第四讲 点对称操作、晶系 (111).

Presentation on theme: "第四讲 点对称操作、晶系 (111)."— Presentation transcript:

1 第四讲 点对称操作、晶系 (111)

2 复习： 周期性 晶体的对称性是由其周期性所决定的 第二讲 晶体中的点、线、面 晶体结构 = 基元 + 点阵
周期性 晶体的对称性是由其周期性所决定的 晶体结构 = 基元 + 点阵 结构成分分析中心 理化科学中心 晶体是这样构成的：具有周期性的格点形成点阵，格点由平移矢量 r = ua + vb + wc （u、v、w为任意整数）描述；在每一个格点上附加一个全同的基元，该基元由s个原子组成，其原子的位置由 rj = xja + yjb +zjc 决定，j = 1, 2, 3, ……., s; x, y, z 在0至1之间取值。 点阵，Lattice 对晶体结构最简单的描述，也是最基本的描述 基元，Basis

3 晶体结构 = 基元 + 点阵 a 小圆点为抽象的任意等同点 a 点阵，Lattice 基元，Basis

4 1 2 对称性？？ 格点和原子坐标？ a a/2 3 a/2 3’ a 点阵，Lattice 1 2 基元，Basis 3

5 一维情况： a 点阵，Lattice p1 pm

6 (430) 方向指数 [uvw] 晶面指数 (hkl) 点阵，Lattice 基元Basis [-1-10] [410] b a (420)
(210) 互质整数 晶面指数 (hkl) 晶体是这样构成的：具有周期性的格点形成点阵，格点由平移矢量 r = ua + vb + wc （u、v、w为任意整数）描述；在每一个格点上附加一个全同的基元，该基元由s个原子组成，其原子的位置由 rj = xja + yjb +zjc 决定，j = 1, 2, 3, ……., s; x, y, z 在0至1之间取值。

7 c 4 (hkl) = (463)    2 3 b a 截距 倒数 互质整数

8 a = b,  = 90o a ≠ b,  = 90o a b (100) [100] (010) [010] (110) [110]
(120) [120] a = b,  = 90o a b (100) [100] (010) [010] (110) [110] (120) [120] a ≠ b,  = 90o

9 a = b,  ≠ 90o a’≠ b’,  = 90o a ≠ b,  ≠ 90o [010] [120] [110] (010)
[100] a a’≠ b’,  = 90o (110) (120) (100) a b (100) [100] (010) [010] (110) [110] (120) [120] a ≠ b,  ≠ 90o

10 斜方 长方 有心长方 正方 六角 Oblique, a ≠ b  ≠ 90o Rectangular, a ≠ b  = 90o
更直接地反映对称性 正方 Square, a = b  = 90o 60o angle rhombus, Hexagonal, a = b  = 120o 六角 画一画六角晶胞中的方向指数和密勒指数？

11 {111},<111> a = b = c,  =  =  = 90o c b a c b a c c 结点直线族方向？
夹角？ b a b a {111},<111>

12 {100},<100> {110},<110> a = b = c,  =  =  = 90o (010)
(001) [001] [010] [100] (100) a = b = c,  =  =  = 90o a b c {100},<100> (011) (101) (110) {110},<110>

13 fcc(111), hcp(0001) fcc(100), bcc(100) c1 a1 c2 a2 R
Surface Reconstruction (I) Wood 符号 p(1x1) p(2x2) (3x3)R30o p(1x1) c(2x2) p(2x2) fcc(111), hcp(0001) fcc(100), bcc(100)

14 Surface Reconstruction (II)
p(2x1) p(2x1) c(2x2) bcc(110) fcc(110)

15 意义：1、投影是研究晶体外形和结构的有用工具。2、极射赤面投影能清楚表达晶体点群中对称要素的空间分布。
复习： 第三讲 晶体投影 意义：1、投影是研究晶体外形和结构的有用工具。2、极射赤面投影能清楚表达晶体点群中对称要素的空间分布。

16 晶面角守恒定律：在相同温度和压力等条件下，成分和构造上均相同的同种晶体，其对应晶面之间的夹角是守恒的。

17 P6 P1 P5 A B P2 P4 P3 晶带：平行于某一轴线方向的 a6  a1 a5 o a2 a4 a3 180o -
PZT 理想晶体、歪晶 晶带：平行于某一轴线方向的 晶面组成晶带 微观对称性的反映

18 极射赤面投影   /2 Op = r tan(/2) N P A p O S 极距角、方位角 基圆 r 基圆平面
(极球)球面  P 极距角、方位角 基圆 A p r O  基圆平面 /2 S 晶面 球面(极)点(三维) 赤(道)面投影(二维) 球面坐标：极距角、方位角。经线(子午线、面) 、纬线。

19 晶体的投影 S N 球面 基圆 球面上点的极射赤面投影 晶体的球面投影 晶面 球面(极)点(三维) 赤(道)面投影(二维)

20 镜面？ Op = r tan(/2) r = 1,  = 45o (54.73o) 求Op = 0.414 (0.518) O N S

21 O N S  /2 P p P’ p’ O N S  /2 P p 对称心？

22 球面上小圆的投影 N S N S N S 水平小圆 直立小圆 倾斜小圆 O O 球面 基圆 晶带 （极点组成的）圆 两圆心一般不重合 A B
C S 水平小圆 直立小圆 倾斜小圆 晶带 （极点组成的）圆 两圆心一般不重合

23 球面上大圆的投影 学会从垂直方向看？ N N S N 球面 y x z S S x y 基圆

24 球面大圆上点的投影、夹角 球面 y x z y x y 基圆 x

25 极式网 and 赤式网 (Wulff net) 极式网 赤式网(乌尔夫网) 垂直大圆+水平小圆 赤道面 倾斜大圆+直立小圆

26 N (北) 极式网 S (南)

27 N (北) 从赤道看 赤道上任意位置 赤式网 S (南) 基圆平面为子午面

28  

29 B A S N O B A N B A N 可相对任意旋转！ B B N A N A

30 例：铜单晶体的极射赤面投影 (001) (100) (010) y x z (110) (101) (011) (111)

31 100 (001) (100) (010) 001 010 010 001 010 100 001 y x z 100 110 110 101 (110) (101) (011) 011 011 011 011 101 110 110

32 x y 111 010 100 001 110 011 101 (111) 001 100 010 Cu单晶体的极射赤面投影

33 x y 极射赤面（平）投影 z 立方晶系中的3h，6d

34 立方晶系中的3h，6d y x z x y 45o 60o 90o 54o44’ ,109o28’ 35o16’ , 70o32’

35 蛋白质结构 马克斯·佩鲁茨 1962: "for their studies of the structures of globular proteins" 约翰·肯德鲁 肌红蛋白（英语：Myoglobin）是由153个氨基酸环绕中央的血基质组成的单链蛋白质。分子量为16700道尔顿。其对氧气的亲合力大于血红蛋白，所以在肌肉组织中有储存氧气的功能。因为只需要一点氧分压便可以使其对氧气的结合力达到饱和，所以比血红蛋白更适合储存氧气。

36 肯德鲁（Kendrew,John Cowdery）英国生物化学家。1917年3月24日生于牛津。肯德鲁曾在剑桥大学学习，1939年毕业，二次大战期间飞机制造部门工作，此后他回到剑桥大学，于1944年获得哲学博士学位。在此他在佩鲁茨领导下从事研究，当时佩鲁茨正在建立一个分子生物学家小组，其中也包括克里克。佩鲁茨和肯德鲁所感兴趣的问题，是蛋白质分 子的精细结构。半个世纪之前，费歇尔已确定了分子的氨基酸的基本骨架。五十年代，桑格又找到了测定此骨架中各种氨基酸的次序的方法，不过，还留下需要研究 的问题，即在蛋白质分子内部氨基酸链是如何排列的。对于这一目标来说，最为适宜的技术似乎是X射线衍射，种方法可用来分子内的总的规律性，就像威尔金斯研 究核酸所作的那样。然而，对于蛋白质分子来说，不有进一步的要求，即要弄清每个原子的精确位置。佩鲁茨以血红蛋白作为自己的研究对象，而把较为简单的肌红 蛋白分子交给肯德鲁探索（肌红蛋白与血红蛋白颇为相似，但前者的大小只有后者的四分之一）。血红蛋白分子大约含12，000个原子，其中一半是氢原子，氢 原子很小，对X射线没有什么影响。但尽管如此，还剩下6000个原子，每个原子都能影响X射线，可见这种状况是非常复杂的。较小的肌红蛋白分子也有 1200个这样的原子；它象血红蛋折那样复杂，但也是够复杂的。对X射线衍射图研究和分析了若干年。对复杂的衍射图进行分析，只能用五十年代后期出现的那 种高速计算机才有可能。1960年，肯德尔所研究的较为简单的肌红蛋折扮子已被完全认识了。这样，就能确定每个原子的位置，从而精确地绘出肌红蛋白分子的 三维图。十年前泡令已证实，纤维状蛋白具有一个螺旋形的链。现今，肯德尔则能证明，由肌红蛋白所代表的球状蛋白虽然并不形成纤维，然而其分子却具有螺旋状 的基本结构。佩鲁茨所研究的血红蛋白课题也接着迅速地获得成果 。因此，佩鲁茨和肯德鲁一起分享了1962年的诺贝尔化学奖。

37 空间群 点群点对称操作的集合 晶系 点对称操作 第四讲(I) 点对称操作
点对称操作(R)：在操作过程中保持空间有一不动点的对称操作。比较：平移操作(t) 点对称操作 晶系 点群点对称操作的集合 十四种惯用布拉菲格子 空间群 非点式对称操作

38 七种晶系 对称条件 晶系 特点 四个三次轴 三 斜 单 斜 正 交 四 方 三 方 六 方 立 方 1(E)或1(i) 2(C2)或2(m)
三 斜 单 斜 正 交 四 方 三 方 六 方 立 方 1(E)或1(i) 2(C2)或2(m) 两个2(C2)或2(m) 4(C4)或4(S43) 3(C3)或3(S65) 6(C6)或6(S35) a ≠ b ≠ c,  ≠  ≠  a ≠ b ≠ c,  =  = 90o ≠  a ≠ b ≠ c,  =  =  = 90o a = b ≠ c,  =  =  = 90o a = b ≠ c,  =  = 90o,  = 120o a = b = c,  =  =  = 90o a = b = c,  =  =  菱形

39

40 花椒凤蝶

41 香格里拉的秋天 狼毒

42 四叶三叶草 三叶草

43 SG(No.227): Fd3m Diamond single crystals for abrasives 43.51 carat
Natural Diamond Type IIa CVD Diamond Diamond single crystals for abrasives Type Ib HPHT Diamond

44 晶体对称的特点：晶体外形的对称性（宏观对称 性）决定于晶体内部结构的对称性（微观对称性）。所有的晶 体结构都是对称的。晶体外形是有限图形，宏观对称是有限的， 而微观对称被视作无限的。晶体的对称不仅体现在外形上，同 时也体现在物理性质上。 我们必须记住：对于晶体结构，所讨论的是单胞连同其中所含实体的对称性，而不是阵点排成的裸单胞的对称性 重要概念：对称操作、点对称操作、对称元素、参考轴、对称操作算符、真旋转、非真旋转、操作符号 1 (E，L1)

45 y x z y m (，P ) x

46 y x z y x 极射赤面（平）投影

47 对称操作：对分子或晶体，使其各个原子的位置发生变换的操作，但其结果是使分子或晶体的状态与操作前的状态正好相同。
对称操作、点对称操作、参考轴、对称算符 b a c 对称操作：对分子或晶体，使其各个原子的位置发生变换的操作，但其结果是使分子或晶体的状态与操作前的状态正好相同。 点对称操作：在操作过程中保持空间有一不动点的对称操作。 苯分子

48

49 c 参考轴： 对称算符 r’ = Rr a, b, c (无需正交) = r = xa + yb + zc
x’ y’ z’ x y z a11 a21 a31 = r = xa + yb + zc r’ = x’a + y’b + z’c (x’,y’,z’) (x,y,z) r’ r   b  a  = 90o 直角坐标  = 120o 六角坐标 正交矩阵 恒等 1 镜面{m[001]}，反映 x’ y’ z’ x y z = x’ y’ z’ x y z =

50 镜面 对称心(i)，反演 m[001] = = m[010] = m[100] = m[110] = m[110] = x’ y’ z’
= x’ y’ z’ x y z = m[010] x’ y’ z’ x y z = m[100] x’ y’ z’ x y z = m[110] x’ y’ z’ x y z = m[110] x’ y’ z’ x y z =

51 m[001] ( = 90o) = m[001] ( = 120o) = m[100] ( = 120o)
x’ y’ z’ x y z = m[001] ( = 120o) x’ y’ z’ x y z = m[100] ( = 120o) m[100] ( = 90o) x’ y’ z’ x y z = x’ y’ z’ x y z = 对称心(i)，反演 x’ y’ z’ x y z =

52 旋转操作

53

54

55 反演操作和对称中心

56 反映操作和镜面

57 旋转反映操作和反轴

58 旋转反映操作和映轴

59

60 b a b a 直角坐标 六角坐标

61 1 (E, L1)  = 360o/n (n = 1,2,3,4,6)

62  = 360o/n (n = 1,2,3,4,6) 2 (C2, L2) + + + + _ + _

63  = 360o/n 3 (C3, L3); 33; 333 (n = 1,2,3,4,6) 3 (C3, L3) =
x’ y’ z’ x y z =  = 90o 直角坐标 [111] ?  = 120o 六角坐标

64  = 360o/n (n = 1,2,3,4,6) 4 (C4, L4) 4 (C4, L4); 42 = 2; 43; 44 = 1

65 6 (C6, L6) 6 (C6, L6); 62 = 3; 63 = 2; 64; 65; 66 = 1

66 1 (i, C) + _ , + _ , + _ , 手性的变化 对形关系、对形操作

67 2 (σ, P), m _ , + + , _ 手性的变化 对形关系、对形操作

68 n = 1n (iCn), Sn = σCn 4 (S43, Li4)

69 3 (S65, Li3) 3 (S65, Li3) = 3+C

70 6 (S35, Li6) 6 (S35, Li6) = 3+P

71 点对称操作 360o/n (n = 1,2,3,4,6) 旋转轴， n 旋转反演轴， n 1 (E, L1) 1 (i, C)
+ , 2 (C2, L2) 2 (σ, P), m + _ , 3 (C3, L3) 3 (S65, Li3) 4 (C4, L4) 4 (S43, Li4) 6 (C6, L6) 6 (S35, Li6) 旋转轴， n 旋转反演轴， n

72 3 (S65, Li3) 6 (S35, Li6) S6, S62(C3), S63(i), S64(C32), S65, S66(E)
35, 34, , , , 36 S3, S32(C32), S33(σh), S34(C3), S35, S36(E) 65, 64, , , ,

73 点对称操作 n = 1n (iCn), Sn = σCn 1 (E, L1) 1 (i, C) 2 (C2, L2) 2 (σ, P), m
(σh, σv, σd) 3 (C3, L3) 3 (S65, Li3) (C31, C32, C33) S6, S62(C3), S63(i), S64(C32), S65, S66(E) 35, 34, , , , 36 4 (C4, L4) 4 (S43, Li4) (C41, C42, C43, C44 ) S4(43), S42(42), S43(4), S44(E) 6 (C6, L6) 6 (S35, Li6) (C61, C62, C63, C64 , C65, C66 ) S3, S32(C32), S33(σh), S34(C3), S35, S36(E) 65, 64, , , ,

74 !!! n = 1n (iCn), Sn = σCn 点对称操作 1 (E) 1 (i) 2 (C2) 2 (σ), m 3 (S65)
(σh, σv, σd) (C21, C22) 3 (S65) 3 (C3) S6, S62(C3), S63(i), S64(C32), S65, S66(E) 35, 34, , , , 36 (C31, C32, C33) 4 (S43) 4 (C4) (C41, C42, C43, C44 ) S4(43), S42(42), S43(4), S44(E) 6 (C6) 6 (S35) (C61, C62, C63, C64 , C65, C66 ) S3, S32(C32), S33(σh), S34(C3), S35, S36(E) 65, 64, , , ,

75 (-x,-y,z) (-y,x-y,z) (y-x,-x,z) b (x-y,x,z) (y,y-x,z) (x,y,z) a 6[001]
= x z 6[001] -y 3[001]

76 第四讲(II) 晶系 七种晶系的提出，正是由于将各种不同的真旋转和非真旋转操作应用于单胞的各个轴(或点阵平移矢量)所得到的结果。
晶系是由晶体的对称性来划分的。单胞几何形状(晶胞参数)的限制是对称性要求的结果。

77 七种晶系 对称条件 晶系 特点 1(E)或1(i) 三 斜 a ≠ b ≠ c,  ≠  ≠  2(C2)或2(m) 单 斜
三 斜 a ≠ b ≠ c,  ≠  ≠  2(C2)或2(m) 单 斜 a ≠ b ≠ c,  =  = 90o ≠  两个2(C2)或2(m) 正 交 a ≠ b ≠ c,  =  =  = 90o 4(C4)或4(S43) 四 方 a = b ≠ c,  =  =  = 90o 3(C3)或3(S65) 三 方 a = b ≠ c,  =  = 90o,  = 120o a = b = c,  =  =  菱形 6(C6)或6(S35) 六 方 a = b ≠ c,  =  = 90o,  = 120o 四个三次轴 立 方 a = b = c,  =  =  = 90o

78 这里(x, y, z) 和 (x’, y’, z’) 可以是单胞轴长的分数，表示原子位置。
r r’ a b c     = 90o 直角坐标  = 120o 六角坐标 参考轴： 对称算符 r’ = Rr a, b, c (无需正交) x’ y’ z’ x y z a11 a21 a31 = r = xa + yb + zc r’ = x’a + y’b + z’c 这里(x, y, z) 和 (x’, y’, z’) 可以是单胞轴长的分数，表示原子位置。

79 两种操作中，单胞轴彼此之间没有任何约束关系，所以对单胞的几何形状没有特别限制，即：
恒等 E 三斜晶系： x’ y’ z’ x y z = 1(E)或1(i) 对称心(i)，反演 x’ y’ z’ x y z = 两种操作中，单胞轴彼此之间没有任何约束关系，所以对单胞的几何形状没有特别限制，即： a ≠ b ≠ c,  ≠  ≠ 

80 2[001] 单斜晶系： = r’ = {2[001]}r = – xa –yb + zc m[001] =
x’ y’ z’ x y z = 2(C2)或2(m) r’ = {2[001]}r = – xa –yb + zc m[001] x’ y’ z’ x y z = 2次旋转不变要求： r’ = {m[001]}r = xa + yb – zc – xa · zc = xa · zc a ≠ c,  = 90o a ≠ b ≠ c,  =  = 90o ≠ 

81 a≠ b≠ c,  =  =  = 90o r’ = {2[100]}r = xa –yb – zc r’ = {2[001]}r = – xa +yb – zc r’ = {2[001]}r = – xa –yb + zc a = b ≠ c,  =  =  = 90o r’ = {4[001]}r = – ya + xb + zc

82 Crystal Systems Crystal structures are divided into groups according to unit cell geometry (symmetry). 英文

83 七种晶系 对称条件 晶系 特点 四个三次轴 三 斜 单 斜 正 交 四 方 三 方 六 方 立 方 1(E)或1(i) 2(C2)或2(m)
三 斜 单 斜 正 交 四 方 三 方 六 方 立 方 1(E)或1(i) 2(C2)或2(m) 两个2(C2)或2(m) 4(C4)或4(S43) 3(C3)或3(S65) 6(C6)或6(S35) a ≠ b ≠ c,  ≠  ≠  a ≠ b ≠ c,  =  = 90o ≠  a ≠ b ≠ c,  =  =  = 90o a = b ≠ c,  =  =  = 90o a = b ≠ c,  =  = 90o,  = 120o a = b = c,  =  =  = 90o a = b = c,  =  =  菱形

84 对称条件 晶系 特点 全对称点群 1 2/m mmm 4/mmm 6/mmm m3m 3m 四个三次轴 三 斜 单 斜 正 交 四 方
三 斜 单 斜 正 交 四 方 三 方 六 方 立 方 1(E)或1(i) 2(C2)或2(m) 两个2(C2)或2(m) 4(C4)或4(S43) 3(C3)或3(S65) 6(C6)或6(S35) a≠ b≠ c, ≠≠ a≠b≠c,  =  = 90o≠ a≠b≠c,  =  =  = 90o a = b≠c,  =  =  = 90o a = b≠c,  =  = 90o,  = 120o a = b = c,  =  =  = 90o a = b = c,  =  =  菱形 全对称点群 1 2/m mmm 4/mmm 6/mmm m3m 3m

85 习题： 固体科学中的空间群 Page 17: 1, 2, 5, 6，8

86 mmm (3L23PC) 正交晶系：正交双锥晶类 y x 极射赤面（平）投影 一般形

87 4 (Li4) 四方晶系：四方四面体晶类 y x 极射赤面（平）投影 一般形

88 4/m (L4PC) 四方晶系：四方双锥晶类 x y 极射赤面（平）投影 一般形

89 23 (3L24L3) 立方晶系：五角三四面体晶类 x y 极射赤面（平）投影 一般形