常見的風險衡量指標.

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1 常見的風險衡量指標

2 Risk (風險) vs. Uncertainty (不確定性)

3 平均數(1/2) 20% -2億 80% +2億

4 平均數(2/2) 例如:A公司 B公司 判斷:平均金額較低者為高風險 優點:簡單易懂 缺點: 兩者平均金額均為1.2億，但顯然風險不同
20% -2億 100%公司得1.2億 80% +2億

5 變異數(標準差)(1/2) 20% -2億 80% +2億

6 變異數(標準差)(2/2) 例如:C公司 D公司 判斷:變異數(標準差)較高者為高風險 缺點: 兩者標準差均為1.6億，但顯然風險不同
-2億 80% 20% -2億 20% +2億 80% +2億

7 風險值的種類以及計算方法

8 風險值概念的起源 風險值是一個很新的術語，1990年代之前財金界從來沒有聽說過這個名詞。其濫觴應該歸功於J. P. Morgan銀行（該銀行於2000年與Chase銀行合併，之後改名為J. P. Morgan & Chase）。 該銀行於1989年新任的總裁衛德史東爵士（Sir Dennis Weatherstone）必須同時處理該行遍佈全球的14個交易場所，120個獨立交易單位，買賣固定收益證券、外匯、商品、衍生性商品、新興市場證券以及房地產資產，總價值超過$500億美元的資產部位。 衛德史東要求部屬每天在下午四點十五分提出一頁的簡短報告，計算出總行與全球分支機構的總投資部位在未來二十四小時內可能遭受損失的額度，提供決策者迅速掌握每日風險暴露狀況。這就是摩根有名的「4：15報告」，因為報告必須每日下午4時15分前送到，此為風險值的應用的開端 。

9 J.P. Morgan 的4:15 報告書 4:15 Report

10 Jorion（2000）「風險值: 財務風險管理的新標竿」對風險值的定義
是一個統計估計值，以測度投資組合暴露於市場風險下，在某一時間單位內，特定投資部位在某給定機率水準之下所可能發生的最大損失。 VaR summarizes the predicted maximum loss (or worst loss) over a target horizon within a given confidence interval.

11 J. P. Morgan的風險矩陣（RiskMetrics）
1980年代末期J. P. Morgan銀行在當時市場風險管理委員會主席古德曼（Till Guldimann）的帶領之下，已經逐漸發展出風險值的雛形。並且為了回應總裁對風險資訊的要求，全方位風險值的資訊已經在該銀行內部使用。1993年在一個對該銀行客戶所舉辦的年度會議上，Till Guldimann展示了當時該銀行所發展出來的風險值系統，在客戶間獲得極大的回 響，許多客戶因此向銀行表達購買或承租該系統的意願。 為了因應客戶的要求，J. P. Morgan在1994年10月推出計算風險值的風險矩陣（RiskMetrics），出版計算技術手冊，在網路上每日更新風險矩陣資料庫，免費供大眾使用，並且鼔勵專業軟體廠商發展風險值的計算程式；風險矩陣的推出奠定J. P. Morgan在市場風險計算與管理的盟主地位。之後J. P. Morgan在1998年將風險管理業務分割出來並與路透社合資成立一家新公司，那就是「風險矩陣集團（RiskMetrics Group）」，網址：

12 Riskmetrics Group http://www.riskmetrics.com/

13 風險值須注意之處 風險值的單位為金額，而不是以往常使用的標準差或比率（如夏普指數）；
風險值為一估計值，乃是以統計學的技巧所計算出來，因此是在一定信賴水準下的估計值，而非確定值； 風險值乃是針對正常的巿場情況下所進行的估計，因此它無法告訴你巿場劇烈波動時的最大可能損失，如911恐怖攻擊事件、921大地震、亞洲 金融風暴等。

14 風險值表示方式 信賴水準=(1-α%) 風險值（=VaR( T,α％）)應是評估期間長度（T）與信賴機率水準(1-α%)的函數，也是機率密度函數之左端尾部部分的α分量。

15 風險值的特點與優點

16 風險值(Value at Risk)(1/2) 計算:有1%的可能損害會超過的金額 例如:總共有500個可能，依序排列為: -10億 -9億
-8億 -7億 -6億 … 489億 ․VaR=6億

17 風險值計算的方法 變異數－共變異數法（Variance－Covariance Method）
歷史模擬法（Historical Simulation Method） 蒙地卡羅模擬法（Monte Carlo Simulation Method）。 不同金融商品因為其報酬性質、商品特性的不同，選用的計算方法也有差異。在風險值估算之前，就應該先了解金融商品的損益特性，並依此特性選擇適當的估計方法。

18 絕對風險值與相對風險值 絕對風險值為部位損失金額相對於零的距離，而相對風險值為部位損失金額相對於損益期望值的距離。 ( 6.1) (6.2)
假設部位的初始價值為W，報酬率為R，則損益金額可以以R×W來表示，在假定的信賴水準（1-α%）之下，我們可以算出相對應臨界報酬率R*

19 絕對風險值與相對風險值

20 變異數－共變異數法 公式 以機率來表示 (6.3) 標準化 (6.4) (6.5) (6.6) (6.7)

21 歷史模擬法簡介 有些金融商品不易取得完整之歷史交易資料，此時可以藉由搜集此金融商品之風險因子歷史資料求出其報酬率，然後搭配目前持有資產的投資組合部位，則可以重新建構資產價值的歷史損益分配（Historical Distribution），然後對資料期間之每一交易日重複分析步驟，如果歷史變化重複時，則可以重新建構資產組合未來報酬的損益分 配。 不必假設風險因子的報酬率必須符合常態分配 。

22 影響風險值的重點(歷史模擬法) 要有大量的歷史資料，才有辦法精確的敘述在極端狀況下（如99%的信賴水準）的風險值 。
歷史資料中能捕捉到的極端損失的機率低於正常損益的機率，量多而且具有代表性的資料的取得就相形重要。 歷史模擬法更可以勾勒出資產報酬分配常見的厚尾、偏態、峰態等現象，因此計算歷史價格的時間（與資料的多寡有關）是影響風險值的一個重點。

23 歷史模擬法步驟

24 以歷史模擬法算出風險值

25 歷史模擬法的實例 假設今日以60元買入鴻海的股票10張共60萬元，我們只可以找到過去101個交易日的歷史資料，求在95%信賴水準之下的日風險值為何？

26 計算實例 根據過去101日鴻海之每日收盤價資料，可以產生100個報酬率資料。
將100個報酬率由小排到大找出到倒數第五個報酬率（因為信賴水準為95%），在此假設為-4.25%。 -4.25% * 600,000 =-$25,500 所以VaR= $25,500，因此明日在95%的機率下，損失不會超過$ 25,500元。

27 歷史模擬法的特點與優缺點 方法 優點 缺點 歷史模擬法 對於所有商品的風險值估 算具精確度 可描繪出完整的損益分配 圖 不需加諸統計分配假設
估算速度較蒙地卡羅模擬 法快（模擬情境較少） 需要較長的價格歷史資 料 歷史資料可能無法模擬 未來情況 信賴機率水平太高時估 算精準度較差 極端事件無法捕捉

28 蒙地卡羅模擬法簡介 假設投資組合的價格變動服從某種隨機過程的行徑程序（Process），因此可以藉由電腦模擬，大量產生幾百次、幾千次、甚至幾萬次可能價格的路徑，並依此建構投資組合的報酬分配，進而推估其風險值。 是一種基於大數法則的實證方法，當實驗的次數越多，它的平均值也就會越趨近於理論值。所以就蒙地卡羅模擬法而言，正確選擇描述資產價格路徑的隨機過程非常的重要，適當的選擇可以精確的勾勒出資產損益的特性：如厚尾、偏態、峰態，還可以推估非線性損益型資產的風險值。

29 以蒙地卡羅模擬法算出風險值

30 蒙地卡羅模擬法步驟 1

31 蒙地卡羅模擬法步驟 2 設定標的資產價格產生程序，並依據步驟1隨機變數產生的來得到一段範圍之未來價格：幾何布朗運動（Geometric Brownian Motion）或稱布朗運動為最時常雀屏中選的資產價格變動的隨機程序，是屬於馬可夫隨機過程（Markov Stochastic Process）的 一種。

32 蒙地卡羅模擬法步驟 3

33 蒙地卡羅模擬法步驟 4

34 蒙地卡羅模擬法的特點與優缺點 方法 優點 缺點 蒙地卡羅模擬法 對於所有商品的風險值 估算具精準度 可描繪出完整的損益分 配圖
可以加諸不同的隨機程 序及分配（例如，常 態、T-分配等），可 呈現分配的厚尾特色 不需過多的歷史資料 耗費較多的計算時間 必須給定適當的價格行 徑模式，才可能模擬出 應有的情境（模型）

35 回朔測試 回朔測試的目的簡單來說就是利用歷史資料帶入模型，來實際驗證風險值模型的準確 性 。
藉由比較過去一段時間內，單一資產（或是投資組合）的實際損失數額大於估算風險值的次數（又稱為穿透次數）比例是否趨近於理論的誤差水準，亦即％，而(1-％)就是 信賴水準。

36 回朔測試中的穿透判斷 每日資產損益 每日風險值 穿透

37 壓力測試 壓力測試也就是一種情境分析（Scenario Analysis），亦即模擬市場主要變數發生重大的巨幅改變，再使用原有的評價模型與部位 資料，然後重新評價預期的損失影響。 風險值為一個正常市況下的之損失分析而已。壓力測試更可以彌補風險值的不足，幫助我們暸解資產投資部位尚未被偵察到的致 命弱點 。 壓力測試本身甚至可以說是跟風險值測量一 樣重要。

38 敏感度分析 每次只改變一個風險因子變數的數值，然後再來衡量對資產部位的價格影響程度。
優點是簡單明嘹，而且易於瞭解當風險因子在可能的極端變動中，每一種變動對於資產組合之影響效果。 可是兩個以上因子同時變化的共同影響效果就無法估計，所以無法使用於龐大且複雜的投資組合，風險因子同時往不利的方向大幅波動的可能性也很低。

39 歷史情境法 利用某一種過去市場曾經真實發生的劇烈變動實況，將風險因子的變化帶入目前的資產部位，評估
其對現在的資產組合會產生什麼樣的影響效果。 優點在於所使用的情境的確在歷史上發生過，因此再次發生的機會很高，風險管理人員不能否定其存在性及可能性，較具說服力，況且應用上亦十分簡單。 缺點則包括不適用在新型態金融商品，或某些商品之歷史價格未出現極端情況（最嚴重的情況可能過去尚未出現），還有即使過去發生過的情境，未來不見得會再度的發生。

40 虛設情境分析 情境不見得在過去曾經真正的發生過，可是風險管理人員以一連串模擬的最差情況（Worst Case Scenario）來衡量極端狀況 所帶來的衝擊。 虛設情境分析免不了要採用很多主觀的認定，之前Derivatives Policy Group所提供的情境可以拿來當做一個開始，但是要特別注意情境設定所蘊含的合理性，因為有些不 同的最差情境在理論上不會同時發生。

41 壓力測試的流程 原來的風險值 模型與參數 敏感度分析 歷史模擬 虛設情境 重新評價 評價模型 資產部位 新的風險值 調整部位 避險 資
、 避險 資 本準備

42 風險值估算方法的比較 方法 優點 缺點 變異數-共變異數法 估算過程較簡單快速 僅需資產價格變動的變異數-共變異數矩陣資料
很容易轉換評估期間與信賴水準 較不適用於非線性損益商品，或存在偏態的損益分配 需要做統計分配的假設 歷史模擬法 對於所有商品的風險值估算具精確度 可描繪出完整的損益分配圖 不需加諸統計分配假設 估算速度較蒙地卡羅模擬法快（模擬情境較少） 需要較長的價格歷史資料 歷史資料可能無法模擬未來情況 信賴機率水平太高時估算精準度較差 極端事件無法捕捉 蒙地卡羅模擬法 對於所有商品的風險值估算具精準度 可以加諸不同的隨機程序及分配（例如，常態、T-分配等），可呈現分配的厚尾特色 不需過多的歷史資料 耗費較多的計算時間 必須給定適當的價格行徑模式，才可能模擬出應有的情境（模型）

43 個別風險值 考慮各個不同資產所計算出來的風險值，亦即不考慮不同資產之間風險分散的效果。
如果現有資產部位的種類繁多，則將所有個別資產風險值加總之後就是未分散風險值 （Undiversified VaR） 。

44 個別風險值 資產X 資產Z 資產Y

45 風險分散的效果 亨利馬可維茲在1960年代發表現代投資組合理論之後，我們基本上發現不同資產所結合產生的投資組合可以發揮風險分散的效果 。
風險分散效果的大小端賴資產報酬率之間的相關性，亦即相關係數愈小則風險分散的能力愈強 。

46 投資組合風險值 資產Y 資產X 資產Z 分散效果

47 投資組合風險值(2項) 兩個資產為例 ： 因 (6.8) (6.9) VaR1與VaR2為個別資產的風險值，分別等於 與 。

48 投資組合風險值(n項) 如果資產的數目延伸到n項 (6.10) (6.11) 其中 ， (6.12)

49 以矩陣符號表達 (6.13) 表示一個的相關係數矩陣，而且

50 投資組合風險值推導 (6.14) 其中 與 分別代表一個 的矩陣與其轉置矩陣。投資組合風險取決於個別資產風險值與個別資產報酬率之間的相關性。

51 相關係數矩陣的功用

52 增量風險值 增量風險值主要就是要衡量某一個單一資產加到投資組合之後，整體投資組合風險值的變化值，可以提供一個調節資產部位時的依據 。

53 增量風險值 計算投資組合包含此資產與不包含此資產的風險值差距，以數學表示如下式：
兩者的差距可以衡量X的風險貢獻程度，亦即若增加X則投資組合風險值也增加 。 若增加X則投資組合風險值卻降低，則表示X可當作避險工具。 增加X對投資組合風險值沒有絲毫影響 。

54 增量風險值 資產A的增量風險 資產X 資產Y 資產Z

55 變異數－共變異數法:設計原理 亦稱為相關法（Correlation Method），參數（Parametric）法、線型（Linear）法或一階常態 （Delta－Normal）法 。 主要的假設就是個別資產報酬率符合聯合常態分 配，而且具有序列獨立的特性。 由這些資產所構成的線性組合資產，一定會服從常態分配，藉由常態分配的性質再來估計出給定評估期間與信賴機率水平下的風險值。 常態分配的假設使得變異數－共變異數法可以快速的算出風險值。

56 變異數－共變異數法 步驟： 建構投資組合中個別資產於未來評估期間的損益（或報酬）分配；
納入個別資產間的相關性，進而建構整個投資組合於未來評估期間的損益（或報酬）分配。

57 變異數的估算 傳統上通常利用移動平均的觀念來估算變異數，並且可進一步分為等權移動平均與指數加權移動平均兩種方式。
相等（簡單）加權移動平均法（Equally-Weighted Moving Average） (6.16) 指數加權移動平均法（Exponentially-Weighted Moving Average） (λ≤1 表示衰退因子, 目的為在使早期的變異數對於當期波動性影響程度隨λ值愈小而降低) (6.17)

58 相等（簡單）加權移動平均法 最大的優點就是簡單易懂。
但是對過去每筆資料對當期的影響給予相同的權重，進而估計下一個期間的變異數（波動性的指標），忽略過去歷史的波動當期的影響程度應該隨時間的流失而減少，也無法描述波動性群聚與波動性有可能隨時間改變的特性。 可是卻忽略市場上重要訊息的影響 。

59 指數加權移動平均法 認為較遠過去報酬率對於當期影響程度應該要遞減 。
優點是可以在某種程度上，反映出波動群聚性與隨時間而改變的現象，近期市場上的任何衝擊將快速的反應在波動性的估計值上。

60 指數加權移動平均法: 衰退因子（Decay Factor）
將(6.17)式重複循環帶入本身如： 則可得： λ值也稱為衰退因子，介於零與一之間 。反映出波動群聚性與隨時間而改變的現象，日資料應取0.94，月資料應取0.97。(Morgan J. P.建議)

61 變異數－共變異數法假設缺點 不能正確描述金融資產報酬率的分配：厚尾、偏態、高峰的現象。
極端損失事件對投資組合資產價值的衝擊無法由常態分配來評估 。 對非線性損益型態的商品（如選擇權、權證、債券）的誤差較大。 評估期間不能太長 。

62 計算實例：固定收益證券 假設銀行持有一張還有五年到期，面額為新台幣一百萬元的零息債券，現在該債券的殖利率為3.45%。銀行風險部門主管擔心一旦市場利息突然的上揚，則持有債券部位就會發生損失，則在95%的信賴水準之下，該債券明天的日風險值為多少？根據過去幾年的歷史資料，修正存續期間(MD)為4.83，五年期零息債券殖利率的日平均變動量為零，標準差為10個基本點（1個基本點相 當於0.01%）。

63 殖利率增加量的機率分配

64 解答:固定收益證券 VaR 債券部位現值就是風險曝露部位的金額，在本例題中，五年到期面額為新台幣一百萬元的零息債券，在殖利率為3.45%的情況之下現值為: 所以債券價格變化百分比可以改寫成： 再把0.797%帶入(6.20)得到： 因此NT$7,970就是此債券部位在95%的信賴水準下的日風險值，也代表債券部位明天的最大損失在95%的情況之下不會超過NT$7,970。 (6.24)

65 計算實例：權益證券 假設某銀行持有股票現貨部位的現值是新台幣一千萬元，該股票投資部位的損益表現跟整體股市大盤指數非常接近（亦即貝他值），同時發現股市大盤在過去幾年的每日平均報酬率為零，每日報酬率的標準差=2.5%，則在95%的信賴水準之下，該一億元的股票部 位的日風險值為多少？

66 解答: 權益證券 VaR 日風險值= (股票部位現值)×(股票價值變化百 分比) 股票部位現值:一千萬元 。
股票價值變化百分比 :假設單因子的資本資產訂價模型（Capital Asset Pricing Model，CAPM）成立，算出在95%的機率之下，股票 投資組合（大盤）最多會下跌多少百分比。

67 計算實例：外匯資產 假設銀行在某營業入結束後持有美金一百萬元，因此明天美金對台幣的匯率貶值，就有可能使美金部位的台幣價值發生重大的損失。假設現在匯率是NT33.5/US$，過去的歷史資料發現每日匯率變動的平均值為零，每日匯率變動的標準差為65.5個基本點（=0.655%），則在95%的信賴水準之下，次一個交易日該一百萬美金部位的日風險值 為多少？

68 計算外匯資產VaR 日風險值= (外幣部位的台幣現值)×(匯率變化 百分比) 。
台幣現值 =US$1,000,000*(NT33.5/US$) =NT33,500,000 次一日美金貶值的程度（百分比）在95%的機率水準之下最多為

69 計算實例：投資組合風險值 三個部位分別是：
還有五年到期的零息債券現值NT844,010 現值一千萬元股票部位 美金一百萬的外匯部位 而其風險值分別為NT$7,970、NT$412,500、與NT362,135，資產報酬不是完全正相關，根 據投資組合理論，投資組合風險值為多少？

70 三個資產間的相關係數矩陣

71 計算投資組合VaR Portfolio VaR = =NT$576,883 在此例中，投資組合分散的力量的確成功地
將風險降低，分散力量的高低取決於相關程度。

72 不同信賴機率水準之間的轉換 ， 假設信賴機率水準為(1-α1％)，評估期間為T日的相對風險值、隱含著資產報酬率標準差為：

73 不同信賴機率水準之間的轉換

74 不同評估期間之間的轉換 資產報酬率服從常態分配與 i.i.d假說之下： 累加的關係 (6.29) (6.30) (6.31) (6.32)
累加的關係 (6.29) (6.30) (6.31) (6.32) 為T日資產報酬率的標準差， 為日資產報酬率的標準差

75 不同評估期間之間的轉換

76 風險值(Value at Risk)(1/2) 計算:有1%的可能損害會超過的金額 例如:總共有500個可能，依序排列為: -10億 -9億
-8億 -7億 -6億 … 489億 ․VaR=6億

77 風險值(Value at Risk)(2/2) 判斷:VaR較高者為高風險 缺點: 例如:E公司 F公司 -10億 -100億
-10億 億 -9億 億 -8億 億 -7億 億 -6億 億 … … 489億 億 兩者VaR均為6億，但顯然風險不同

78 (Conditional Value at Risk)(1/2)
條件風險值 (Conditional Value at Risk)(1/2)

79 (Conditional Value at Risk)(2/2)
條件風險值 (Conditional Value at Risk)(2/2) -44億 -23億 -10億 -7億 -6億 -5億 -4億 … +10億 -44億 -23億 -10億 -7億 -6億 -5億 -4億 … +487億 +488億 +489億

80 傳統風險指標之問題(1/2) 平均數: 是報酬指標不是風險指標 標準差: VaR: CVaR:
以平均數為基準點，不論正偏離或負偏離都被當成風險 VaR: 只考慮損失面，不考慮獲利面，另外，只考慮損失門檻 CVaR: 只考慮損失面，不考慮獲利面

81 Aumann and Serrano (2008,JPE)

82 定義

83 An economic performance measure
The Aumann-Serrano index of riskiness an axiomatic approach to assign a meaning to the word risky. Aumann and Serrano (2008) argue that a reasonable risk index should satisfy the following two axioms: Duality: If i and j are two agents, such that i is uniformly more risk averse than j, and if i accepts an excess return r(A) at wealth w and Q(r(A)) > Q(r(B)), then j accepts the excess return r(B) at wealth w. Homogeneity: For any positive real number t, it holds that Q(tr(A)) = tQ(r(A)): Here, for t > 0, tr(A) is the gamble that results from r(A) by multiplying every outcome of r(A) by t. It is quite natural to think that, if the stakes are doubled, the risk is also doubled

84 An economic performance measure
Properties of the economic performance measure Scale Invariance(尺度不變性) Stochastic dominance(隨機優勢) Normally distributed returns(報酬率服從常態分配)

85 常態分配的經濟風險值

86 Aumann and Serrano -2億 20% 80% +2億

87 A v.s. B -2億 20% 100%公司得1.2億 80% +2億

88 C v.s. D -2億 -2億 80% 20% 20% +2億 80% +2億

89 E v.s. F

90 G v.s. H -44億 -44億 -23億 -23億 -10億 -10億 -7億 -7億 -6億 -6億 -5億 -5億 -4億 -4億
-44億 -23億 -10億 -7億 -6億 -5億 -4億 … +487億 +488億 +489億 -44億 -23億 -10億 -7億 -6億 -5億 -4億 … +10億