2019年1月16日9时17分 概率论 Probability 江西财经大学 2017年 2019年1月16日9时17分.

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1 2019年1月16日9时17分 概率论 Probability 江西财经大学 2017年 2019年1月16日9时17分

2 古典概型 假定某个试验有有限个可能的结果 假定从该试验的条件及实施方法上去分析, 我们找不到任何理由认为其中某一结果例如 , 比任一其它结果, 例如 , 更有优势, 则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会, 即1/N的出现机会。 2019年1月16日9时17分

3 试验结果 你认为哪个 结果出现的 可能性大？ 常常把这样的试验结果称为“等可能的”。 2019年1月16日9时17分

4 例如, 一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。将球编号为1－10
例如, 一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。将球编号为1－10. 把球搅匀, 蒙上眼睛, 从中任取一球。 10个球中的任一个被取出的机会是相等的, 均为1/10。 8 5 9 6 1 4 2 3 10 7 2019年1月16日9时17分

5 定义 若某实验E满足 (1) 有限性: 样本空间 (2) 等可能性: 则称E为古典概型, 也叫等可能概型。 一 古典概型的定义
一 古典概型的定义 定义 若某实验E满足 (1) 有限性: 样本空间 (2) 等可能性: 则称E为古典概型, 也叫等可能概型。 2019年1月16日9时17分

6 . Ω2 中样本点（二正一反)是(三正)的三倍。
注 意 抛一枚硬币三次  抛三枚硬币一次 Ω1={正正正, 正正反, 正反正, 反正正, 正反反, 反正反, 反反正, 反反反} 此样本空间中的样本点等可能。 Ω2={三正, 二正一反, 二反一正, 三反} 此样本空间中的样本点不等可能。 . Ω2 中样本点（二正一反)是(三正)的三倍。 2019年1月16日9时17分

7 定义： 设实验E是古典概型, 其样本空间Ω由个样本点组成, 事件A由 个样本点组成。则定义事件A的概率为:
2019年1月16日9时17分 定义： 设实验E是古典概型, 其样本空间Ω由个样本点组成, 事件A由 个样本点组成。则定义事件A的概率为: A包含的样本点数 P(A)= = Ω中的样本点总数 称此概率为古典概率，这种确定概率的方法称为古典方法。 这样就把求概率问题转化为计数问题。 2019年1月16日9时17分

8 解 ：用一个 “ 颜色对 ” 表示所取出的两个球。
例1 从装有外形完全一样的红、白、黑三个球的口袋中任取两球。就下列两种情形，求取到一个红球和一个白球的概率:（1）不放回抽样的场合；（2）有放回抽样的场合。 解 ：用一个 “ 颜色对 ” 表示所取出的两个球。 记 A——取到一个红球和一个白球。 （1）不放回抽样的场合 〔方法一〕考虑取球的顺序 ={（红，白），（红，黑），（白，红）， （白，黑），（黑，红），（黑，白）}， A ={（红，白），（白，红）}， 2019年1月16日9时17分

9 例1 从装有外形完全一样的红、白、黑三个球的口袋中任取两球。就下列两种情形，求取到一个红球和一个白球的概率。（1）不放回抽样的场合
例1 从装有外形完全一样的红、白、黑三个球的口袋中任取两球。就下列两种情形，求取到一个红球和一个白球的概率。（1）不放回抽样的场合 〔方法一〕考虑取球的顺序 〔方法二〕不考虑取球的顺序  ={（红，白），（红，黑），（白，黑）}， A ={（红，白）}， 这两种方法的不同点主要在于所选取的样本空间不同。虽然使用了不同的方法，却可以得到相同的结果，说明对同一问题，可以用不同的方法来解决，只要所使用的方法正确，所得到的结果是一致的。 2019年1月16日9时17分

10 ={（红，红)，（红，白）,（红，黑),（白，红), (白，白), （白，黑), （黑，红),（黑，白）， （黑，黑）}，
例1 从装有外形完全一样的红、白、黑三个球的口袋中任取两球。就下列两种情形，求取到一个红球和一个白球的概率； （1）不放回抽样的场合（2）有放回抽样的场合。 ={（红，红)，（红，白）,（红，黑),（白，红), (白，白), （白，黑), （黑，红),（黑，白）， （黑，黑）}， A ={（红，白），（白，红）}， 2019年1月16日9时17分

11 注：加法原理与乘法原理的区别是：前者经过一步，就可以完成一件工作；而后者必须经过 k 步之后，才能完成一件工作。
二 计数方法 1、加法原理（分类计数） 完成一件工作有 k 种方式，第一种方式有 n1 种 方法，第二种方式有 n 2 种方法，…，第 k 种方式有 n k 种方法。无论通过哪一种方法，都可以完成这件工作，则完成这件工作的方法总数为：n1 + n 2 + … + n k 。 2、乘法原理（分步计数） 方法相加 完成一件工作有 k 个步骤，第一步有 n 1 种方法，第二步有 n 2 种方法，…，第 k 步有 n k 种方法。必须经过每一个步骤，才算完成这件工作，则完成这件工作的方法总数为：n1  n 2  …  n k 。 2019年1月16日9时17分 方法相乘

12 从 n 个不同的元素中，有放回地取出 k 个元素，按照所取元素的顺序进行排列，这种排列称为可重复排列。
3、排列 从含有 n 个不同元素的总体中取出 k 个元素进行排列，既要考虑到取出的元素，又要顾及到取元素的顺序。 （1）可重复排列 有放回抽样 从 n 个不同的元素中，有放回地取出 k 个元素，按照所取元素的顺序进行排列，这种排列称为可重复排列。 由于每次选取一个元素时，都是在全体 n 个元素中进行的，都有 n 种取法。根据乘法原理，可重复排列的不同排列种数为：n  n  …  n = n k 。 2019年1月16日9时17分

13 由于每选出一个元素以后，元素的总数就减少一个。根据乘法原理，选排列的不同排列种数记作：
（2）选排列 不放回抽样 从 n 个不同的元素中，不放回地取出 k 个元素（ k  n），按照所取元素的顺序进行排列，这种排列称为从 n 个不同元素中取出 k 个元素的选排列。 由于每选出一个元素以后，元素的总数就减少一个。根据乘法原理，选排列的不同排列种数记作： 2019年1月16日9时17分

14 10 =104 =5040 10 9 8 7 分析:分4步完成 0943665 所以可能情况有：4×4×4＝ （种）。
例、电话号码是 ××××,后面每个数字来自0～9这10个数,问可以产生多少个不同的电话号码? 分析:分4步完成 n个球随机地放入N个盒中,共有 种放法？ 10 × =104 =5040 10 9 8 7 × 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同的电话号码? 又例如，4个同学争夺3项竞赛冠军，冠军获得者共有几种可能情况？ （1）第一项冠军有4种可能； 解：完成这件事情可分三步： （2）第二项冠军有4种可能； 所以可能情况有：4×4×4＝ （种）。 （3）第三项冠军有4种可能。 2019年1月16日9时17分

15 例、 五名学生报名参加四项体育比赛，(1)每人限报一项，报名方法的种数有多少？(2)又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？
n个球随机地放入N个盒中,共有 种放法？ 解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4= 种 。 （2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种故有5×５×５×５= 种 。 2019年1月16日9时17分

16 注：排列与组合的区别是：前者与次序有关，而后者与次序无关。
不放回抽样 4、组合 从 n 个不同的元素中，不放回地取出 k 个元素（ k  n）,不考虑元素取出的顺序，而将它们并成一组，称为从 n 个不同元素中取出 k 个的组合，不同的组合种数记作： 注：排列与组合的区别是：前者与次序有关，而后者与次序无关。 2019年1月16日9时17分

17 三 排列组合问题的解题策略 解排列组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法，排列中“相邻”问题可采用捆绑法；“分离”问题可用插空法等。 2019年1月16日9时17分

18 一. 特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的 五位奇数。 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安
排这两个位置. （1）先排末位共有___ （2）然后排首位共有___ （3）最后排其它位置共有___ 由分步计数原理得 =288 2019年1月16日9时17分

19 解：可（1）先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，（2）同时丙丁也看成一个 复合元素，（3）再与其它元素进行排列，
二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可（1）先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，（2）同时丙丁也看成一个 复合元素，（3）再与其它元素进行排列， （4）同时对相邻元素内部进行自排。 甲 乙 丙 丁 由分步计数原理可得共有 种不同的排法。 =480 2019年1月16日9时17分

20 解:分两步进行：第一步排2个相声和3个独唱共 有 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排
三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个 独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？ 解:分两步进行：第一步排2个相声和3个独唱共 有 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排 好的5个元素中间包含首尾两个空位共有 种 不同的方法 由分步计数原理,节目的 不同顺序共有 种 相 独 独 独 相 2019年1月16日9时17分

21 上任意排列有____种,则共有_________种.
四.多排问题直排策略 例4. 8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在 前排,丁在后排,共有多少排法 解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以 把椅子排成一排. 先在前4个位置排甲乙两 个特殊元素有____种,再排后4个位置上的 特殊元素有_____种,其余的5人在5个位置 上任意排列有____种,则共有_________种. 前排 后排 2019年1月16日9时17分

22 四 分配问题举例 （1）6本不同的书分给5名同学，每 人一本，有多少种不同分法？
例1. （1）6本不同的书分给5名同学，每 人一本，有多少种不同分法？ （2）5本相同的书分给6名同学，每人至多一本，有多少种不同的分法？ （3）6本不同的书全部分给5名 同学每人至少一本，有多 少种不同的分法？ 2019年1月16日9时17分

23 分配问题 例1 （4）6本不同的书分给3名同学，甲1本、乙2 本、丙3本，有多少种不同的分法？ （5）6本不同的书分给甲、乙、丙3名同学，
每人两本，有多少种不同分法？ 2019年1月16日9时17分

24 隔板法 分配问题 （1）7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，共有多少种不同的方法？ 解：相当于将7个小球用3块隔板分成4份 例2：
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25 隔板法 分配问题 （2）7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有1个小球的不同放法有多少种？
例2： （2）7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有1个小球的不同放法有多少种？ 解：将7个小球用3块隔板分成4份，但盒子又不能空。 2019年1月16日9时17分

26 五 古典概型计算举例 2019年1月16日9时17分

27 例2 设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率。
解 : 令A={恰有k件次品} 正品 N-M件 次品 M件 上式即为超几何分布的概率公式。 …… 2019年1月16日9时17分

28 例3 （分组问题）将一幅52张的扑克牌平均地分给四个人， 分别求有人手里分得13张黑桃及有人手里有4张A牌的概率 各为多少？
解：令A={有人手里有13张黑桃}，B={有人手里有4张A牌} 2019年1月16日9时17分

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32 2 1 1 2 设A=每一节车厢内至少有一个旅客 第一步 选n人 第二步 选剩余n-k人 元素流动 情形一 1车厢 重复！！！ 情形二
解：下列解法是错误的 设A=每一节车厢内至少有一个旅客 第一步 选n人 第二步 选剩余n-k人 元素流动 情形一 1车厢 2 1 重复！！！ 1 情形二 1车厢 2 2019年1月16日9时17分

33 例7 第一步 第二步 情形1 情形2 情形3 重复了！！！！ 从52张扑克牌中任取13张，求至少有两种4张同号的概率。
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34 √ 例8 掷两枚均匀的骰子，求出现的点数之和等于 3 的概率。 [ 错解 ] 考虑两枚骰子掷出的点数之和。 = { 3 } ，
例8 掷两枚均匀的骰子，求出现的点数之和等于 3 的概率。 [ 错解 ] 考虑两枚骰子掷出的点数之和。 记 A —— 出现的点数之和等于 3 ， = { 3 } ， 则 = { 2 , 3 , … , 12 } ； √ [ 错因] 在样本空间  = { 2 , 3 , … , 12 } 中，各样本点出现的可能性是不一定相同的。 例如，数值 2 只有当掷出的点数分别为 ( 1 , 1 ) 时才会出现，而数值 3 在掷出的点数分别为 ( 1 , 2 ) 和 ( 2 , 1 ) 时都会出现，其出现的可能性时 2 / 36 。因而数值 2 和 3 出现的可能性是不同的。 2019年1月16日9时17分

35 如果突破古典概型的第一个限制，而保留其第二个限制，就是几何概型。
几何概型 在计算古典概率时，必须满足两个基本条件： （1）样本空间  有限; （2）每个可能的结果出现的可能性相同。 如果突破古典概型的第一个限制，而保留其第二个限制，就是几何概型。 例如，从区间 [0，1]中随机地取出一个数  ，则这个随机试验的样本空间  =：01= [0，1]。它是由无限个样本点组成的，而数  是从闭区间[0，1] 中“等可能”地抽取的，所以它是一个几何概型的随机试验。 2019年1月16日9时17分

36 定义 如果一个随机试验相当于从直线、平面或空间的某一区域Ω任取一点，而所取的点落在Ω中任意两个度量（长度、面积、体积）相等的子区域内的可能性是一样的，则称此试验模型为几何概型，对于任意有度量的子区域， ，定义事件“任取一点落在区域A内”发生的概率为 2019年1月16日9时17分

37 例 1 (会面问题)甲乙两人约定于9时到10时之间在某地会面, 先到的等20分钟, 过时离去
例 1 (会面问题)甲乙两人约定于9时到10时之间在某地会面, 先到的等20分钟, 过时离去. 假定每个人在指定的1小时内的任一时刻到达是等可能的, 求这两人能会面的概率. 解 设X、Y分别表示甲乙两人的到达时刻, 从9时算起, 单位取分钟, 则 两人会面的条件是 y 60 A 20 Ω 20 60 x 2019年1月16日9时17分

38 设 x ——针的中心点 M 到最近的一条平行线的距离，  ——针与此平行线的交角，
例2 （投针问题）平面上有一簇平行线，它们之间的距离都等于 a (a>0) ，向此平面任意投一长度为 l（l < a）的针，试求此针与任一平行线相交的概率。 解 记 A ——针与一条平行线相交。 设 x ——针的中心点 M 到最近的一条平行线的距离，  ——针与此平行线的交角， 则针在平面中的位置可以用数对( ，x) 来表示。 于是  = {（  ，x）： 0    ，0  x  }。 如果事件 A 发生，即针与一条平行线相交，则针的中点 M 到最近的一条平行线的距离 x 必须满足：0  x  sin ，  x a l 2019年1月16日9时17分

39  = {（  ，x）： 0    ，0  x  }。 于是，A = {（ ，x ）：0    ，0  x  sin  。   /  A  x= sin  x 1  x a l x 2019年1月16日9时17分

40 应用 —— 计算圆周率 k可以用计算机模拟，这种方法称为蒙特-卡洛法
设投了 N 次中有 k 次与平行线相交，则由频率的稳定性，知：当 N 充分大时， 且 N 越大，近似的程度就越高。 k可以用计算机模拟，这种方法称为蒙特-卡洛法 2019年1月16日9时17分

41 但是，A  。 例3 如果 A = ，则 P ( A ) = 0。反之不然。 反例 考虑下面的几何概型问题。
反例 考虑下面的几何概型问题。 从区间 [ 0，1 ] 中随机地取出一的数，求这个数恰好是 的概率。 记事件 A —— 取到的数恰好是 ， 样本空间  = [ 0，1 ] ， μ (  ) = 1； 事件 A = { } （即 A 是一个单点集），μ ( A ) = 0 。 但是，A  。 同样，概率为“1”的事件，也并不一定是必然事件。 2019年1月16日9时17分

42 概率为“1”的事件，也并不一定是必然事件。
下列解法是否正确？ 2019年1月16日9时17分