偏導數的幾何意義 考慮一個由方程式 所決定的曲面。就如下面的圖3所顯示的，平面 與曲面相交於平面曲線 上，且這個值 就是這條曲線在點

Presentation on theme: "偏導數的幾何意義 考慮一個由方程式 所決定的曲面。就如下面的圖3所顯示的，平面 與曲面相交於平面曲線 上，且這個值 就是這條曲線在點"— Presentation transcript:

1 偏導數的幾何意義 考慮一個由方程式 所決定的曲面。就如下面的圖3所顯示的，平面 與曲面相交於平面曲線 上，且這個值 就是這條曲線在點
　　考慮一個由方程式　　　　　 所決定的曲面。就如下面的圖3所顯示的，平面 　　 與曲面相交於平面曲線　　 上，且這個值　　　　 就是這條曲線在點　 　　 的切線的斜率。

2 　　因此，通過點　 　　　　　 而位於平面　　 上之切線方程式為

3 　　同樣的，平面　　　 與曲面交於平面　　 上，且　　　　就是這條曲線在　點 的切線斜率。

4 　　因此，通過點　　　　　　 而位於平面　　　上之切線方程式為

5 例5. 試求球面 與平面 相交之曲線於點 之切線方程式。 解：因 在平面 上，切線過 點的斜率為
例5. 試求球面　　　 　 與平面　　 相交之曲線於點　　　 之切線方程式。 解：因　　　　　　　　 在平面　　　上，切線過　點的斜率為 　　故所求之切線方程式為 　　　　　　　　 ， 　　亦即

6 習題： 求下列各函數之偏導數： (1) (2) (3) (4) (5) 求曲面　　　　　　 與平面　　 之交線於點　　　之切線斜率與斜線方程式。

7 高階偏導數 (Higher-order Partial Derivatives)
　　關於多元函數求偏導數，我們可以瞭解到，當對某一變數做偏微時，只要將其他變數視為常數來處理即可。因此，多元函數求偏導數之方法與一元函數求導數是相似的。一元函數我們有討論高階導數的計算與應用，同樣的，對於多元函數我們也可推至高階偏導數。現在我們就來討論高階偏導數。

8 定義 二階偏導數(Second-order Partial Derivatives)
　　由於一個函數的　與　的偏導數實際上也是這兩個變數的函數，它或許可以再對　或　來做偏微分，於是得到四個　的二階偏導數(second partial derivatives)　

9 例6. 若 　　　　　　 ，試求二階 偏導數。 解： ， 　　將　　　 分別對　與　再做偏微分，　則得

10 例7. 若　　　　　　　 ，試求二階偏導 數。 解： 　　則　　　 分別對　與　做偏微分，得

11 　　將　　　 分別對　與　做偏微分，得

12 例8. 若 　　　　 ，求　　 及　　　 。 解： 　　對　再做偏微分，得

13 　　對　再做偏微分，得 　　將　　 代入，得

14 　　一元函數的高階導數，可應用於許多問題上，特別是求極大值與極小值時。同樣的，二元函數的二階偏導數，在後續的討論中，也有許多可應用的問題。目前我們所討論的多元函數，都以二元為例，而高階偏導數也討論至二階偏導數，事實上，多元函數可以推廣至多於兩個變數，而高階偏導數也可推至高於二階，只要大家瞭解了偏微分的基本定義以及計算方法，應該可以往更多元的函數去發展。

15 習題： 試求下列各二元函數所有之二階偏導數：

16 習題： 試求下列各二元函數所有之二階偏導數： (4) (5) (6)