幂零变换的注记 莆田学院.

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1 幂零变换的注记 莆田学院

2 复数域上n维空间：一个线性变换可以看成是一个可逆变换与一个幂零变换的和。
Jordan-chevalley (约旦-谢瓦莱定理） 比如林老师：《高等代数》 229页 在《高等代数》与《线性代数》的很多教材中都有看到关于幂零变换的相关试题。 比如林老师：《高等代数》 132页习题6

3 设f是n维线性空间V上的线性变换，若存在正整数k,满足fk=0,fk-1≠0, f称为k-幂零变换。
在《高等代数》如132页习题6 设f是m维线性空间V上的线性变换，满足fm=0,fm-1≠0,则存在V的一个基，使得f在这个基下的矩阵是 J(0,m)的秩=m-1

4 n维空间上k-幂零变换：若存在正整数k,满足fk=0,fk-1≠0,则存在V的一个基，使得f在这个基下的矩阵是
其中 ；且 A称为Jordan规范型矩阵

5 幂零变换在相似等价的情形下，我们来查看幂零变换类别

6 由 …… 拼成的首个为 且可重复排列的Jordan规范型矩阵 ，

7 表示 的个数， ……… 的个数， 表示 表示0的个数

8 k-幂零变换在相似等价的情形下： xk , xk-1 , …… , x1不同，看成不同的k-幂零变换

9 n维线性空间V上，不同的k-幂零变换所对应的象的维数，即k-幂零变换下矩阵A的秩
当 ， 时，秩r最小，即

10 ，其中 秩的取值范围为： 或

11

12 当 时，秩 可取到最大

13 若 ， 时，秩 可取到最大 最大秩 且秩最大的 规范型只有一个

14 当 ， 时，秩最大的 规范型并不唯一. 当 ，3-幂零变换时， ，此时： 秩为4。但是， ，秩也为4。

15 2-幂零变换： 对任意的秩，2-幂零变换的Jordan规范型矩阵都是唯一的。

16 3-幂零变换

17 3-幂零变换：若存在正整数3,满足f3=0,f2≠0,则存在V的一个基，使得f在这个基下的矩阵是
其中 ， ，

18 由 、 拼成的首个为 且可重复排列的Jordan规范型矩阵 ，

19 表示 的个数， 表示 的个数， 表示0的个数

20 当 时， 秩的范围： 。

21 在象的维数给定的情况下，幂零变换在相似等价的前提下，有多少种可能呢？

22 3-幂零变换：A为一个基下的Jordan规范型。
令C为A的秩， 当 时， 秩为C的所有n阶3-幂零变换的Jordan规范型的个数为

23 当 时， 或 或

24 当 时， 当 时， 而且不同的秩的Jordan规范型的个数为1。

25 当 时， 当 时， 的Jordan规范型的个数为1。 时， 当 的Jordan规范型的个数为2。

26 在相似等价的情形下，关于2-幂零变换与3-幂零变换我们有一定的了解，
那么不考虑相似等价，幂零变换？

27 平面二维空间 1、f是2维平面到2维平面的线性变换，即为可逆变换 2、g是2维平面到平面上直线的线性变换，

28 2-幂零变换：在x轴单位向量和y轴单位向量这个基下的矩阵

29 超过2维的空间在不考虑相似等价的情形下，幂零变换？

30 谢谢！ 新年快乐！ 身体健康！ 万事如意！