掉此函数依赖。
由于F与G =F-{X→A}等价的充要条件是AXG+ 因此F变换前后是等价的。 管理科学与工程学院

106 极小化过程 (3)逐一取出F中各函数依赖FDi：X→A， 设X=B1B2…Bm， 逐一考查Bi （i=l，2，…，m），
若A （X-Bi ）F+ ， 则以X-Bi 取代X。 由于F与F-{X→A}∪{Z→A}等价的充要条件是AZF+ ，其中Z=X-Bi 因此F变换前后是等价的。 管理科学与工程学院

107 极小化过程 定理6.3的证明过程 也是求F极小依赖集的过程 由定义，最后剩下的F就一定是极小依赖集。
因为对F的每一次“改造”都保证了改造前后的两个函数依赖集等价，因此剩下的F与原来的F等价。 证毕 定理6.3的证明过程 也是求F极小依赖集的过程 管理科学与工程学院

108 极小化过程 [例3] F = {A→B，B→A，B→C， A→C，C→A} Fm1、Fm2都是F的最小依赖集：
Fm1= {A→B，B→C，C→A}   Fm2= {A→B，B→A，A→C，C→A} F的最小依赖集Fm不一定是唯一的它与对各函数依赖FDi 及X→A中X各属性的处置顺序有关 管理科学与工程学院

109 极小化过程 极小化过程( 定理6.3的证明 )也是检验F是否为极小依赖集的一个算法 若改造后的F与原来的F相同，说明F本身就是一个最小依赖集
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110 极小化过程 在R<U，F>中可以用与F等价的依赖集G来取代F
原因：两个关系模式R1 <U，F>，R2<U，G>，如果F与G等价，那么R1的关系一定是R2的关系。反过来，R2的关系也一定是R1的关系。 管理科学与工程学院

111 6.4 模式的分解 把低一级的关系模式分解为若干个高一级的关系模式的方法并不是唯一的
只有能够保证分解后的关系模式与原关系模式等价，分解方法才有意义 管理科学与工程学院

112 关系模式分解的标准 三种模式分解的等价定义 ⒈ 分解具有无损连接性 ⒉ 分解要保持函数依赖 ⒊ 分解既要保持函数依赖，又要具有无损连接性
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113 模式的分解（续） 定义6.16 关系模式R<U,F>的一个分解：
ρ={ R1<U1,F1>，R2<U2,F2>，…，Rn<Un,Fn>} U=U1∪U2∪…∪Un，且不存在 Ui  Uj，Fi 为 F在 Ui 上的投影 定义6.17 函数依赖集合{X→Y | X→Y  F+∧XY Ui} 的一个覆盖 Fi 叫作 F 在属性 Ui 上的投影 管理科学与工程学院

114 模式的分解（续） 例: SL（Sno， Sdept， Sloc） F={ Sno→Sdept,Sdept→Sloc,Sno→Sloc}
SL∈2NF 存在插入异常、删除异常、冗余度大和修改复杂等问题 分解方法可以有多种 管理科学与工程学院

115 模式的分解（续） SL ────────────────── Sno Sdept Sloc ──────────────────
CS A IS B MA C IS B PH B 管理科学与工程学院

116 模式的分解（续） 1. SL分解为下面三个关系模式： SN(Sno) SD(Sdept) SO(Sloc) 管理科学与工程学院

117 分解后的关系为： SN ────── SD ────── SO ────── Sno Sdept Sloc
────── ────── ────── CS A IS B MA C PH ───── ────── ────── 管理科学与工程学院

118 模式的分解（续） 分解后的数据库丢失了许多信息
例如无法查询95001学生所在系或所在宿舍。 如果分解后的关系可以通过自然连接恢复为原来的关系，那么这种分解就没有丢失信息 管理科学与工程学院

119 模式的分解（续） 2. SL分解为下面二个关系模式： NL(Sno, Sloc) DL(Sdept, Sloc) 分解后的关系为：
NL ──────────── DL ──────────── Sno Sloc Sdept Sloc ──────────── ──────────── A CS A B IS B C MA C B PH B B ──────────── ────────── 管理科学与工程学院

120 模式的分解（续） NL DL ───────────── Sno Sloc Sdept 95001 A CS 95002 B IS
B PH C MA B IS B PH B IS B PH 管理科学与工程学院

121 模式的分解（续） NL DL比原来的SL关系多了3个元组 无法知道95002、95004、95005 元组增加了，信息丢失了
究竟是哪个系的学生 元组增加了，信息丢失了 管理科学与工程学院

122 第三种分解方法 3. 将SL分解为下面二个关系模式： ND(Sno, Sdept) NL(Sno, Sloc) 分解后的关系为：
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123 模式的分解（续） Sno Sdept Sno Sloc ──────────── ────────── 95001 CS 95001 A
ND ──────────── NL ────────── Sno Sdept Sno Sloc ──────────── ────────── CS A IS B MA C IS B PH B ──────────── ─────────── 管理科学与工程学院

124 模式的分解（续） ND NL ────────────── Sno Sdept Sloc 95001 CS A
IS B MA C CS A PH B 与SL关系一样，因此没有丢失信息 管理科学与工程学院

125 具有无损连接性的模式分解 关系模式R<U,F>的一个分解 ρ={ R1<U1,F1>，R2<U2,F2>， …，Rn<Un,Fn>} 若R与R1、R2、…、Rn自然连接的结果相等，则称关系 模式R的这个分解ρ具有无损连接性（Lossless join） 具有无损连接性的分解保证不丢失信息 无损连接性不一定能解决插入异常、删除异常、修改复杂、数据冗余等问题 管理科学与工程学院

126 模式的分解（续） 这种分解方法没有保持原关系中的函数依赖 SL中的函数依赖Sdept→Sloc 没有投影到关系模式ND、NL上
第三种分解方法具有无损连接性 问题: 这种分解方法没有保持原关系中的函数依赖 SL中的函数依赖Sdept→Sloc 没有投影到关系模式ND、NL上 管理科学与工程学院

127 保持函数依赖的模式分解 设关系模式R<U,F>被分解为若干个关系模式
R1<U1,F1>，R2<U2,F2>，…，Rn<Un,Fn> （其中U=U1∪U2∪…∪Un，且不存在Ui  Uj，Fi为F在Ui上的投影），若F所逻辑蕴含的函数依赖一定也由分解得到的某个关系模式中的函数依赖Fi所逻辑蕴含，则称关系模式R的这个分解是保持函数依赖的（Preserve dependency）。 管理科学与工程学院

128 第四种分解方法 将SL分解为下面二个关系模式： ND(Sno, Sdept) DL(Sdept, Sloc) 这种分解方法就保持了函数依赖。
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129 模式的分解（续） 如果一个分解具有无损连接性，则它能够保证不丢失信息。 如果一个分解保持了函数依赖，则它可以减轻或解决各种异常情况。
分解具有无损连接性和分解保持函数依赖是两个互相独立的标准。具有无损连接性的分解不一定能够保持函数依赖。同样，保持函数依赖的分解也不一定具有无损连接性。 管理科学与工程学院

130 模式的分解（续） 第一种分解方法既不具有无损连接性，也未保持函 数依赖，它不是原关系模式的一个等价分解
第二种分解方法保持了函数依赖，但不具有无损连 接性 第三种分解方法具有无损连接性，但未持函数依赖 第四种分解方法既具有无损连接性，又保持了函数 依赖 管理科学与工程学院

131 分解算法 算法6.2 判别一个分解的无损连接性 算法6.3 （合成法）转换为3NF的保持函数依赖的分解。
算法6.2 判别一个分解的无损连接性 算法6.3 （合成法）转换为3NF的保持函数依赖的分解。 算法6.4 转换为3NF既有无损连接性又保持函数依赖的分解 算法6.5 转换为BCNF的无损连接分解（分解法） 算法6.6 达到4NF的具有无损连接性的分解 管理科学与工程学院

132 分解算法 若要求分解具有无损连接性，那么模式分解一定能够达到4NF。
若要求分解保持函数依赖，那么模式分解一定能够达到3NF，但不一定能够达到BCNF。 若要求分解既具有无损连接性，又保持函数依赖，则模式分解一定能够达到3NF，但不一定能够达到BCNF。 管理科学与工程学院

133 泛关系假设 从一个关系模式出发，而不是从一组关系模式出发实行分解 “等价”的定义也是一组关系模式与一个关系模式的“等价”
“假设已知一个模式Sφ，它仅由单个关系模式组成，问题是要设计一个模式SD，它与Sφ‘等价’，但在某些方面更好一些” 从一个关系模式出发，而不是从一组关系模式出发实行分解 “等价”的定义也是一组关系模式与一个关系模式的“等价” 管理科学与工程学院

134 小结(续) 规范化理论为数据库设计提供了理论的指南和工具 并不是规范化程度越高，模式就越好 也仅仅是指南和工具
必须结合应用环境和现实世界的具体情况合理地选择数据库模式 管理科学与工程学院

135 习题 1. 求下列关系模式最高属于第几范式 R(A,B,C,D,E), F={AB→CE,E→AB,C→D}
R(A,B,C,D), F={AB→C,D→B,B→D} 2.关系模式R(A,B,C,D,E), F={A→BC,CD→E,B→D,E→A}, 确定侯选码 求B+ 求极小依赖 管理科学与工程学院

136 下课了。。。 研 究 休息一会儿。。。 管理科学与工程学院