第五章 抽樣與抽樣分配.

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1 第五章 抽樣與抽樣分配

2 學習重點 從母體挑選一組隨機樣本 分辨母體參數與樣本統計量 應用中央極限定理 推導樣本平均與樣本比例的抽樣分配
解釋為什麼樣本統計量是好的母體參數估計式 根據估計式的需求性質判斷估計式的好壞 應用自由度的概念 指出特別的抽樣辦法 利用樣板計算抽樣分配與相關的結果

3 估計母體參數的樣本統計量 討論母體時，平均與標準差被稱為參數，記做 μ 及 σ。
母體的數值測度被稱為母體參數 (population parameter)。

4 估計母體參數的樣本統計量 樣本統計量 (sample statistic)：指樣本的數值測度，簡稱統計量。
某種母體參數的估計式 (estimator) 是估計該參數的樣本統計量。利用樣本得到估計式的某特定數值是被估計母體參數的一項估計，稱為母體參數的點估計 (point estimate)。

5 估計母體參數的樣本統計量

6 估計母體參數的樣本統計量 如何由母體隨機挑選樣本 需要一份所有母體元素的名單 (底冊)
藉由隨機產生的數字，這份底冊讓我們決定樣本應該包含名單中的哪些元素

7 估計母體參數的樣本統計量 分層抽樣方法 分層抽樣把母體分成二個或二個以上稱為「層」(strata)的子母體，並且隨機從每一個子母體挑選一些樣本 每一層從某種與抽樣實驗有關的角度來看都必須是不同的

8 估計母體參數的樣本統計量 分層抽樣方法例子
某間大學的學生或許有 54% 的女學生及 46% 的男學生。因為男女生或許在某一次調查中有著非常不一樣的意見。故，隨機樣本中有必要包含適當比例的男女生。如果樣本總數剛好等於 100，則一種代表性的樣本應該包含 54 個女學生及 46 個男學生。

9 估計母體參數的樣本統計量 其他抽樣方法 分群抽樣 (cluster sampling)
一階段分群抽樣 (single-stage cluster sampling) 二階段分群抽樣 (two-stage cluster sampling) 多階段分群抽樣 (multistage cluster sampling) 系統抽樣 (systematic sampling)

10 抽樣分配 固定母體並且固定樣本數的條件下，統計量的抽樣分配 (sampling distribution) 是該統計量所有可能值的機率分配。

11 抽樣分配

12 抽樣分配

13 舉例-分例均等分配(Discrete Uniform Distribution)
f(X)=1/N N=1,2, …, N E(X)=(N+1)/2 V(X)=(N^2-1)/12 從1-8的數字中隨機抽出兩個樣本點 E(X)=4.5, V(X)=2.29 請問X-bar 的期望值與標準差

14 抽樣分配

15 抽樣分配

16 抽樣分配 中央極限定理 當樣本數增加至無限大，　的極限分配是常態分配－這是統計學最重要的結果之一

17 抽樣分配 中央極限定理 說明樣本平均 的抽樣分配會接近常態分配，無論樣本來自的母體是何種分配。
說明樣本平均 的抽樣分配會接近常態分配，無論樣本來自的母體是何種分配。 此定理讓我們有能力產生樣本平均可能存在區域的機率陳述，同時計算 與它所估計的母體平均離多遠的機率。

18 抽樣分配

19 Shape of the Binomial Distribution
y : n = 4 p = . 1 B i n o m i a l P r o b a b i l i t y : n = 4 p = . 3 B i n o m i a l P r o b a b i l i t y : n = 4 p = . 5 . 7 . 7 . 7 . 6 . 6 . 6 n = 4 . 5 . 5 . 5 ( ) x . 4 ( x ) . 4 ) . 4 P x ( . 3 P . 3 P . 3 . 2 . 2 . 2 . 1 . 1 . 1 . . . 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x B i n o m i a l P r o b a b i l i t y : n = 1 p = . 1 B i n o m i a l P r o b a b i l i t y : n = 1 p = . 3 B i n o m i a l P r o b a b i l i t y : n = 1 p = . 5 . 5 . 5 . 5 . 4 . 4 . 4 n = 10 x ) . 3 ( ( ) x . 3 P P P x ( ) . 3 . 2 . 2 . 2 . 1 . 1 . 1 . . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 x x x B i n o m i a l P r o b a b i l i t y : n = 2 p = . 1 B i n o m i a l P r o b a b i l i t y : n = 2 p = . 3 B i n o m i a l P r o b a b i l i t y : n = 2 p = . 5 n = 20 2 . 2 . . 2 x ) ( x ( ) ) P P x P ( 1 . 1 . 1 . . . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 x x x Binomial distributions become more symmetric as n increases and as p

20 成功比例的抽樣分配 成功與失敗-伯努力(Bernoulli distribution)分配 成功的加總-二項分配
成功加總的平均-樣本比例P^ 分配 例5-3

21 抽樣分配 中央極限定理的三個面向 如果樣本數夠大， 的抽樣分配是常態的。 的期望值等於μ。 的標準差等於 　。

22 抽樣分配

23 抽樣分配 當標準差未知，標準化樣本平均的抽樣分配

24 抽樣分配

25 點估計的統計性質 如果一個估計式被稱為不偏的 (unbiased)，表示該估計式的期望值等於它希望估計的母體參數。

26 點估計的統計性質

27 點估計的統計性質

28 有效性 如果某一估計式有著相對比較小的變異數，，那麼該估計式是有效的(efficient)。

29 點估計的統計性質

30 一致的(consistent) 如果某一估計式，隨著樣本數的增加，其估計參數的準確程度也跟著增加，這個估計式可稱為一致性估計式。

31 充分的(sufficient) 如果某一估計式用了所有有關欲估計參數的相關資訊，則這個估計式可稱為充份的估計式。

32 點估計統計量的性質 一個好的樣本統計量，或者說一個好的點估計式，應該具有：不偏性、有效性、一致性、充分性。

33 自由度 如果你必須選擇 n 個數字，並且加諸一種關於它們總和的條件，則你的自由度為 n－1。
例如：你被要求自由地選擇 10 個數字，但是這 10 個數字總和必須等於 100，你的自由度有 9 個。

34 自由度

35 自由度

36 自由度

37 自由度