电磁感应定律的应用.

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1 电磁感应定律的应用

2 1.电磁感应中的电路问题:

3 在电磁感应中,切割磁感线的导体或磁通量发生变化的
回路将产生感应电动势,该导体或回路相当于电源.因此 ,电磁感应问题往往与电路问题联系在一起.解决与电路 相联系的电磁感应问题的基本方法是: (1)用法拉第电磁感应定律和愣次定律确定感应电动势 的大小和方向. (2)画等效电路. (3)运用全电路欧姆定律,串并联电路性质,电功率等公 式联立求解.

4 解题要点： 电磁感应问题往往跟电路问题联系在一起。产生感应电动势的导体相当于电源，将它们接上电阻等用电器，便可对其供电；接上电容器，便可使其充电。解决这类问题，不仅要运用电磁感应中的规律，如右手定则、楞次定律和法拉第电磁感应定律等，还要应用电场、电路中的相关知识，如电容公式、欧姆定律、电功率公式、串、并联电路性质等。关键是把电磁感应的问题等效转换成稳恒电路问题来处理。一般可按以下三个步骤进行。

5 解题步骤 第一步：确定内电路。切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，其电阻相当于电源的内电阻。用右手定则或楞次定律判断电流方向。若在一个电路中有几个部分产生感应电动势且又相互联系，则可等效成电源的串、并联。 第二步：分析外电路。明确外电路各用电器、电表、电容器的串并联关系，画等效电路图。 第三步：立方程求解。综合运用法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律等规律，列出方程求解。

6 1.把总电阻为2R的均匀电阻丝焊接成一半径为a的圆环，水平固定在竖直向下，磁感应强度为B的匀强磁场中，如图所示，一长度为2a，电阻等于R，粗细均匀的金属棒MN放在圆环上，它与圆环始终保持良好的接触。当金属棒以恒定速度v向右移动经过环心O时，求： （1）流过棒的电流的大小、 方向及棒两端的电压UMN。 （2）在圆环和金属棒上消 耗的总热功率。

7 解答 （1）棒MN右移时，切割磁感线，产生感应电动 势，棒MN相当于电源，内电阻为R。其等效电路如 图所示。棒两端的电压为路端电压。 金属棒经过环心时，棒中产生的感应电动势为： 此时，圆环的两部分构成并 联连接，且 ， 故并联部分的电阻为： 。

8 由闭合电路欧姆定律得流过金属棒的电流为：
由右手定则可判断出金属棒上的电流方向由N→M 棒两端的电压： （2）圆环和金属棒上消耗的总功率等于电路中感 应电流的电功率，即：

9 （1）在ab边刚进入磁场区域时，线框内的电流大小； （2）在ab边刚进入磁场区域时，ab边两端的电压； （3）在线框被拉入磁场的整个过程
2.如图所示，在绝缘光滑水平面上，有一个边长为L的单匝正方形线框abcd，在外力的作用下以恒定的速率v 向右运动进入磁感应强度为B的有界匀强磁场区域。线框被全部拉入磁场的过程中线框平面保持与磁场方向垂直，线框的ab边始终平行于磁场的边界。已知线框的四个边的电阻值相等，均为R。求： （1）在ab边刚进入磁场区域时，线框内的电流大小； （2）在ab边刚进入磁场区域时，ab边两端的电压； （3）在线框被拉入磁场的整个过程 中，线框中电流产生的热量。 d B a b c v

10 （1）ab边切割磁感线产生的感应电动势为 解答 所以通过线框的电流为 （2）ab两端的电压为路端电压 所以 （3）线框被拉入磁场的整个过程所用时间 线框中电流产生的热量

11 3. 如图所示，M、N是水平放置的很长的平行金属板，两板间有垂直于纸面沿水平方向的匀强磁场其磁感应强度大小为B=0. 25T，两板间距d=0
3.如图所示，M、N是水平放置的很长的平行金属板，两板间有垂直于纸面沿水平方向的匀强磁场其磁感应强度大小为B=0.25T，两板间距d=0.4m，在M、N板间右侧部分有两根无阻导线P、Q与阻值为0.3Ω的电阻相连。已知MP和QN间距离相等且等于PQ间距离的一半,一根总电阻为r=0.2Ω均匀金属棒ab在右侧部分紧贴M、N和P、Q无摩擦滑动,忽略一切接触电阻。现有重力不计的带正电荷q=1.6×10－9C的轻质小球以v0=7m/s的水平初速度射入两板间恰能做匀速直线运动，则： （1）M、N间的电势差应为多少？ （2）若ab棒匀速运动，则其运动 速度大小等于多少？方向如何？ （3）维持棒匀速运动的外力为多大？ M Q P N v0 a d c b R q

12 （1）粒子在两板间恰能做匀速直线运动，所受的电场力与洛仑兹力相等，即：
解答 （1）粒子在两板间恰能做匀速直线运动，所受的电场力与洛仑兹力相等，即： R d b a Q P N M c （2）洛仑兹力方向向上,则电场力方向向下,UMN＞0, ab棒应向右做匀速运动 解得： v=8m/s （3）因为只有cd端上有电流，受到安培力F=BILcd 得：

13 4.两根光滑的长直金属导轨MN、M'N'平行置于同一水平面内，导轨间距为l ,电阻不计,M、M'处接有如图所示的电路，电路中各电阻的阻值均为R ，电容器的电容为C。长度也为l 、阻值同为R的金属棒a b垂直于导轨放置，导轨处于磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中。a b在外力作用下向右匀速运动且与导轨保持良好接触，在ab运动距离为s的过程中，整个回路中产生的焦耳热为Q 。求 ⑴ a b运动速度v 的大小； ⑵ 电容器所带的电荷量q 。 N C R M M' N' b a

14 解答 （1）设a b上产生的感应电动势为E ，回路中的电流为I ，a b运动距离s所用时间为t ，则有: E = B l v ① ② ③ ④ ⑤ 由上述方程得 （2）设电容器两极板间的电势差为U，则有: U = I R ⑥ 电容器所带电荷量: q =C U ⑦ ⑧ 解得:

15 5. 如图所示，矩形导线框abcd固定在水平面上，ab=L、bc=2L，整个线框处于竖直方向的磁感应强度为B的匀强磁场中。导线框上ab、cd段电阻不计，bc、ad段单位长度上的电阻为λ。今在导线框上放置一个与ab边平行且与导线框接触良好的金属棒MN，其电阻为r（r <λL）。金属棒在外力作用下沿x轴正方向做速度为v的匀速运动，在金属棒从导线框最左端（x=0）运动到最右端的过程中 ⑴请导出金属棒中的感应电流I随x变化的函数关系式; ⑵通过分析说明金属棒在运动过程中，MN两点间电压有最大值，并求出最大值Um； ⑶金属棒运动过程中，在什么 位置MN的输出功率最大？并 求出最大输出功率Pm。 M N a b c d x v

16 设金属棒沿x轴移动了x的距离,此时外电路的总电阻为:
解答 等效电路如图示 E r R Nc R bM R aN R Nd ⑴金属棒产生的电动势: E=BLv 设金属棒沿x轴移动了x的距离,此时外电路的总电阻为: 电路中的总电流为: ⑵MN两点间的电压: 当外电路电阻R取最大Rmax时，U有最大值Um。

17 从外电路电阻R与x的表示式可以看出，当x=2L-x，
解之得: ⑶ 当 R=r 时，输出功率最大， 解之得 此时，

18 ⑴若开关S闭合,力F 恒为0.5N, CD运动的最大速度；
6.如图，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ固定在一水平面上,两导轨间距L =0.2m，电阻R ＝0.4Ω，电容C＝2 μF，导轨上停放一质量m =0.1kg、电阻r =0.1Ω的金属杆CD，导轨电阻可忽略不计，整个装置处于方向竖直向上B =0.5T 的匀强磁场中。现用一垂直金属杆CD的外力F沿水平方向拉杆，使之由静止开始向右运动。求： ⑴若开关S闭合,力F 恒为0.5N, CD运动的最大速度； ⑵若开关S闭合，使CD以⑴问中的最大速度匀速运动，现使其突然停止并保持静止不动，当CD停止下来后，通过导体棒CD的总电量； ⑶若开关S断开，在力F作用下，CD由静止开始作加速度a =5m/s2的匀加速直线运动，请写出电压表的读数U随时间t变化的表达式。

19 ⑴ CD以最大速度运动时是匀速直线运动,有:
解答 ⑴ CD以最大速度运动时是匀速直线运动,有: 得： 又: ⑵ CD以25m/s的速度匀速运动时，电容器上的电压为UC，则有： 电容器下极板带正电带电：Q = CUC = 4×10-3C V M P N Q Ｃ F B C D S R CD停下来后,电容通过MP、 CD放电,通过CD的电量：

20 ⑶ 电压表的示数为： 因为金属杆CD作初速为零的匀加运动， 所以： 代入数字得： 即电压表的示数U随时间t 均匀增加

21 7.如图所示，P、Q为水平面内平行放置的光滑金属长直导轨，间距为L1，处在竖直向下、磁感应强度大小为B1的匀强磁场中。一导体杆ef垂直于P、Q放在导轨上，在外力作用下向左做匀速直线运动。质量为m、每边电阻均为r、边长为L2的正方形金属框abcd置于竖直平面内，两顶点a、b通过细导线与导轨相连，磁感应强度大小为B2的匀强磁场垂直金属框向里，金属框恰好 处于静止状态。不计其余电 阻和细导线对a、b点的作用力。 (1)通过ab边的电流Iab是多大? (2)导体杆ef的运动速度v是多大? Q e a b d c f v P B1

22 解答 （1）设通过正方形金属框的总电流为I，ab边的电流为Iab，dc边的电流为Idc，有： ① ② a b d c E 金属框受重力和安培力,处于静止状态,有 ③ 由①②③解得： ④

23 （2）由（1）可得：　　　 ⑤ 设导体杆切割磁感线产生的电动势为E，有： E＝B1L1v　　　　　　　　　　⑥ 设ad、dc、cb三边电阻串联后与ab边电阻并联的总电阻为R，则： ⑦ 根据闭合电路欧姆定律，有： I＝E/R　　　　　　　　　　　　　⑧ 由⑤～⑧解得： ⑨

24 8. 平行光滑导轨置于匀强磁场中，磁感应强度为B＝0
8.平行光滑导轨置于匀强磁场中，磁感应强度为B＝0.4T，方向垂直于导轨平面。金属棒ab以速度v向左匀速运动。导轨宽度L＝1m，电阻R1＝R3＝8Ω，R2＝4Ω，导轨电阻不计（金属棒ab电阻不能忽略),平行板电容器两板水平放置,板间距离 d＝10mm , 内有一质量为m＝1×10－14kg ，电量q＝1×10－15C的粒子，在电键S断开时粒子处于静止状态, S闭合后粒子以a＝6m/s2的加速度匀加速下落, g取10m/s2。求： （1）金属棒运动的速度为多少？ （2）S闭合后，作用于棒的外界 拉力的功率为多少？ R1 R2 S m a R3 b v

25 解答 （1）当S断开时：由于粒子处于静止： mg=qE ① ② 由 ①②解得： ③ 流过ab棒的电流： ④ 由闭合电路欧姆定律得： ⑤

26 S闭合时：粒子作匀加速运动，由牛顿第二定律有：
mg-qE1 =ma ⑥ ⑦ 又： 由⑥⑦解得： ⑧ 又 ⑨ 由⑤⑨解得：

27 ∵ ε =BLV　　　　　　　　　⑩ 得金属棒的速度： （2）∵金属棒匀速运动，外力与安培力平衡 安培力： F安＝BI1L ∴外力的功率： P=FV=BI1LV=0.2W

28 9.如下图甲所示，边长l为和L的矩形线框、互相垂直，彼此绝缘，可绕中心轴O1O2转动，将两线框的始端并在一起接到滑环C上，末端并在一起接到滑环D上，C、D彼此绝缘，外电路通过电刷跟C、D连接，线框处于磁铁和圆柱形铁芯之间的磁场中，磁场边缘中心的张角为450，如下图乙所示(图中的圆表示圆柱形铁芯，它使磁铁和铁芯之间的磁场沿半径方向，如图箭头方向所示)．不论线框转到磁场中的什么位置，磁场的方向总是沿着线框平面．磁场中长为的线框边所在处的磁感应强度大小恒为B，设线框aa'和bb'的电阻都是r，两个线框以角速度ω逆时针匀速转动，电阻R=2r。

29 (1) 求线框aa' 转到如乙图所示位置时，感应电动势的大小； (2) 求转动过程中电阻R上电压的最大值；
(3) 从线框aa'进入磁场开始计时，作出0～T(T是线框转动周期)的时间内通过R的电流随时间变化的图象； (4) 求在外力驱动下两线框转动一周所做的功． a b C L R O2 O1 b′ a′ D l 甲 a′ b′ b a ω N S 乙 45°

30 解答 (1) 不管转到何位置,磁场方向、速度方向都垂直, 所以有： (2) 在线圈转动过程中，只有一个线框产生电动势， 相当电源，另一线框与电阻R并联组成外电路，故：

31 通过R的电流随时间变化的图象图象如图所示。
i 4 6 2 8 (3) 流过R的电流： 通过R的电流随时间变化的图象图象如图所示。 (4) 每个线圈作为电源时产生的功率为： 根据能量守恒定律得两个线圈转动一周外力所做的功为

32 2.电磁感应现象中的力学问题:

33 (1)通过导体的感应电流在磁场中将受到安培力作用,
电磁感应问题往往和力学问题联系在一起,基本解题 方法是: ①用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的 大小和方向. ②求回路中电流强度. ③分析研究导体受力情况(包括安培力.用左手定则确 定其方向. ④列动力学方程或平衡方程求解.

34 (2)电磁感应力学问题中,要抓好受力分析.运动情况的动
态分析.导体受力运动产生感应电动势→感应电流→通电 导体受安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化→ 周而复始地循环,循环结束时,加速度等于零,导体达稳定 运动状态,抓住a=0时,速度v达最大值特点.

35 解题要点： 电磁感应中产生的感应电流在磁场中将受到安培力的作用，从而影响导体棒（或线圈）的受力情况和运动情况。解决这类力电综合问题，要将电学、力学中的有关知识综合起来应用。常用的规律有：楞次定律、法拉第电磁感应定律、左右手定则、安培力公式及牛顿运动定律、动量定理、动量守恒定律。一般可按以下步骤进行。

36 1. 确定对象：明确产生感应电动势的是哪一根（两根）导体棒或是哪一个线圈。
2. 分析情况：分析研究对象的受力情况：一共受几个力，哪些是恒力，哪些是变力，画出受力图。分析研究对象的运动情况：初始状态怎样，作什么运动，终了状态如何。此类问题中力的变化与运动的变化往往交错在一起。可以从感应电动势开始分析：感应电动势→感应电流→安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化→感应电动势变化→……周而复始地循环，循环结束时，达到稳定状态（静止、匀速、匀变速）。 3. 运用规律：根据电学规律、力学规律列方程求解。

37 1. 两根相距为L的足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面。质量均为m的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数为 μ，导轨电阻不计，回路总电阻为2R。整个装置处于磁感应强度大小为B，方向竖直向上的匀强磁场中。当ab杆在平行于水平导轨的拉力F作用下以速度v1沿导轨匀速运动时，cd杆正好以速率向下v2匀速运动。重力加速度为g。以下说法正确的是（ ） A、ab杆所受拉力F的大小为 μmg＋ B、cd杆所受摩擦力为零 C、回路中的电流为 D、μ与v1大小的关系为

38 AD ab杆、cd杆的受力分析如图。 ab杆匀速运动，合力为零： cd杆水平方向弹力与安培力平衡： 竖直方向匀速运动，合力也为零： 于是得：
BLv1，电流为： 解答 mg FN1 F安 F f1 ab杆、cd杆的受力分析如图。 ab杆匀速运动，合力为零： AD 。 cd杆水平方向弹力与安培力平衡： mg FN2 F安 f2 竖直方向匀速运动，合力也为零： 于是得：

39 2.如图所示，两平行金属导轨固定在水平面上，匀强磁场方向垂直导轨平面向下，金属棒ab、cd与导轨构成闭合回路且都可沿导轨无摩擦滑动。ab、cd 两棒的质量之比为2∶1。用一沿导轨方向的恒力F水平向右拉cd 棒，经过足够长时间以后（ ） A、ab 棒、cd 棒都做匀速运动. B、ab 棒上的电流方向是由a 向b. C、cd 棒所受安培 力的大小等于 D、两棒间距离保 持不变. a F B d c b

40 由b向a 。cd 棒做加速度减小的加速运动，ab 棒 做加速度增大的加速运动，两棒加速度相等时，系 统达稳定状态。
解答 对整体有：F= (2m+m) a C 对ab棒有：F安＝2ma 得ab棒所受安培力为： cd棒所受安培力与ab棒所受安培力大小相等。 由于开始时cd棒的加速度大于ab棒的加速度， cd棒的速度必始终大于ab棒的速度，因此两棒间 距离不断增大。

41 ⑴ 若将ab由静止释放，它将如何运动？最终速度为 多大？ ⑵ 若开始就给ab竖直 向下的拉力F，使其由静 止开始向下作加速度为 a
3. 如图所示，两根竖直的平行光滑导轨MN、PQ，相距为L。在M与P之间接有定值电阻R。金属棒ab的质量为m，水平搭在导轨上，且与导轨接触良好。整个装置放在水平匀强磁场中，磁感应强度为B。金属棒和导轨电阻不计，导轨足够长。 ⑴ 若将ab由静止释放，它将如何运动？最终速度为 多大？ ⑵ 若开始就给ab竖直 向下的拉力F，使其由静 止开始向下作加速度为 a （a > g）的匀加速运动， 请求出拉力F与时间t的关 系式； ⑶ 请定性在坐标图上画出第（2）问中的F-t 图线。 M b a R Q P N B O t F

42 ⑵ 经过时间t，ab的速度为：v = a t 由牛顿第二定律：F+mg-F安= ma ⑶ F与t的关系为一次函 数,图像如图示。 解答
后作匀速运动。 解答 匀速时速度达到最大，最大速度满足： 得： ⑵ 经过时间t，ab的速度为：v = a t t 时刻的安培力： 由牛顿第二定律：F+mg-F安= ma 解之得： F t O ⑶ F与t的关系为一次函 数,图像如图示。

43 （1）磁感应强度为B=B0 保持恒定，导体棒以速度v向右做匀速直线运动；
4. 如图所示，水平导轨间距为L，左端接有阻值为R的定值电阻。在距左端x0处放置一根质量为m、电阻为r的导体棒，导体棒与导轨间无摩擦且始终保持良好接触，导轨的电阻可忽略，整个装置处在竖直向上的匀强磁场中，问：在下列各种情况下，作用在导体棒上的水平拉力F的大小应如何？ （1）磁感应强度为B=B0 保持恒定，导体棒以速度v向右做匀速直线运动； （2）磁感应强度为B=B0+kt 随时间 t均匀增强，导体棒保持静止； （3）磁感应强度为B=B0保持恒定， 导体棒由静止始以加速度 a 向右做 匀加速直线运动； （4）磁感应强度为B=B0+kt 随时 间 t 均匀增强，导体棒以速度v向右 做匀速直线运动。 x0 L F B

44 （1）电动势为：E=BLv 解答 电流为： I= 匀速运动时，外力与安培力平衡：F=B0IL= (2) 由法拉第电磁感应定律得：
静止时水平外力与安培力平衡： （3）任意时刻 t 导体棒的速度为：v=a t 由牛顿第二定律得： F-BIL=ma·

45 于是水平力为： （4） 由法拉第电磁感应定律得： 导体棒作匀速运动时水平外力与安培力平衡：

46 感应电流：I=ΔQ/Δt=CBLΔv/ Δt=CBl a
5.如图所示, 竖直放置的光滑平行金属导轨, 相距l , 导轨一端接有一个电容器 , 电容量为C, 匀强磁场垂直纸面向里, 磁感应强度为B, 质量为m的金属棒ab可紧贴导轨自由滑动. 现让ab由静止下滑, 不考虑空气阻力, 也不考虑任何部分的电阻和自感作用. 问金属棒做什么运动？棒落地时的速度为多大？ 解答 ab在重力与安培力的合力 作用下加速运动，设任意时刻 t ,速度为v，感应电动势为： E=Bl v 感应电流：I=ΔQ/Δt=CBLΔv/ Δt=CBl a B C h a b mg F 安培力： F=BIl =CB2 l 2a 由牛顿运动定律： mg-F=ma ∴ab做初速为零的匀加直线运动, 加速度为： a= mg / (m+C B2 l 2) 落地速度为：

47 匀加速直线运动，经过较短时间后，导体棒也做匀加速直线运 动，其v-t关系如图（b）所示，已知在时刻t导体棒瞬时速度大小
6.（07上海）如图（a）所示，光滑的平行长直金属导轨置于水平面内，间距为L、导轨左端接有阻值为R的电阻，质量为m的导体棒垂直跨接在导轨上。导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好。在导轨平面上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。开始时，导体棒静止于磁场区域的右端，当磁场以速度v1匀速向右移动时，导体棒随之开始运动，同时受到水平向左、大小为 f 的恒定阻力，并很快达到恒定速度，此时导体棒仍处于磁场区域内。 （1）求导体棒所达到的恒定速度v2； （2）为使导体棒能随磁场运动，阻力最大 不能超过多少？ （3）导体棒以恒定速度运动时，单位时间 内克服阻力所做的功和电路中消耗的电功率 各为多大？ （4）若t＝0时磁场由静止开始水平向右做 匀加速直线运动，经过较短时间后，导体棒也做匀加速直线运 动，其v-t关系如图（b）所示，已知在时刻t导体棒瞬时速度大小 为vt，求导体棒做匀加速直线运动时的加速度大小。 （b）

48 解答 （1）导体棒的感应电动势为：E＝BL（v1－v2）， 导体棒所受安培力为： 速度恒定时安培力与阻力平衡： 可得导体棒所达到的恒定速度：
所以阻力最大不能超过：

49 （3）导体棒以恒定速度运动时，单位时间内克服阻力所做
的功为： 电路中消耗的电功率： （4）导体棒要做匀加速运动，必有v1－v2为常数，由牛顿 第二定律 可得： 磁场由静止开始做匀加速直线运动 ，有 v1=at 又，v2=vt 可解得导体棒的加速度：

50 7. 如图，在水平面上有两条平行导电导轨MN、PQ,导轨间距离为l，匀强磁场垂直于导轨所在的平面（纸面）向里，磁感应强度的大小为B，两根金属杆1、2摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为m1、m2和R1 、 R2,两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为μ，已知：杆1被外力拖动，以恒定的速度v0沿导轨运动；达到稳定状态时，杆2也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻可忽略，求此时杆2克服摩擦力做功的功率。 1 M N P Q 2 v0

51 BIL= μm2g (3) 解答 设杆2的运动速度为v，两杆运动时回路中产生的感应电动势 ：E=Bl(v0-v) (1) 感应电流： (2)
感应电流： (2) 杆2作匀速运动,其安培力与摩擦力平衡： 1 M N P Q 2 v0 f Fm BIL= μm2g (3) 导体杆2克服摩擦力做功的功率 P = μm2gv (4) 解得：

52 8. 如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为r0=0
8.如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为r0=0.10Ω/m，导轨的端点P、Q用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离 l = 0.20m.有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感强度B与时间t 的关系为B=kt,比例系数k=0.020T/s.一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直，在t=0时刻，金属杆紧靠在P、Q端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动，求在t=6.0s时金属杆所受的安培力. Q P

53 解答 以 a 表示金属杆运动的加速度， 在t 时刻，金属杆与初始位置的距离： v= a t 此时杆的速度： 这时，杆与导轨构成的回路的面积：
S=Ll ， 回路中的感应电动势： E=SΔB/ Δt + Bl v =Sk+Bl v 回路的总电阻： R=2Lr0 回路中的感应电流： i = E/R Q P l L v 作用于杆的安培力： F =B l i 解得： F= 3k2 l 2 t ／ 2r0 ， 代入数据解得： F =1.44×10 -3 N

54 ﹡9．两根水平平行固定的光滑金属导轨宽为L，足够长，在其上放置两根长也为L且与导轨垂直的金属棒ab和cd，它们的质量分别为2m、m，电阻阻值均为R，金属导轨及导线的电阻均可忽略不计，整个装置处在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中． （1）现把金属棒ab锁定在导轨的左端，如图甲，对cd施加与导轨平行的水平向右的恒力F，使金属棒cd向右沿导轨运动，当金属棒cd的运动状态稳定时，金属棒cd的运动速度是多大？ （2）若将金属 棒ab解除锁定，如 图乙，使金属棒cd 获得瞬时水平向右 的初速度v0，求： 在它们的运动状态达到稳定的过程中，流过金属棒ab的电量是多少？整个过程中ab和cd相对运动的位移是多大？

55 解答 （1）易知，稳定时水平外力与安培力平衡： 得金属棒cd的运动速度： （2）cd棒作减速运动，ab棒作加速运动，最终达 共同速度。由系统动量守恒： mv0=(m+2m)V 对ab棒，由动量定理： 因此，流过金属棒ab的电量为：

56 由法拉第电磁感应定律得： 得平均电流为： 于是有： ∴ 整个过程中ab和cd相对运动的位移是：

57 3.电磁感应中的图象问题

58 一、线圈在均匀磁场中运动时的i-t图象 二、线圈在均匀磁场中运动时的i-x图象 三、线圈在非均匀磁场中运动时的i-t图象 四、图象的应用

59 思考:你能作出ad间电压与时间的关系图象吗?
例1.如图所示，一宽40cm的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里．一边长为20cm的正方形导线框位于纸面内，以垂直于磁场边界的恒定速度v＝20cm/s通过磁场区域，在运动过程中，线框有一边始终与磁场区域的边界平行．取它刚进入磁场的时刻t＝0. 在下列图线中，正确反映感应电流随时间变化规律的是 [ c ] d c b a 思考:你能作出ad间电压与时间的关系图象吗?

60 例2、如图所示，边长为L正方形导线圈，其电阻为R，现使线圈以恒定速度v沿x轴正方向运动，并穿过匀强磁场区域B，如果以x轴的正方向作为力的正方向，线圈从图示位置开始运动，则
（3）磁场对线圈的作用力F随x变化的图线为哪个图？ x/L × L 3L X B [ 1 ] A x/L x/L x/L [ 3 ] [ 2 ] B C D

61 例3、磁棒自远处匀速沿圆形线圈的轴线运动，并穿过线圈向远处而去，如图所示，则下列图中正确反映线圈中电流与时间关系的是（线圈中电流以图示箭头为正方向）
[ B ] t i A B C D N S

62 例4、一金属圆环位于纸面内，磁场垂直纸面，规定向里为正，如图所示。现今磁场B随时间变化是先按oa图线变化，又按图线bc和cd变化，令E1、E2、E3分别表示这三段变化过程中感应电动势的大小，I1、I2、I3分别表示对应的感应电流，则E1、E2、E3的大小关系是___________;电流I1的方向是___________;I2的方向是___________;I3的方向是____________. E2=E3>E1 逆时针方向 顺时针方向 顺时针方向 顺时针 B t a b c d

63 例5、如图所示竖直放置的螺线管和导线abcd构成回路，螺线管下方水平桌面上有一导体环。当导线abcd所围区域内的磁场按下列哪一图示方式变化时，导体环将受到向上的磁场力作用？
t B A C D a d c b × B

64 4.电磁感应中能量转化问题:

65 电磁感应过程总是伴随着能量变化.解决此类问题的基
本方法是: (1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律确定感应电动势 的大小和方向. (2)画出等效电路,求出回路中电阻消耗电功率的表达式 .(3)分析导体机械能的变化,用能量守恒关系得到机械 功率的改变与回路中电功率的改变所满足的方程.

66 一、导体切割磁感线或磁通量发生变化在回路中产
生感应电流，机械能或其他形式能量便转化为电能 ，具有感应电流的导体在磁场中受安培力作用或通 过电阻发热，又可使电能转化为机械能或电阻的内 能。因此，电磁感应过程总是伴随着能量转化。 二、电磁感应现象中出现的电能是克服安培力作功 将其他形式的能转化而来的，若安培力作正功则将 电能转化为其他形式的能。 三、中学阶段用能量转化的观点研究电磁感应问题 常常是导体的稳定运动（匀速直线运动或匀变速运 动）。对应的受力特点是合外力为零，能量转化过 程常常是机械能转化为电阻的内能，解决这类问题 问题的基本方法是：

67 1、用法拉第电磁感应定律和愣次定律确定感应电
动势的大小和方向。 2、画出等效电路，求出回路中电阻消耗的电功率 表达式。 3、分析导体机械能的变化，用能量守恒关系得到 机械功率的改变与回路中电功率的改变所满足的方 程。

68 例题1、如图甲所示，足够长的金属导轨竖直放在水平
方向的匀强磁场中，导体棒MN可以在导轨上无摩 擦的滑动。已知匀强磁场的磁感应强度B＝0.4T， 导轨间距为L＝0.1m，导体棒MN的质量为m=6g 且电阻r=0.1Ω,电阻R＝0.3Ω,其它电阻不计， （g取10m/s2)求： （1）导体棒MN下滑的最大速度多大？ （2)导体棒MN下滑达到最大速度后，棒克服安培力 做功的功率，电阻R消耗的功率和电阻r消耗的功率 为多大？ 甲

69 分析与解答： 甲 等效电路如图乙所示，棒由静止开始 下滑，最后达到匀速运动。当匀速运 动时，由平衡条件得： 乙 （2）匀速时，克服安培力做功的功率为： 电阻R消耗的功率：

70 电阻r消耗的功率： 例题2、如图所示，质量为m，边长为L的正方形线框，在有界匀强磁场上方h高处由静止自由下落，线框的总电阻为R，磁感应强度为B的匀强磁场宽度为2L。线框下落过程中，ab边始终与磁场边界平行且处于水平方向，已知ab边刚穿出磁 场时线框恰好作匀速运动，求： （1）cd边刚进入磁场时线框的 速度。 （2）线框穿过磁场的过程中， 产生的焦耳热。 恰好作匀速运动

71 过程一：线框先作自由落体运动， 直至ab边进入磁场。 过程二：作变速运动，从cd边进入 磁场到ab边离开磁场，由于穿过 线框的磁通量不变，故线框中无感 应电流，线框作加速度为g的匀加速 运动。 过程三：当ab边刚穿出磁场时，线框作匀速直线运 动。 整个过程中，线框的重力势能减小，转化成线框的 动能和线框电阻上的内能。

72 (1)设cd边刚进入磁场时线框的速度为V0，ab边刚
件，得：

73 总结与提高： （2）线框由静止开始运动，到cd边刚离开磁场的 过程中，根据能量守恒定律，得： 解之，得线框穿过磁场的过程中，产生的焦耳热
为： 总结与提高： 电磁感应现象的实质是不同形式的能量转化的过 程，理清能量转化过程，用“能量”观点研究问题， 往往比较简单，同时，导体棒加速时，电流是变 化的，不能直接用Q＝I2Rt求解（时间也无法确 定），因而能用能量守恒的知识解决。

74 练习1、在闭合线圈上方有一条形磁铁自由下落，直至穿过线圈过程中，下列说法正确的是：
A、磁铁下落过程机械能守恒； B、磁铁的机械能增加； C、磁铁的机械能减小； D、线圈增加的热能是由磁铁减小的机械能转化而 来的。

75 4、如图所示，水平光滑的“ ”形导轨置于匀强
磁场中，磁感应强度为B＝0.5T，方向竖直向下， 回路的电阻R＝2Ω，ab的长度L＝0.5m，导体ab以 垂直于导轨向右运动的速度V＝4m/s匀速运动，在 0.2S的时间内，回路中发出的热能为————J，外力 F做的功为———J。

76 综合应用

77 F vm=I2 R= B2 L2 vm2/ R vm=FR / B2 L2
例1. 水平放置于匀强磁场中的光滑导轨上，有一根导体棒ab，用恒力F作用在ab上，由静止开始运动，回路总电阻为R，分析ab 的运动情况，并求ab的最大速度。 分析：ab 在F作用下向右加速运动，切割磁感应线，产生感应电流，感应电流又受到磁场的作用力f，画出受力图： a=(F-f)/m v E=BLv I= E/R f=BIL 最后，当f=F 时，a=0，速度达到最大， a b B R F=f=BIL=B2 L2 vm /R vm=FR / B2 L2 f1 F F F vm称为收尾速度. f2 f 又解：匀速运动时，拉力 所做的功使机械能转化为 电阻R上的内能。 F vm=I2 R= B2 L2 vm2/ R vm=FR / B2 L2

78 例2. 在磁感应强度为B的水平均强磁场中，竖直放置一个冂形金属框ABCD，框面垂直于磁场，宽度BC＝L ，质量m的金属杆PQ用光滑金属套连接在框架AB和CD上如图.金属杆PQ电阻为R，当杆自静止开始沿框架下滑时： (1)开始下滑的加速度为 多少? (2)框内感应电流的方向怎样？ (3)金属杆下滑的最大速度是多少? (4)从开始下滑到达到最大速度过程中重力势能转化为什么能量 Q B P C D A 解: 开始PQ受力为mg, 所以 a=g F PQ向下加速运动,产生感应电流,方向顺时针, 受到向上的磁场力F作用。 达最大速度时, F=BIL=B2 L2 vm /R =mg I mg ∴vm=mgR / B2 L2 由能量守恒定律,重力做功减小的重力势能转化为使PQ加速增大的动能和热能

79 (3) F=BIL=B2 L2 vm /R =mg vm=mgR / B2 L2 =10m/s,
例3. 竖直放置冂形金属框架，宽1m，足够长，一根质量是0.1kg，电阻0.1Ω的金属杆可沿框架无摩擦地滑动.框架下部有一垂直框架平面的匀强磁场，磁感应强度是0.1T，金属杆MN自磁场边界上方0.8m处由静止释放(如图).求： (1)金属杆刚进入磁场时的感应电动势； (2)金属杆刚进入磁场时的加速度； (3)金属杆运动的最大速度及此时 的能量转化情况. N M 答：(1) E=BLv=0.4V; (2) I=E/R=4A F=BIL=0.4N a=(mg-F)/m=6m/s2; (3) F=BIL=B2 L2 vm /R =mg vm=mgR / B2 L2 =10m/s, 此时金属杆重力势能的减少转化为杆的电阻释放的热量

80 例4. 如图所示，竖直平行导轨间距l=20cm，导轨顶端接有一电键K。导体棒ab与导轨接触良好且无摩擦，ab的电阻R=0
例4.如图所示，竖直平行导轨间距l=20cm，导轨顶端接有一电键K。导体棒ab与导轨接触良好且无摩擦，ab的电阻R=0.4Ω，质量m=10g，导轨的电阻不计，整个装置处在与轨道平面垂直的匀强磁场中，磁感强度B=1T。当ab棒由静止释放0.8s 后，突然接通电键，不计空气阻力，设导轨足够长。求ab棒的最大速度和最终速度的大小。（g取10m/s2） K a b

81 则闭合K瞬间，导体棒中产生的感应电流大小 I＝Blv/R=4A ab棒受重力mg=0.1N, 安培力F=BIL=0.8N.
解: ab 棒由静止开始自由下落0.8s时速度大小为 v=gt=8m/s 则闭合K瞬间，导体棒中产生的感应电流大小 I＝Blv/R=4A ab棒受重力mg=0.1N, 安培力F=BIL=0.8N. 因为F＞mg，ab棒加速度向上，开始做减速运动， 产生的感应电流和受到的安培力逐渐减小， 当安培力 F′=mg时，开始做匀速直线运动。 K a b t=0.8s l=20cm R=0.4Ωm=10g B=1T 此时满足B2l2 vm /R =mg mg F 解得最终速度， vm = mgR/B2l2 = 1m/s。 闭合电键时速度最大为8m/s。

82 开始两杆做变加速运动，稳定时，两杆以相同的加速度做匀变速运动
V1≠0 V2=0 ， 不受其它水平外力作用。 V=0，2杆受到恒定水平外力作用 光滑平行导轨 示意图 分析 规律 B 2 1 v B 2 1 F m1=m2 r1=r2 l1=l2 m1=m2 r1=r2 l1=l2 滑轨问题 ※ 杆1做变减速运动，杆2做变加速运动，稳定时，两杆的加速度为0，以相同速度做匀速运动 开始两杆做变加速运动，稳定时，两杆以相同的加速度做匀变速运动 v t 2 1 2 1 v t 庞留根

83 例5. 光滑平行导轨上有两根质量均为m，电阻均为R的导体棒1、2，给导体棒1以初速度 v 运动， 分析它们的运动情况，并求它们的最终速度。….
对棒1，切割磁感应线产生感应电流I，I又受到磁场的作用力F v E1=BLv I=(E1-E2) /2R F=BIL a1=F/m 对棒2，在F作用下，做加速运动，产生感应电动势，总电动势减小 a2 =F/m v E2=BLv I=(E1-E2) /2R F=BIL 当E1=E2时，I=0，F=0,两棒以共同速度匀速运动，vt =1/2 v 2 1 vt B E1 E2 F I 2 1 v B F E1 I E2

84 例7 如图示,螺线管匝数n=4，截面积S=0.1m2，管内匀强磁场以B1/t=10T/s 逐渐增强， 螺线管两端分别与两根竖直平面内的平行光滑直导轨相接，垂直导轨的水平匀强磁场B2=2T， 现在导轨上垂直放置一根质量m=0.02kg，长l=0.1m的铜棒，回路总电阻为R=5Ω，试求铜棒从静止下落的最大速度. (g=10m/s2) B1 B2 b a 解: 螺线管产生感生电动势 E1=nS B1/t=4V 方向如图示 I1 =0.8A F1=B2 I1 L=0.16N mg=0.2N mg > F1 ab做加速运动,又产生感应电动势E2,（动生电动势） 当达到稳定状态时,F2 =mg=0.2N F2 =BI2 L I2 =1A mg F1 I2 =(E1 +E2 )/R=(4+E2)/5 =1A mg F2 E2 =1V=BLvm vm=5m/s

85 (1)当杆的速度达到2m/s时，ab两端的电压； (2)回路中的最大电流和功率.
例8. 倾角为30°的斜面上，有一导体框架，宽为1m，不计电阻，垂直斜面的匀强磁场磁感应强度为0.2T，置于框架上的金属杆ab，质量0.2kg，电阻0.1Ω，如图所示.不计摩擦，当金属杆ab由静止下滑时，求： (1)当杆的速度达到2m/s时，ab两端的电压； (2)回路中的最大电流和功率. 30° b a B L 解： (1) E=BLv=0.4V I=E/R=4A 因为外电阻等于0，所以U=0 (2) 达到最大速度时， BIm L=mgsin30 ° N F mg Im=mgsin30 °/ BL = 1/0.2 = 5A Pm=Im 2R=25×0.1=2.5W

86 练习1、如图所示，矩形线框的质量m＝0. 016kg，长L＝0. 5m，宽d＝0. 1m，电阻R＝0. 1Ω
练习1、如图所示，矩形线框的质量m＝0.016kg，长L＝0.5m，宽d＝0.1m，电阻R＝0.1Ω.从离磁场区域高h1＝5m处自由下落，刚 入匀强磁场时,由于磁场力作用，线框正好作匀速运动. (1)求磁场的磁感应强度； (2) 如果线框下边通过磁场 所经历的时间为△t＝0.15s， 求磁场区域的高度h2. h1 h2 d L

87 解：1---2，自由落体运动 在位置2，正好做匀速运动， ∴F=BIL=B2 d2 v/R= mg h1 2---3 匀速运动：
m＝0.016kg d＝0.1m R＝0.1Ω h1＝5m L＝0.5m 匀速运动： t1=L/v=0.05s t2=0.1s mg F 2 初速度为v、加速度 为g 的匀加速运动， 3 s=vt2+1/2 gt22=1.05m ∴h2=L+s =1.55m 4 庞留根

88 mg=BIL=BEL/2R (1) mg=BI1 L=BE1 L/R (2) ∴E1=1/2 E=1.5V F2 F 2.
练习2 、如图示:两根平行光滑金属导轨竖直放置在匀强磁场中,磁场方向跟导轨所在平面垂直,金属棒ab 两端套在导轨上且可以自由滑动,电源电动势E=3v,电源内阻和金属棒电阻相等,其余电阻不计,当S1接通,S2断开时, 金属棒恰好静止不动, 现在断开S1, 接通S2,求:1. 金属棒在运动过程中产生的最大感应电动势是多少? 2. 当金属棒的加速度为1/2g时,它产生的感应电动势多大? b a S1 S2 解: 设磁场方向向外，不可能静止。 磁场方向向里,当S1接通,S2断开时静止 mg=BIL=BEL/2R (1) 断开S1,接通S2,稳定时, mg=BI1 L=BE1 L/R (2) b a E ∴E1=1/2 E=1.5V b a mg F2 mg F 2. mg - BE2 L/R=ma=1/2 mg BE2 L/R=1/2 mg (3) (3) / (2) E2=1/2 E1 =0.75V

89 （2）若m=0.5kg,L=0.5m,R=0.5Ω;磁感应强度B为多大？ （3）由v-F图线的截距可求得什么物理量?其值为多少?
例题1：水平面上两根足够长的金属导轨平行固定放置，问距为L，一端通过导线与阻值为R的电阻连接；导轨上放一质量为m的金属杆（见右上图），金属杆与导轨的电阻忽略不计；均匀磁场竖直向下.用与导轨平行的恒定拉力F作用在金属杆上，杆最终将做匀速运动.当改变拉力的大小时，相对应的匀速运动速度v也会变化，v与F的关系如右下图.（取重力加速度g=10m/s2） （1）金属杆在匀速运动之前做什么运动？ （2）若m=0.5kg,L=0.5m,R=0.5Ω;磁感应强度B为多大？ （3）由v-F图线的截距可求得什么物理量?其值为多少? F(N) v(m/s) 20 16 12 8 4 F

90 解：（1）变速运动（或变加速运动、加速度减小的加速运动，加速运动）。
（2）感应电动势 F 感应电流 I=E/R （2） 安培力 由图线可知金属杆受拉力、安培力和阻力作用，匀速时合力为零。 F(N) v(m/s) 20 16 12 8 4 由图线可以得到直线的斜率 k=2， (3)由直线的截距可以求得金属杆受到的阻力f， f=2 (N) 若金属杆受到的阻力仅为滑动摩擦力，由截距可求得动 摩擦因数 μ=0.4

91 （1）由b向a方向看到的装置如图2所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图；
例题2：如图1所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L, M、P两点间接有阻值为R的电阻。一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直。整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下，导轨和金属杆的电阻可忽略。让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦。 （1）由b向a方向看到的装置如图2所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图； （2）在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小； （3）求在下滑过程中， ab杆可以达到的速度最 大值。 θ R a b B L N M Q P 图1 图2

92 （2）当ab杆速度为v时，感应电动势E=BLv, 此时电路电流 F
（1）重力mg，竖直向下 支持力N，垂直斜面向上 安培力F，沿斜面向上 （2）当ab杆速度为v时，感应电动势E=BLv, 此时电路电流 mg N F b θ B ab杆受到安培力 根据牛顿运动定律，有 （3）当 时，ab杆达到最大速度vm

93 例题3．如图所示，在一均匀磁场中有一U形导线框abcd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R为一电阻，ef为垂直于ab的一根导体杆，它可在ab、cd上无摩擦地滑动。杆ef及线框中导线的电阻都可不计。开始时，给ef一个向右的初速度，则 ( ) A．ef 将减速向右运动，但不是匀减速 B． ef 将匀减速向右运动，最后停止 C．ef 将匀速向右运动 D．ef 将往返运动 A R e d c a b f

94 (1)求金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小; (2)当金属棒下滑速度达到稳定时，电阻R消耗的功率为8W，求该速度的大小；
例题4:如图所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距lm，导轨平面与水平面成θ=37°角，下端连接阻值为R的电阻．匀强磁场方向与导轨平面垂直．质量为0.2kg、电阻不计的金属棒放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数为0.25． (1)求金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小; (2)当金属棒下滑速度达到稳定时，电阻R消耗的功率为8W，求该速度的大小； (3)在上问中，若R＝2Ω,金属棒中的电流方向由a到b,求磁感应强度的大小与方向． (g=10m/s2，sin37°＝0.6， cos37°＝0.8) a b R θ

95 解: (1)金属棒开始下滑的初速为零,根据牛顿第二定律 mgsinθ－μmgcosθ＝ma ① 由①式解得a＝10×(0.6－0.25×0.8)m/s2=4m/s2 ② (2)设金属棒运动达到稳定时，速度为v，所受安培力为F，棒在沿导轨方向受力平衡 mgsinθ一μmgcos0一F＝0 ③ 此时金属棒克服安培力做功的功率等于电路中电阻R消耗的电功率 Fv＝P ④ 由③、④两式解得 (3)设电路中电流为I，两导轨间金属棒的长为l，磁场的磁感应强度为B I=Blv/R ⑥ P＝I2R ⑦ 由⑥、⑦两式解得 磁场方向垂直导轨平面向上

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