第二章 点、直线、平面的投影 2-1 投影的基本知识 2-2 点的投影 2-3 直线的投影 2-4 平面的投影.

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1 第二章 点、直线、平面的投影 2-1 投影的基本知识 2-2 点的投影 2-3 直线的投影 2-4 平面的投影

2 2.1 投影的基本知识 一．投影的概念与投影法 平行投影法 中心投影法 投影中心 投射线 物体 P P 投影 P (b)．斜投影
投影的基本知识 P A B C a b c 一．投影的概念与投影法 P A B C a b c (b)．斜投影 投影中心 P (a)．中心投影 S A B C a b c 投射线 物体 投影 投影面 （c） 正投影 平行投影法 中心投影法

3 2.2 点的投影 一．点在三投影面体系中的投影 1．三投影面体系的建立 （a）三投影面的展开 （b）三投影面体系的建立 V V Z W W
2.2　点的投影 一．点在三投影面体系中的投影 X H W V O Z Y 1．三投影面体系的建立 YW V H W X YH O Z （a）三投影面的展开 （b）三投影面体系的建立

4 2. 点的三面投影 从前向后投影—Ｖ（正面）—正面投影图—主视图 从上向下投影—Ｈ（水平面）—水平面投影图—俯视图
从左向右投影—Ｗ（侧面）—侧面投影图—左视图 Z X V W H Y A a′ a a〞 ax ay az V H W X YH YW O ax az ayh ayw Z a′ a a〞 X YH O ax az ayh Z ayw a′ a a〞 YW

5 3．点的直角坐标和投影规律 Ａa′=aax=a〞az=oy 1．点到投影面的距离等于相邻投影的投影到相对应的投影轴上的距离。
Aa=a′ax=a〞ay=oz Aa〞=a′az=aay=ox a′a⊥ox a′a〞⊥oz 2．点的投影连线垂直于所对应的轴线。 aax=a〞az=oy X YH YW O ax az ayh Z ayw a′ a a〞 V H W X YH YW O ax az ayh ayw Z a′ a a〞 W H V Z A a′ a〞 ax ay az a X Y

6 二．两点的相对位置 △X=Xa-Xc △Y=Ya-Yb △Z=Za-Zc V H W X Z Y A a′ a〞 ax ay az a Ｂ
YH YW O ax az ayh Z ayw a′ a a〞 b （ b′ ） b〞 c c′ c〞

7 当Xa=Xb、Ｚa=Zb、 Ya≠Yb时，点在Ｖ面重影。
三．重影点 当Xa=Xb、Ｚa=Zb、 Ya≠Yb时，点在Ｖ面重影。 当Xa=Xb 、Ya=Yb 、Za≠Zb时，点在Ｈ面重影。 当Ya=Yb 、Za=Zb 、Xa≠Ｘb时，点在Ｗ面重影。 H V W X Z Y YH YW O ax az ayh Z ayw a′ a a〞 b （ b′ ） b〞 c c′ c〞 az a′ b〞 （ b′ ） c′ a〞 Ｂ X ax A c〞 C ay b a c

8 2.3 直线的投影 直线的投影特征 Ｐ 1．AB∥P 直线 实形性 2．AB∠P 直线 类似性 3．AB⊥P 直线 重影性或积聚性
直线的投影 直线的投影特征 Ａ Ｂ Ｂ Ｂ ２ Ｃ Ａ Ｂ １ Ａ Ａ Ｐ b ２ b a １ c b (b) a a a 1．AB∥P 直线 实形性 2．AB∠P 直线 类似性 3．AB⊥P 直线 重影性或积聚性 4．点在直线上，其投影必在该直线的同面投影上。 　 直线上的点分割直线之比，在其投影后保持不变。

9 一．直线的三面投影及投影特征 １．直线的三面投影 ２．直线在三投影面体系中的投影特征 ⑴．一般位置直线 ∠Ｖ、Ｈ、Ｗ 直线 类似性
Z H V W X a b a′ b′ b〞 a〞 Z b〞 B a〞 β γ α X YW O A Y YH ２．直线在三投影面体系中的投影特征 ⑴．一般位置直线 ∠Ｖ、Ｈ、Ｗ　直线　类似性 α、β、γ 在三投影面上都不反映真实大小

10 ⑵．投影面的平行线： １）．正平线 ２）．水平线 ３）．侧平线 ∥Ｖ面 直线 实形性 ∠Ｈ、Ｗ面 直线 类似性 ab∥OX a〞b〞∥OZ
１）．正平线　 ２）．水平线 ３）．侧平线 H V W X Z Y ∥Ｖ面　　　直线　实形性 ∠Ｈ、Ｗ面　直线　类似性 ab∥OX a〞b〞∥OZ β＝０°　α、γ在正面上反映真实大小。 ∥Ｈ面　　　直线　实形性 ∠Ｖ、Ｗ面　直线　类似性 a′b′∥OX a〞b〞∥OY α=0° β、γ在水平面上反映真实大小。 ∥Ｗ　直线　实形性 ∠Ｖ、Ｈ面　直线　　类似性 ab∥OZ a〞b〞∥OY γ=0° α、β在Ｗ面上反映真实大小。　 A B a b a′ b′ b〞 a〞 α γ B a b a′ b′ a〞 b〞 A β α A B a′ b′ a b b〞 a〞 β γ X YH YW O Z

11 （3）．投影面的垂直线 １）．正垂线 ２）．铅垂线 3）．侧垂线 ⊥Ｖ 点 积聚性 ∥Ｈ、Ｗ 直线 实形性 β=90° α、γ=0°
H V W X Z Y （3）．投影面的垂直线 １）．正垂线 ２）．铅垂线 3）．侧垂线 A B a′ b′ a(b) a″ b″ ⊥Ｖ　　　点　　积聚性 ∥Ｈ、Ｗ　直线　实形性 β=90° α、γ=0° ab∥OY a′b′∥OY　 ⊥Ｈ　　　点　　积聚性 ∥Ｖ、Ｗ　直线　实形性 α＝90° β、γ=0° a′b′∥OZ a″b″∥OZ ⊥Ｗ　　　点　　积聚性 ∥Ｖ、Ｈ　直线　实形性 γ＝90° α、β=0° ab∥OX a′b′∥OX A B a′ (b′) b a b″ a″ a b A B a″ (b″) a′ b′ a″(b″) X YH YW O Z

12 二．两直线的相对位置 １．两直线平行 ２．相交两直线 ３．交叉两直线
Z 二．两直线的相对位置 H V W X Y k k′ k″ １．两直线平行 k1(k2) k1′ k2′ 　　如果空间两直线相互平行，则它们的同面投影必定相互平行；反之，如果两直线的各同面投影相互平行，则两直线在空间一定相互平行。 ２．相交两直线 　　如果空间两直线相交，则它们的同面投影必定相交，且交点符合点的投影规律；反之，如果空间两直线的同面投影相交，且交点符合点的投影规律，则这两直线在空间一定相交平行。 X YH YW O Z ３．交叉两直线 　　既不平行又不相交的两直线。

13 例２－２ 已知正平线AB＝30mm、β＝30°、AB距Ｖ面20mm、 A点在B点的左上方，试作该直线的两面投影。
例２－１　判断下列两直线的相对位置。 c′ a′ b′ c′ k′ a′ b′ d′ d′ X O X O d b c cD=c′d′ cK=c′k′ Kk∥Dd K k a b a d c D 交叉两直线 交叉两直线 例２－２　　已知正平线AB＝30mm、β＝30°、AB距Ｖ面20mm、　　　　A点在B点的左上方，试作该直线的两面投影。 30 a′ 30° b′ X O 20 b a

14 三．垂直相交两直线的投影 　　垂直相交两直线，其中有一条直线平行于某一投影面时，则两直线在所平行的投影面上的投影反映直角。反之，若相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直，且其中有一条直线为该投影面的平行线，则此两直线在空间必定相互平行。 b′ c′ Ｖ Ｈ b′ a′ B01 Ｖ Ｈ a′ Yb-Ya b′ c′ β X B O A α a′ Zb-Za b B B0 a C c a b b A c a

15 四．用直角三角形法求线段的实长 AB实长 b′ b01 β Zb-Za AB实长 Yb-Ya b′ a′ α b O a′ a a O
X O a′ a a X O Zb-Za Yb-Ya a α b0 b AB实长 b

16 例２－４已知菱形CD的对角线BD的两面投影和另一对角线AC的一个端点Ａ的水平投影a，试完成菱形的两面投影。
CK实长 k0 c′ △Y k′ a′ b′ X O b k △Y a c 例２－４已知菱形CD的对角线BD的两面投影和另一对角线AC的一个端点Ａ的水平投影a，试完成菱形的两面投影。 a′ d′ o′ b′ c′ X O a d b o c

17 2.4 平面的投影 一．平面的表示法 １．几何要素表示法 ２．迹线表示法 Ｐ V Z ＰＺ ＰＺ ＰＶ ＰＷ ＰＶ W ＰＷ O ＰＹ O
平面的投影 一．平面的表示法 １．几何要素表示法 Ｐ Z ２．迹线表示法 ＰＺ X YH YW O Z V ＰＺ ＰＶ ＰＷ ＰＶ W O ＰＷ ＰＹ ＰＸ ＰＹ X ＰＸ ＰＨ ＰＨ ＰＹ Y H

18 铅垂面及平面内的直线 水平面的迹线表示法 O O PV PW a′ a″ b″ PV PW b′ a PH b X YH YW Z X YH

19 二．平面的投影特征 Q Q Q P 平面的投影特征 １．Ｑ∥Ｐ　　平面　实形性 ２．Ｑ⊥Ｐ　　直线　积聚性　　 ３．Ｑ∠Ｐ　　平面　类似性

20 三．平面的三面投影及投影特征 １．平面的面投影 平面的投影图 一般位置平面的投影及投影特征 V O a′ b′ c′ a″ a′ b′ c′
X YH YW O Z a′ b′ c′ a″ V a′ b′ c′ b″ a″ b″ c″ A B C W c″ a b c X a b c H 一般位置平面的投影及投影特征 平面的投影图

21 ２．平面在三投影面体系中的投影特征 (1)　一般位置平面 　∠Ｖ、Ｈ、Ｗ面　　平面　类似性 　α、β、γ角不反映真实大小。　 (2) 　投影面的垂直面 (3) 　投影面的平行面 例２－５．已知△ABC为一正垂面，其水平投影△abc和a′已知， 　　　　　 △ABC对Ｈ面 的倾角α＝45°，试作出△ABC的正面投影 　　 和 侧面投影。 b′ c′ a″ b″ c″ X YH YW O Z 45° a′ b a c

22 名称 立体图 投影图 投影特征 正垂面 铅垂面 侧垂面 γ α β γ β α ⊥V 直线 积聚性 β＝90°
Ｘ Ｚ ＹＨ ＹＷ Ｏ Ｚ Ｘ Ｙ Ｖ Ｈ Ｗ 正垂面 ⊥V　直线　积聚性　β＝90° α γ ∠H、W　平面　类似性　α、γ在V面上反映真实大小。 Ｘ Ｚ ＹＨ ＹＷ Ｏ Ｚ Ｘ Ｙ Ｖ Ｈ Ｗ ⊥H　直线　积聚性　α＝90° 铅垂面 ∠V、W　平面　类似性　β、γ在H面上反映真实大小。 β γ Ｚ Ｘ Ｙ Ｖ Ｈ Ｗ Ｘ Ｚ ＹＨ ＹＷ Ｏ ⊥W　直线　积聚性　γ＝90° 侧垂面 β α ∠V、H　平面　类似性　α、β在W面上反映真实大小。

23 名称 立体图 投影图 投影特征 正平面 水平面 侧平面 ∥V 平面 实形性 β＝0° ⊥H、W面 直线 积聚性 α、γ＝90°。
Ｘ Ｚ ＹＨ ＹＷ Ｏ Ｚ Ｘ Ｙ Ｖ Ｈ Ｗ ∥V　平面　实形性　β＝0° 正平面 ⊥H、W面　直线　积聚性　α、γ＝90°。 水平投影平行于ＯＸ轴，侧面投影平行于ＯＺ轴。 Ｘ Ｚ ＹＨ ＹＷ Ｏ Ｚ Ｘ Ｙ Ｖ Ｈ Ｗ ∥H　平面　实形性　α＝0° 水平面 ⊥V、W面　直线　积聚性β、γ＝90°。 正面投影平行于OX轴，侧面投影平行于OY轴。 Ｚ Ｘ Ｙ Ｖ Ｈ Ｗ Ｘ Ｚ ＹＨ ＹＷ Ｏ ∥W　平面　实形性　γ＝0° 侧平面 ⊥V、H　直线　积聚性　α、β＝90°。 正面投影平行于OZ轴，水平投影平行于OY轴。

24 3．平面上的直线和点 ⑴．平面上取直线 几何条件： ⑵．平面上取点 几何条件：
a)．　　一直线通过平面上两点，则此直线必在　　该平面上。 b)．　　一直线通过平面上一点，且平行于平面　　上的另一直线，则此直线必在该平面上。 ⑵．平面上取点 几何条件： 　　若点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上。 a′ 例2－６．已知△ABC平面上L点的水　　　 平投影l，求其正面投影l′，又　　 知K点的正面投影k′和水平投　　　 影k，试判断K点是否在△ABC　　　 平面上。 l′ 1′ k′ b′ 2′ c′ X O a 1 l k 结论：K点不在平面上 b 2 c

25 例2－７．在△ABC平面上取一点K， 使K点在A点之下15mm，在A 点之前26mm，试求出K点的 两面投影。
X a′ 15 3′ 4′ k′ 1′ 2′ 例2－８．完成如图所示平面图形的水　　　平投影，并求侧面投影。 c′ b′ O a X YH YW O Z a′ b′ c′ a b c l′ g′ h′ 1′ 2′ 3′ 4′ l g h 1 2 3 4 a″ c″ b″ 4″ 1″ 2″ 3″ 26 1 2 3 4 k b c