第4章电路定理本章重点叠加定理 4.1 替代定理 4.2 戴维宁定理和诺顿定理 4.3 最大功率传输定理 4.4 特勒根定理 4.5*

第4章电路定理本章重点叠加定理 4.1 替代定理 4.2 戴维宁定理和诺顿定理 4.3 最大功率传输定理 4.4 特勒根定理 4.5*
互易定理 4.6* 对偶原理 4.7* 首页

重点: 熟练掌握各定理的内容、适用范围及如何应用。返回

4.1 叠加定理 1. 叠加定理 2 .定理的证明 (G2+G3)un1=G2us2+G3us3+iS1
4.1 叠加定理 1. 叠加定理在线性电路中，任一支路的电流(或电压)可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和。 G1 is1 G2 us2 G3 us3 i2 i3 + – 1 2 .定理的证明应用结点法： (G2+G3)un1=G2us2+G3us3+iS1 返回上页下页

G1 is1 G2 us2 G3 us3 i2 i3 + – 1 或表示为：支路电流为：返回上页下页

结论 3. 几点说明结点电压和支路电流均为各电源的一次函数，均可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。叠加定理只适用于线性电路。
一个电源作用，其余电源为零电压源为零 — 短路。电流源为零 — 开路。返回上页下页

= + + G1 is1 G2 us2 G3 us3 i2 i3 + – G1 is1 G2 G3 三个电源共同作用 is1单独作用 G1
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4. 叠加定理的应用例1 功率不能叠加(功率为电压和电流的乘积，为电源的二次函数)。 u, i叠加时要注意各分量的参考方向。
含受控源(线性)电路亦可用叠加，但受控源应始终保留。 4. 叠加定理的应用求电压源的电流及功率例1 4 2A 70V 10 5 2 + － I 解画出分电路图返回上页下页

＋ I (1) 4 2A 10 5 2 4 70V 10 5 2 + － I (2） 2A电流源作用，电桥平衡：
两个简单电路 70V电压源作用：应用叠加定理使计算简化返回上页下页

＋例2 u ＋－ 12V 2A 1 3A 3 6 6V 计算电压u 解画出分电路图 3A电流源作用：其余电源作用： 1 3A
i (2) ＋－ 12V 2A 1 3 6 6V ＋返回上页下页

＋注意例3 叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。 u ＋－ 10V 2i
1 i 2 5A 例3 计算电压u、电流i。解画出分电路图 u（1）＋－ 10V 2i(1) 1 2 i（1） u(2) 2i (2) i (2) ＋－ 1 2 5A ＋受控源始终保留返回上页下页

＋ u（1）＋－ 10V 2i(1) 1 2 i（1） u(2) 2i (2) i (2) ＋－ 1 2 5A
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例4 封装好的电路如图，已知下列实验数据：解根据叠加定理无源线性网络 uS i －＋ iS 代入实验数据：
研究激励和响应关系的实验方法解根据叠加定理无源线性网络 uS i －＋ iS 代入实验数据：返回上页下页

5.齐性原理注意线性电路中，所有激励(独立源)都增大(或减小)同样的倍数，则电路中响应(电压或电流)也增大(或减小)同样的倍数。
当激励只有一个时，则响应与激励成正比。具有可加性。返回上页下页

例 RL=2 R1=1  R2=1  us=51V，求电流 i i R1 R2 RL + – us 21A 8A 3A i '=1A
解采用倒推法：设 i'=1A 则返回上页下页

4.2 替代定理 1.替代定理对于给定的任意一个电路，若某一支路电压为uk、电流为ik，那么这条支路就可以用一个电压等于uk的独立电压源，或者用一个电流等于ik的独立电流源，或用R=uk/ik的电阻来替代，替代后电路中全部电压和电流均保持原有值(解答唯一)。返回上页下页

+ – uk 支路 k ik + – uk ik ik + – uk R=uk/ik 返回上页下页

A A A 2. 定理的证明 ik + – uk 支路 k + – uk uk －＋ ik + – 支路 k 证毕! 返回上页
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例注意求图示电路的支路电压和电流＋－ i3 10 5 110V i2 i1 u 解替代＋－ i3 10 5 110V
替代以后有：注意替代后各支路电压和电流完全不变。返回上页下页

替代前后KCL,KVL关系相同，其余支路的u、i关系不变。用uk替代后，其余支路电压不变(KVL)，其余支路电流也不变，故第k条支路ik也不变(KCL)。用ik替代后，其余支路电流不变(KCL)，其余支路电压不变，故第k条支路uk也不变(KVL)。原因注意替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。返回上页下页

？？注意替代后电路必须有唯一解。无电压源回路；无电流源结点(含广义结点)。 10V 5V 2 ＋－ 2.5A + 2.5A
5 ＋－ 1A 1.5A ？替代后其余支路及参数不能改变。返回上页下页

+ = 3. 替代定理的应用例1 0.5 1 I 0.5 10V 3 1 Rx Ix – + U I ＋－若使试求Rx 解
用替代： 0.5 1 U'' – + – + U' 0.5 1 I + = 返回上页下页

U=U'+U"=(0.1-0.075)I=0.025I Rx=U/0.125I=0.025I/0.125I=0.2 0.5 1 U''
– + – + U' 0.5 1 I U=U'+U"=( )I=0.025I Rx=U/0.125I=0.025I/0.125I=0.2 返回上页下页

例2 求电流I1 6 5 7V 3 I1 – + 1 ＋－ 2 6V 3V 4A 4 解用替代： 2 4 4A 7V
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例3 已知:uab=0, 求电阻R R 8 4 b 2 + a 20V 1A c R 8 3V 4 b ＋－ 2 + a
I R 8 4 b 2 + － a 20V 1A c R 8 3V 4 b ＋－ 2 + a 20V 3 IR 解用替代： I1 用结点法：返回上页下页

例4 用多大电阻替代2V电压源而不影响电路的工作 4 4V 10 3A ＋－ 2 + 2V 10V ＋－ 2 + 2V 5 1
I I1 应用结点法得：解应求电流I，先化简电路。返回上页下页

例5 已知: uab=0, 求电阻R 4 42V 30 ＋－ 60 25 10 20 40 b a R 0.5A d c 解
用开路替代，得：短路替代返回上页下页

4.3 戴维宁定理和诺顿定理工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的电压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说，电路的其余部分就成为一个有源二端网络，可等效变换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路), 使分析和计算简化。戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。返回上页下页

1. 戴维宁定理任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压uoc，而电阻等于一端口的输入电阻（或等效电阻Req）。 i a b Req Uoc + - u a b i u + - A 返回上页下页

例 10 + – 20V Uoc a b 10V 应用电源等效变换 1A 5 2A + – Uoc a b 5 15V a b Req
- 返回上页下页

例注意 10 + – 20V Uoc a b 10V I 应用电戴维宁定理 (1) 求开路电压Uoc 5 15V a b Req
- (2) 求输入电阻Req 注意两种解法结果一致，戴维宁定理更具普遍性。返回上页下页

A N A A + 2.定理的证明 a b i + – u a b i + – u 替代 u' a b + – N u'' a b i +
叠加 Req + 返回上页下页

i + – u N a b Req Uoc - 返回上页下页

3.定理的应用（1）开路电压Uoc 的计算戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。计算Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任意方法，使易于计算。（2）等效电阻的计算等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的输入电阻。常用下列方法计算：返回上页下页

当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和△－Y互换的方法计算等效电阻；
外加电源法（加电压求电流或加电流求电压）； u a b i + – N Req a b u i + – N Req i a b Req Uoc + - u 开路电压，短路电流法。 2 3 方法更有一般性。返回上页下页

注意例1 外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变(伏-安特性等效)。
当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中。 I Rx a b + – 10V 4 6 计算Rx分别为1.2、5.2时的电流I 例1 断开Rx支路，将剩余一端口网络化为戴维宁等效电路：解返回上页下页

Uoc = U1 - U2 = -104/(4+6)+10  6/(4+6) = 6-4=2V Req=4//6+6//4=4.8
b 4 6 + - Uoc 求开路电压 b + – 10V 4 6 - Uoc Uoc = U1 - U2 = -104/(4+6)+10  6/(4+6) = 6-4=2V 求等效电阻Req Req=4//6+6//4=4.8 I a b Uoc + – Rx Req Rx =1.2时， I= Uoc /(Req + Rx) =0.333A Rx =5.2时， I= Uoc /(Req + Rx) =0.2A 返回上页下页

例2 Uoc=6I+3I I=9/9=1A Uoc=9V U=6I+3I=9I U =9  (2/3)I0=6Io
3 6 I + – 9V U0 6I 求电压Uo 3 6 I + – 9V U0C 6I 3 6 I + – U 6I Io 解求开路电压Uoc Uoc=6I+3I I=9/9=1A Uoc=9V 独立源置零方法1：加压求流求等效电阻Req U=6I+3I=9I U =9  (2/3)I0=6Io I=Io6/(6+3)=(2/3)Io Req = U /Io=6  返回上页下页

(Uoc=9V) 6 I1 +3I=9 6I+3I=0 I=0 Isc=I1=9/6=1.5A
方法2：开路电压、短路电流 3 6 I + – 9V 6I Isc I1 (Uoc=9V) 6 I1 +3I=9 6I+3I=0 I=0 独立源保留 Isc=I1=9/6=1.5A Req = Uoc / Isc =9/1.5=6  U0 + - 6 9V 3 等效电路返回上页下页

注意例3 计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。 100 50 + – 40V
RL 50V I1 4I1 5 例3 求负载RL消耗的功率解求开路电压Uoc 100 50 + – 40V I1 4I1 返回上页下页

100 50 + – 40V I1 200I1 Uoc Isc 100 50 + – 40V I1 200I1 求等效电阻Req
用开路电压、短路电流法 Isc 50 + – 40V 返回上页下页

例4 Uoc Req 5 50V IL + – 10V 25 5 U + － 1A 2 4V A V 5 U + － S 1 3
＋－ 50V IL + – 10V 25 5 U + － 1A 2 4V A V 5 U + － S 1 3 2 1A 线性含源网络 - 例4 已知开关S 1 A ＝2A 2 V ＝4V 求开关S打向3，电压U等于多少。解返回上页下页

4. 诺顿定理任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说，可以用一个电流源和电阻的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流，电阻等于该一端口的输入电阻。 a b i u + - A a b Req Isc 注意一般情况，诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到。诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法证明。返回上页下页

例1 I1 =12/2=6A I2=(24+12)/10=3.6A Isc=-I1-I2=- 3.6-6=-9.6A
12V 2 10 + – 24V 12V 2 10 + – 24V 4 I 求短路电流Isc 解 I1 =12/2=6A I1 I2 I2=(24+12)/10=3.6A Isc=-I1-I2= =-9.6A Req =10//2=1.67  求等效电阻Req 诺顿等效电路: Req 2 10 4 I -9.6A 1.67 应用分流公式 I =2.83A 返回上页下页

例2 求电压U Isc a b 3 6 + – 24V a b 3 6 + – 24V 1A U 解
返回上页下页

求等效电阻Req a b 3 6 Req Isc a b 1A 4 ＋－ U 3A 诺顿等效电路: 返回上页下页

A A 注意若一端口网络的等效电阻 Req= 0，该一端口网络只有戴维宁等效电路，无诺顿等效电路。
b A Req=0 a b A Req= ＋－ Uoc Isc 返回上页下页

4.4 最大功率传输定理一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的。 i Uoc + – Req RL i + – u A 负载应用戴维宁定理返回上页下页

RL P P max 对P求导：最大功率匹配条件返回上页下页

RL为何值时能获得最大功率，并求最大功率
例 RL为何值时能获得最大功率，并求最大功率求开路电压Uoc 解 20 + – 20V a b 2A UR 10 ＋－ Uoc 20 + – 20V a b 2A UR RL 10 I1 I2 返回上页下页

求等效电阻Req 20 + – I a b UR 10 U I2 I1 _ 由最大功率传输定理得: 时其上可获得最大功率返回上页
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注意最大功率传输定理用于一端口电路给定,负载电阻可调的情况;
一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大功率时,电路的传输效率并不一定是50%; 计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便. 返回上页下页

4.5* 特勒根定理 1. 特勒根定理1 表明任何时刻，一个具有n个结点和b条支路的集总电路，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足:
功率守恒表明任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。返回上页下页

4 6 5 1 2 3 定理证明：应用KCL: 1 2 3 支路电压用结点电压表示返回上页下页

4 6 5 1 2 3 2. 特勒根定理2 任何时刻，对于两个具有n个结点和b条支路的集总电路，当它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足: 返回上页下页

4 6 5 1 2 3 4 6 5 1 2 3 拟功率定理返回上页下页

1 2 3 定理证明：对电路2应用KCL: 返回上页下页

例1 R1=R2=2, Us=8V时, I1=2A, U2 =2V R1=1.4 , R2=0.8, Us=9V时, I1=3A,
把两种情况看成是结构相同，参数不同的两个电路，利用特勒根定理2 解由(1)得：U1=4V, I1=2A, U2=2V, I2=U2/R2=1A – + U1 Us R1 I1 I2 U2 R2 无源电阻网络返回上页下页

– + 4.8V 无源电阻网络 3A – + 4V 1A 2V 无源电阻网络 2A 返回上页下页

P P 例2 2 – + – + U1 U2 I2 I1 已知： U1=10V, I1=5A, U2=0, I2=1A 解返回上页
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注意应用特勒根定理：电路中的支路电压必须满足KVL; 电路中的支路电流必须满足KCL;
电路中的支路电压和支路电流必须满足关联参考方向；（否则公式中加负号）定理的正确性与元件的特征全然无关。返回上页下页

4.6* 互易定理互易性是一类特殊的线性网络的重要性质。一个具有互易性的网络在输入端（激励）与输出端（响应）互换位置后，同一激励所产生的响应并不改变。具有互易性的网络叫互易网络，互易定理是对电路的这种性质所进行的概括，它广泛的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等方面。返回上页下页

1. 互易定理对一个仅含电阻的二端口电路NR，其中一个端口加激励源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。返回上页下页

注意情况1 激励电压源电流响应 i2 线性电阻网络 NR + – uS1 a b c d (a) 线性电阻网络 NR + –
则端口电压电流满足关系：注意当 uS1 = uS2 时，i2 = i1 返回上页下页

证明: 由特勒根定理：即：两式相减，得：返回上页下页

将图(a)与图(b)中端口条件代入，即:
证毕！即： i2 线性电阻网络 NR + – uS1 a b c d (a) 线性电阻网络 NR + – a b c d i1 uS2 (b) 返回上页下页

注意情况2 激励电流源电压响应 + – u2 线性电阻网络 NR iS1 a b c d (a) + – u1 线性电阻网络
则端口电压电流满足关系：注意当 iS1 = iS2 时，u2 = u1 返回上页下页

注意激励电流源电压源图b 图a 电流响应电压情况3 + – uS2 u1 线性电阻网络 NR a b c d (b) i2
iS1 a b c d (a) 则端口电压电流在数值上满足关系：注意当 iS1 = uS2 时，i2 = u1 返回上页下页

互易前后应保持网络的拓扑结构不变，仅理想电源搬移；
应用互易定理分析电路时应注意：互易前后应保持网络的拓扑结构不变，仅理想电源搬移；互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致（要么都关联，要么都非关联)；互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激励下，端口两个支路电压电流关系。含有受控源的网络，互易定理一般不成立。返回上页下页

例1 求(a)图电流I ，(b)图电压U 1 6 I + – 12V 2 (a) 4 (b) 1 2 4 + – U 6
解利用互易定理返回上页下页

例2 I1 = I '2/(4+2)=2/3A I2 = I '2/(1+2)=4/3A I= I1-I2 = - 2/3A 求电流I
2 1 4 + – 8V I a b c d 解利用互易定理 I1 I2 I' 2 1 4 + – 8V I a b c d I1 = I '2/(4+2)=2/3A I2 = I '2/(1+2)=4/3A I= I1-I2 = - 2/3A 返回上页下页

例3 测得a图中U1＝10V，U2＝5V，求b图中的电流I U1 + – U2 线性电阻网络 NR 2A a b c d (a) 5
解1 利用互易定理知c图的返回上页下页

Req (c) 线性电阻网络 NR a b c d 5 + – 5V a b I 戴维宁等效电路结合a图，知c图的等效电阻：返回
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U1 + – U2 线性电阻网络 NR 2A a b c d (a) 5 2A + – I 线性电阻网络 NR a b c d
解2 应用特勒根定理：返回上页下页

例4 问图示电路与取何关系时电路具有互易性 1 3 + – U I a b c d I U 解 1 3 + – U I
IS 在a-b端加电流源，解得： IS 在c-d端加电流源，解得：返回上页下页

如要电路具有互易性，则：结论一般有受控源的电路不具有互易性。返回上页下页

4.7* 对偶原理 1. 对偶原理在对偶电路中，某些元素之间的关系(或方程)可以通过对偶元素的互换而相互转换。对偶原理是电路分析中出现的大量相似性的归纳和总结。 2. 对偶原理的应用根据对偶原理，如果在某电路中导出某一关系式和结论，就等于解决了和它对偶的另一个电路中的关系式和结论。返回上页下页

例1 串联电路和并联电路的对偶 + _ R1 R n u k i u1 un u Rk in R1 R2 Rk Rn i + u i1 i2
ik _ 返回上页下页

结论将串联电路中的电压u与并联电路中的电流i互换，电阻R与电导G互换，串联电路中的公式就成为并联电路中的公式。反之亦然。这些互换元素称为对偶元素。电压与电流；电阻R与电导G都是对偶元素。而串联与并联电路则称为对偶电路。返回上页下页

例2 网孔电流与结点电压的对偶＋－ im1 R1 us1 us2 R3 R2 im2 网孔电流方程结点电压方程 un1 G1 is1
返回上页下页

结论把 R 和 G，us 和 is ，网孔电流和结点电压等对应元素互换，则上面两个方程彼此转换。所以“网孔电流”和“结点电压“是对偶元素，这两个平面电路称为对偶电路。返回上页下页

定理的综合应用图示线性电路，当A支路中的电阻R＝0时，测得B支路电压U=U1,当R＝时，U＝U2,已知ab端口的等效电阻为RA，求R为任意值时的电压U 例1 U – + R RA a b A B 线性有源网络返回上页下页

解应用戴维宁定理：应用替代定理： U – + R RA a b A B 线性有源网络 R a b I + – Uoc RA I U
应用叠加定理：返回上页下页

N N 例2 解得：图a为线性电路，N为相同的电阻网络,对称连接,测得电流 i1=I1, i2＝I2, 求b图中的i’1 US i2 i1
+ - (a) N US i'1 b a + - (b) 返回上页下页

N 解对图(c)应用叠加和互易定理 US i"1 b a + - (c) R Uoc i=0 a + - 对图(c)应用戴维宁定理返回
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