运营管理(Operations Management)

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1 运营管理(Operations Management)
第10章 库存管理 主讲：季建华教授

2 概述(Introduction) (一) 库存的双重影响 积极影响 消极影响 缓冲作用 制造与购买中的经济性 生产连续运行的媒介
服务水平(Service Level) 积极影响 占用流动资金 库存系统运行费用 机会成本(Opportunity Cost) 掩盖管理问题 消极影响

3 概述(Introduction)

4 (二) 独立需求与相关需求(Independent Versus Dependent Demand)
概述(Introduction) (二) 独立需求与相关需求(Independent Versus Dependent Demand) 独立需求 与其它制品所需要的时间、数量无关 不确定、不可控 与其它制品所需要的时间、数量有关 确定、可控 相关需求

5 静态库存控制模型(Static Inventory Management Model)
不同的库存需求，有不同的方法管理 独立需求→采用“补充库存”(Inventory Replenishment)控制机制 将不确定的外部需求问题转化为对内部库存水平的动态监视与补充的问题，通过保持适当的库存水平(Inventory Level)来保证对外界随机需求的恰当服务水平 独立库存模型的两项任务 何时补充(When) 每次补充多少(How Many)

6 静态库存控制模型(Static Inventory Management Model)
1、定量模型(Q模型(Q Model)，或称定量控制法(Fixed-Order Quantity Model) ，订货点法(Reorder Point Model), (1) 原理：连续监视，库存量下降到订货点(Reorder Point, ROP)时提出订货，经过订货提前期(Lead Time)，新的订货到达，补充库存。 库存 Q B B B：订货点 L：订货提前期 t L

7 静态库存控制模型(Static Inventory Management Model)
(2) 静态模型前提假设 a. 需求率(Demand Rate )是一常量 b. 提前期也是确定不变的 c. 每件产品价格不变（与批量(Lot Size)无关） d. 库存费用与平均库存量的成本成正比 e. 每次订货费(Order Cost)是一常量（或调整费(Setup Cost)） f. 所有需求都要被满足（不允许拖欠交货） (3) 参数：B、Q B=dL d：每日需求量

8 2、定期模型（P模型(P model),Fixed-Time Period Model）
静态库存控制模型(Static Inventory Management Model) 2、定期模型（P模型(P model),Fixed-Time Period Model） (1) 原理：每过一个间隔期(fixed-time period)，订一次货，根据库存情况，发出订单。 E：最大库存量 T：订货间隔期 库存 t E Q’ L T

9 静态库存控制模型(Static Inventory Management Model)
(2) 静态模型假设 a. 每一周期中，需求是确定的，但不同周期需求率不同 b. 提前期(Lead Time)不变 c. 单价与批量无关 d. 每次订货费不变 e. 库存费(Holding Cost)与库存量的成本成正比 f. 所有的需求在新的订货到达时都要被满足（拖欠在新订货到达时解决）

10 静态库存控制模型(Static Inventory Management Model)
(3) 参数：E，T Q=E－（Q’－LR） R：该周期平均需求率 订货间隔期长短，订货提前期长短→库存控制精度

11 经济批量及修正 Q模型与p模型的Q，T参数的确定，都与Q有关
库存的年度总费用=购买费用(Purchasing Cost)+订货费用(Order Cost)+库存保管费用(Holding Cost) TC =R · P+ C· R/Q +H · Q/2 购买费：R · P 订货费：C · R/Q 库存保管费：H · Q/2

12 经济批量及修正 R：某库存的年需求量（件/年） P：某库存的单位购买费（元/件） Q：每次订货批量 C：某库存的订货费（元/次）
H：单位库存平均年库存保管费用（元/件·年) H=PF F：库存保管费用率（元/元.年）

13 经济批量及修正 TC 全年费用 C · R/Q H · Q/2 RP Q Q*

14 经济批量及修正 dQ dTC = PF 2CR H Q* = Q* 一般不为整数，需要修正、取整，但 修正的后总费用的变化如何？ 把最佳批量
dQ dTC = 令 PF 2CR H Q* = Q* 一般不为整数，需要修正、取整，但 修正的后总费用的变化如何？ 把最佳批量 Q* 的偏差记为δ Q* ，设订 货批量为 (1+ ，全年总费用 δ ) Q* * Q 2 f(Q)=RP+ RC + H 其中 RP 与批量 Q 无关，灵敏度分析不 考虑

15 经济批量及修正 当Q=(1+δ)Q *时， 将Q * = 代入，得 f(Q)= + f(Q)= = = 2CR H * Q RC 2 H H
d + 1 C 2 R 2 H 2CR × H 2 = + (1 + d ) 1 + d 2CR H × 2 2 d 2 = (1 + ) 2CRH 2(1 + d )

16 2CRH ) 2(1 (1 × + ® d × 经济批量及修正 2CRH 2 100% ) 2(1 + d
式中 是 Q= Q*时，全年的总费用（不考虑RP） 因此，当Q*→（1+δ）Q*时，总费用由 2CRH 2CRH ) 2(1 (1 2 × + d 即费用增长的百分比为 100% ) 2(1 2 × + d

17 经济批量及修正 例：δ=0.1，即修正后的实际批量比经济批量(Economic Order Point)高出10%时，则总费用增加为 δ与总费用增长情况如下表 说明费用对Q*的变化极不灵敏 因此，可在预期的费用增长的幅度内调整批量 由全年与Q有关的总费用 可得出 0.45% ) 2(1 2 = + d δ -0.5 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.5 1.0 费用增长 (%) 25 2.5 0.6 0.45 1.7 3.5 8.3 2 QH Q RC f(Q) + =

18 经济批量及修正 单件与 Q 有关的费用为 解 2R HQ Q C EC' + = R H C 2R 4H (EC') EC' Q - ± =

19 经济批量及修正 当 Q 的取值范围从 Q* 向左右两边移动时 当 时， Q=Q* ，此时的 单件成本记为 =0 EC* R H HC 2 )
L - = H HC R 2 ) (EC' EC' Q h - + = R 2 当 (EC' ) 2 - HC =0 时， Q=Q* ，此时的 R 单件成本记为 EC* R 2CH 2CRH EC* = H 2CR R 2CH * EC Q* 2 =

20 经济批量及修正 成本/件 EC’ EC* Q Qh QL Q*

21 经济批量修正 因此可在单件成本上升值不超过EC’的情况下对Q*进行修正
例：单件P=100元，调整费C=50元/次，R=1500件/年，库存保管费H=20元/年·件 求：Q*,EC*及单件可变费用上升5%后的QL ， Qh 解：Q*=86.6，EC*=1.1547 当EC*上升5%后，则EC’=1.2124元 代入公式，得QL=63.2，Qh=118.7 单件可变费用上升5%，而QL和Qh分别比Q*下降27%和上升37%

22 P、Q静态模型与实际应用的距离(Gap between P,Q Static Model and Practice)
1、供应商促销(Promotion) 订货批量大，降低运输费用，价格折扣（Discount) 2、库存空间约束(Space Constrains) 空间不够，租用其它地方，要在成本条件中得到反映 3、提前期(Lead Time)与需求率很可能是随机的(Random Inventory Control) 因此应该有反映这些情况的模型

23 随机需求的库存控制模型(Inventory Management Model under Random Demand)
(一) 安全库存(Safety Stock)与服务水平(Service Level) 随机库存模型(Random Inventory Control Model)中库存由两部分构成 流动库存(Cycle Stock)：订货间隔期内的平均库存消耗（相当于Q* ） 安全库存(Safety Stock)：解决随机需求中的变动问题 安全库存量的设置取决于： 需求率和提前期的变动情况 对顾客的服务水平(Service Level)

24 随机需求的库存控制模型(Inventory Management Model under Random Demand)
服务水平（Service level) 顾客需求量（Demand) 即时供货量(Demand Satisfied) = 需求量(Demand) 缺货量(Number Short) - =

25 (二) 提前期确定，需求随机 1.定量模型(Fixed-Order Quantity Model)
随机需求的库存控制模型(Inventory Management Model under Random Demand) (二) 提前期确定，需求随机 1.定量模型(Fixed-Order Quantity Model) 采用Q模型，缺货的危险仅发生在订货提前期期间。 在订货提前期内，需求为X，服从正态分布 N (Ld-, Lσx 2) R为库存量，(X-R)为缺货值。S为安全库存，且S=Zσx ,其中L是以天计的订货提前期 ，d-是日平均需求量 , ROP——订货点 ,服务水平为P，那么

26 随机需求的库存控制模型(Inventory Management
Model under Random Demand)

27 随机需求的库存控制模型(Inventory Management Model under Random Demand)

28 随机需求的库存控制模型(Inventory Management Model under Random Demand)
为了便于查表，将正态分布标准化为： 显然 服从标准正态分布， 所以可以通过查找标准正态分布表可得到 ： 所以 ：

29 随机需求的库存控制模型(Inventory Management Model under Random Demand)
60 d = 例： ，C=$10，库存费H=$0.50/件·年 σd=7，L=6天，P=0.95，缺货成本为0 求：订货批量Q和订货点ROP。 解：Q*= =936(件) H 2CR

30 2.定期模型(Fixed-Time Period Model)
随机需求的库存控制模型(Inventory Management Model under Random Demand) 定期观测系统关键解决的两个参量： 库存检查周期T 补充库存的目标值E 考虑需求的随机性，为防止缺货(Backorder)，通过安全库存解决随机需求变化。 安全库存S的出现不会影响订货周期T，但对E产生作用 在P模型下，每次订货量根据需求变化而变化 2.定期模型(Fixed-Time Period Model) T d S ∵E + =

31 I’ S S不仅要考虑从订货到进货这段时间所发生的缺货，还要考虑在进货以后的下一个T中的缺货情况
a时点的订货，一直要用到b时点（即经过（T+L）后）才能下次到货。这段时间的缺货用安全库存(Safety Stock)加以保证。

32 随机需求的库存控制模型(Inventory Management Model under Random Demand)
① a—b，即（L+T）期间的市场需求 ② 满足a—b即（L+T）期间的市场需求以外 的波动部分，即 ③ 由于库存实际不为零 减去订货时的库存量 ∴ L) (T d + L T z σ + I z σ L) (T d Q L T - + = L d ) I' (s z σ T + - = I' L d s) σ z ( T - + = ) I' L d ( T - + =

33 随机需求的库存控制模型(Inventory Management Model under Random Demand)
参照随机需求下的Q模型有关公式，基本思路及处理方法是一致的 P模型中，安全库存量是保证（T+L）期间的，同样可根据服务水平查得z来求解

34 随机需求的库存控制模型(Inventory Management Model under Random Demand)
例： =10件/天， =3，T=30天，L=14天 P=98%，I=150件 求：Q 解： d d σ I z σ L) (T d Q L T - + = 150 z σ 14) (30 10 L T - +  = 19.90 3 14) (30 σ 2 L T 1 i d =  + å

35 随机需求的库存控制模型(Inventory Management Model under Random Demand)
查表得，对应与P=0.98的Z值为2.05. 因此，订购量为： ∴要满足需求量的98%，在此期间应该订331件。

36 单期模型（Single-Period Models)
单期模型是指为了满足某一规定时期的需要只发生一次订货的情况。用于短时期有需求而在此后就失去价值或过时变质的物品。 这类模型通常被称为报童问题（“Newsboy” problems）。

37 单期模型（Single-Period Models)
报童订报时，若订得太多，卖不掉就会受到亏损。但若订得太少，由于不够卖就会因缺货而损失可得的利润。 订货逐渐增多，当增加到n件时，第n件的期望盈利(Expected Profit)≥第n件的期望损失(Expected Lost)。（而第n+1件的期望盈利<第n+1件的期望损失。） 这个点称为边际平衡点(Point of Marginal Equivalent)，平衡点所对应的量则为总利润最高时的订货量。 假设：MP——若第n件被卖掉，此件所得的利润 ML——若第n件卖不掉，此件所得的损失

38 单期模型（Single-Period Models)
在平衡点时，期望利润≥期望亏损 即 当需求是随机的时候，要用概率表示平衡点的条件： 其中：P:第n件被卖掉的概率 1-P:第n件卖不掉的概率 解上式，可得 根据上式，来求订货量n。 P)ML (1 MP P - >  ≥ P ML MP +

39 单期模型（Single-Period Models)
例：A产品每件销售价为100元/件，每件成本70元。如不卖掉还剩残值30元。在这一时期需求量在35—40件之间，即35件以下可以全部卖掉，超过40件以上部分则卖不掉。需求概率以及与此关联的可销售出的概率见下表：

40 单期模型（Single-Period Models)
需求概率 总需求量 这一需求 量的概率 最后一件销 售出的概率 35 0.10 1.0 36 0.15 0.9 37 0.25 0.75 38 0.5 39 40 41

41 单期模型（Single-Period Models)
其中，最后一件销售出的概率 =1-（需求<n）的概率 =1- 需求量为i的概率 针对上表数据，解题过程如下： 解：每销售出一件，可得利润=100-70=30元 每销售不出一件，受到的亏损=70-30=40元 å - = 1 n i

42 单期模型（Single-Period Models)
从上表可以看出，当n=37时，P刚大于0.57。 也可以从下表作出决策： 57 . 40 30 ML MP = + ≥ P

43 单期模型（Single-Period Models)
期望盈利亏损表 需求 需求概 率 第 n 件销 售出的概率 期望 MP MP) (P  ML P)) (1 (ML - 纯盈利 35 0.10 1.0 30 36 0.15 0.9 27 4 23 37 0.25 0.75 2.25 10 12.5 38 0.5 15 20 -5.0 39 7.5 -22.5 40 3 -33.0 41 -40.0

44 库存问题可以延伸到时间(Time),生产能力(Production Capacity),资金(Capital)等方面。
库存问题的扩展(Expansion of Inventory Management Model) 库存问题可以延伸到时间(Time),生产能力(Production Capacity),资金(Capital)等方面。

45 报童问题（Newsboy problems）
库存问题的扩展(Expansion of Inventory Management Model) 报童问题（Newsboy problems） 一名报童以每份0.20元的价格从发行人那里订购报纸，然后再以0.50元的零售价格出售。但是，他在订购第二天的报纸时不能确定实际的需求量，而只是根据以前的经验，知道需求量具有均值为50份、标准偏差为12份的正态分布。那么他应当订购多少份报纸呢？

46 约会问题(Date Problem) 库存问题的扩展(Expansion of Inventory Management Model)
您要与您的女朋友/男朋友晚上六点钟在她/他家附近的一个地方约会。您估计从您的办公室乘车过去所用的平均时间是30分钟，但由于高峰期会出现交通阻塞，因此还会有一些偏差。路程所用时间的标准偏差估计为10分钟。虽然很难量化您每迟到一分钟所造成的损失，但是您觉得每晚到1分钟要比早到1分钟付出十倍的代价。那么您应当什么时候从办公室出发呢

47 超额预售机票问题(Excessive Air Ticket Sales Problem)
库存问题的扩展(Expansion of Inventory Management Model) 超额预售机票问题(Excessive Air Ticket Sales Problem) 一家航空公司发现，一趟航班的持有机票而未登机（“不露面”）的人数具有平均值为20人、标准偏差为10人的正态分布。根据这家航空公司的测算，每一个空座位的机会成本为100美元。乘客确认票后但因满座不能登机有关的罚款费用估计为400美元。该航空公司想限制该航班的“超额预订”。飞机上共有150个座位。确认预订的截止上限应当是多少？

48 报童问题解 库存问题的扩展(Expansion of Inventory Management Model) m s z 6 . 3 2 ]
3 2 ] [ Prob * = + ML+MP ML X Y 根据正态表， z = 0.25。因此， X*=u+zσ=50+.25(12)=53份. z s m X

49 约会问题解 库存问题的扩展(Expansion of Inventory Management Model)
设 X 为允许的路程时间，设 Y 为实际路程时间。 X < Y 就意味着会比约定时间晚到，因此, ML= 10MP. 最佳的 X* 应当满足 根据正态表， z = 1.34 ，因此， X*= (10)=43.4。您应当在下午5点16分出发 91 . 11 10 10MP ] [ Prob * = + MP ML+MP ML X Y

50 超额预售机票问题解 库存问题的扩展(Expansion of Inventory Management Model) 8 . 100 400
设 X 为超额预售的机票数，设 Y 为有票没来的人数。 X > Y 就意味着超额预售的机票数超过了有票没来的人数。再多售一张机票就要蒙受400美元的损失，ML=$400 X < Y 则意味着超额预订的数量小于没有登机的人数，预订数量减少一个就蒙受100美元的损失，MP = $100。 最佳的 X* 应当满足 根据正态表，z = -0.84。因此，X*= (10)=12 预售机票数不要超过 = 162张。 8 . 100 400 ] [ Prob * = + > X Y

51 作业 P277—278 :20,21