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MATLAB及其应用 第三讲 数据处理 授课人：鲍文 在此幻灯片插入公司的徽标 从“插入”菜单 选择图片 找到徽标文件 单击“确定”
2019/2/17 在此幻灯片插入公司的徽标 从“插入”菜单 选择图片 找到徽标文件 单击“确定” 重新设置徽标大小 单击徽标内任意位置。徽标外部出现的方框是“调整控点” 使用这些重新设置对象大小 如果在使用尺寸调整控点前按下 shift 键，则对象改变大小但维持原比例。 MATLAB及其应用 第三讲 数据处理 授课人：鲍文 2019/2/17 哈尔滨工业大学动力工程控制与仿真研究所 > 退出
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目录 1 矩阵分析 2 数据分析函数 3 多项式处理 4 曲线拟和与插值 5 数据分析 6 微分方程数值解 < > 主菜单 退出
2019/2/17 哈尔滨工业大学动力工程控制与仿真研究所 < > 主菜单 退出
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1 矩阵分析 一、特征值分解 对于方阵a特征值问题：ax=rx，求取a阵的特征值和特征向量使用下面的方法： [v,d]=eig(a)
使用 [v,d]=eig(a,’nobalance’) “平衡” 的作用减少计算误差，不平衡用于A阵大小悬殊的时候。 广义特征值问题：ax=rbx，求解的方式为： [v,d]=eig(a,b) 2019/2/17
![1 矩阵分析 一、特征值分解 对于方阵a特征值问题：ax=rx，求取a阵的特征值和特征向量使用下面的方法： [v,d]=eig(a)](http://slidesplayer.com/slide/15775990/88/images/3/1+%E7%9F%A9%E9%98%B5%E5%88%86%E6%9E%90+%E4%B8%80%E3%80%81%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%80%BC%E5%88%86%E8%A7%A3+%E5%AF%B9%E4%BA%8E%E6%96%B9%E9%98%B5a%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%80%BC%E9%97%AE%E9%A2%98%EF%BC%9Aax%3Drx%EF%BC%8C%E6%B1%82%E5%8F%96a%E9%98%B5%E7%9A%84%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%80%BC%E5%92%8C%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%90%91%E9%87%8F%E4%BD%BF%E7%94%A8%E4%B8%8B%E9%9D%A2%E7%9A%84%E6%96%B9%E6%B3%95%EF%BC%9A+%5Bv%2Cd%5D%3Deig%28a%29.jpg "使用 [v,d]=eig(a,’nobalance’) 平衡 的作用减少计算误差，不平衡用于A阵大小悬殊的时候。 广义特征值问题：ax=rbx，求解的方式为： [v,d]=eig(a,b) 2019/2/17.")
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二、三角分解 三角分解把矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵，又称为LU分解或者。计算中使用高斯变量消去法。这一分解使用
[l,u]=lu(a)实现。 2019/2/17
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三、奇异值分解 [u,s,v]=svd(a) 实现奇异值分解。 分解得到的三个因数有如下关系 a=u*s*v
其中u矩阵和v矩阵是正交矩阵，s矩阵是对角矩阵，它的对角元素是a矩阵的奇异值。 奇异值分解的稳定性很好。 2019/2/17
![三、奇异值分解 [u,s,v]=svd(a) 实现奇异值分解。 分解得到的三个因数有如下关系 a=u*s*v](http://slidesplayer.com/slide/15775990/88/images/5/%E4%B8%89%E3%80%81%E5%A5%87%E5%BC%82%E5%80%BC%E5%88%86%E8%A7%A3+%5Bu%2Cs%2Cv%5D%3Dsvd%28a%29+%E5%AE%9E%E7%8E%B0%E5%A5%87%E5%BC%82%E5%80%BC%E5%88%86%E8%A7%A3%E3%80%82+%E5%88%86%E8%A7%A3%E5%BE%97%E5%88%B0%E7%9A%84%E4%B8%89%E4%B8%AA%E5%9B%A0%E6%95%B0%E6%9C%89%E5%A6%82%E4%B8%8B%E5%85%B3%E7%B3%BB+a%3Du%2As%2Av.jpg "其中u矩阵和v矩阵是正交矩阵，s矩阵是对角矩阵，它的对角元素是a矩阵的奇异值。 奇异值分解的稳定性很好。 2019/2/17.")
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2 数据分析函数 函数名 含义 max 最大值 min 最小值 mean 均值 std 标准方差 median 中值 2019/2/17
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分析函数 函数名 含义 sum 元素的总和 prod 元素的乘积 cumrod 元素的累积 cumsum 元素的累加和
函数名 含义 sum 元素的总和 prod 元素的乘积 cumrod 元素的累积 cumsum 元素的累加和 diff 差分函数:少了一个元素 2019/2/17
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例题 求出y=x*sin(x) 在0<x<100的每个峰值 思路： 1、数学上峰值就是导数为零的点
2、导数在matlab中可以使用差分代替 3、差分后怎么求过零点呢？ 2019/2/17
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3 多项式处理 一、多项式表示 多项式在MATLAB中使用降幂系数的行向量表示。表示中需要包含零系数的项。poly2str：control toolbox中的函数 使用函数roots可找出多项式等于零的根。 规定：多项式用行向量，根用列向量。 给出多项式的根，使用poly函数也可以构造出相应的多项式。 2019/2/17
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二、多项式运算 函数conv进行乘法运算，deconv进行除法运算。MATLAB没有提供特别的多项式加减法运算。
多项式除法并不一定能够除尽，很多时候需要有余数多项式。 多项式微分使用polyder(p)函数，估计值使用polyval(p,at)函数。 2019/2/17
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4 曲线拟和与插值 在分析试验数据中，常常要面临将试验数据作解析描述的任务，这个问题有曲线拟合和插值两种方法。
在曲线拟合中，假定已知曲线的规律，作曲线的最佳逼近，但不需要经过所有的数据点；在插值中，认为数据是准确的，求取其中描述点之间的数据。 2019/2/17
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一、曲线拟合 1、多项式的最小二乘曲线拟合 使用polyfit，它需要曲线的x、y值，以及曲线的阶数。
曲线的阶数：如果曲线的阶数选择的过小，拟合效果不好；如果曲线的阶数过高，虽然数据点上看到效果好，数据点之间会出现有数据振荡的问题，阶数不宜过高，小于5阶。 灵活使用拟合 2019/2/17
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2、直接最小二乘 最小二乘函数为k=nnls(fx,y) 数据规律并不是多项式形式，直接最小二乘来拟合。
matlab 数据规律并不是多项式形式，直接最小二乘来拟合。 最小二乘函数为k=nnls(fx,y) 计算结果将使得|fx*k-y|2范数下最小 在计算中，fx可以为x的函数。 例子：拟合 2019/2/17
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二、插值函数 1、曲线插值函数interp1 方法 t=interp1(x,y,x0,’method’)
matlab 1、曲线插值函数interp1 方法 t=interp1(x,y,x0,’method’) x、y：原始数据点，x0为进行插值的数组，method为插值算法:线性插值('linear')，三次样条插值('spline'),三次多项式插值(‘cubic’). 如果x0出界，则对应值为NaN 例程：ex42.m 2019/2/17
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2、曲面插值 插值函数： interp2，基本形式： zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method) method包括
linear:线性 cubic:三次多项式 nearest：粗略估计数据 例程：ex43 2019/2/17
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三、三次样条 1、使用的原因 高阶多项式插值出现病态问题，三次样条使用分段多项式，各点上的三次导数相等。它光滑、导数连续。 2、插值
yi=spline(x,y,xi); pp=spline(x,y); 分段多项式形式 例程：ex44 2019/2/17
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三次样条 pp形式可以和三次多项式形式转化： [break,coef,np,nc]=unmkpp(pp)
断点、三次多项式、多项式数量、系数数量 pp=mkpp(break,coef); 由于转化为了多项式形式，可以方便的进行积分和微分运算。 2019/2/17
![三次样条 pp形式可以和三次多项式形式转化： [break,coef,np,nc]=unmkpp(pp)](http://slidesplayer.com/slide/15775990/88/images/17/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%A0%B7%E6%9D%A1+pp%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E5%92%8C%E4%B8%89%E6%AC%A1%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E8%BD%AC%E5%8C%96%EF%BC%9A+%5Bbreak%2Ccoef%2Cnp%2Cnc%5D%3Dunmkpp%28pp%29.jpg "断点、三次多项式、多项式数量、系数数量. pp=mkpp(break,coef); 由于转化为了多项式形式，可以方便的进行积分和微分运算。 2019/2/17.")
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四、滤波和平滑 1、插值和拟合的问题：噪声 2、滤波: 滞后,filter y=filter(b,a,x) a,b:滤波器的分子分母,x输入
a(1)*y(n) = b(1)*x(n) + b(2)*x(n-1) b(nb+1)*x(n-nb) - a(2)*y(n-1) a(na+1)*y(n-na) 例程:ex46 2019/2/17
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3、平滑 yi=csaps(x,y,P,xi) yi=csaps(x,y,P) 其中P为平滑因子0~1 0: 最小二乘 1:平滑近似
0: 最小二乘 1:平滑近似 ex46 ex45 2019/2/17
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5 数据分析 1、极小化 MATLAB提供了fmin和fmins两个函数来求极值，它们分别寻找一维和n维函数的极值。它使用的单纯性法搜索。函数计算量大，或搜索区内有多极值，搜索的过程较长，也可能找不到极值。如找不到极值，将停止运行并提供解释。 寻找极大值点，重定义函数为-f(x)即可。 2019/2/17
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2、求零点 函数fzero可以寻找一维函数的过零点。 应用：使用bode图判断控制系统稳定性，要看幅频特性过零点和相频特性过1800点。
fzero函数也可以寻找函数值等于常值点，只要重新定于函数为f(x)-c即可 2019/2/17
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3、积分 有限区域内积分函数：trapz、quad和quad8。 函数trapz通过计算梯形面积的和近似函数的积分，函数的分割是人为地。
quad使用Simpson递归方法，quad8使用Newton-costes递归方法进行数值积分。为了获得更精确的结果，它们在所需的区间都计算被积函数。quad8比quad更精确。 2019/2/17
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4、微分 微分描述了函数在一点处的斜率，是函数的微观性质，它对函数的微小变化十分敏感，函数的很小的变化，容易产生相邻点斜率的巨大变化。
尽量避免使用数值微分，尤其是试验数据的微分。如果迫切需要，最好先将试验数据进行最小二乘拟合伙这三次样条拟合，然后对拟合函数进行微分。 2019/2/17
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5、FFT变换 FFT即快速傅立叶变换，是数据分析的基本方法，是x由基2的快速变换算法来计算。如x长度不是精确的2次幂则后面使用0填充，ifft(x)是向量x的离散傅立叶变换的逆变换。 在频率轴上绘制FFT曲线，要明确FFT结果与实际频率点的关系。设n个数据点，采样频率为fs，则Nyquist频率或n=N/2+1点与实际频率的关系：f=(num-1)*fs/n 2019/2/17
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FFT 需要注意的是fft结果为复数矩阵，为了得到幅频特性，可使用abs函数，使用atan2得到相角，由于有的系统的相角可能大于1800，而相角函数值域在-1800~1800之间，需要使用unwrap函数展开折叠的相角，从而得到相频特性。 2019/2/17
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6 微分方程数值解 常微分方程数值解用逐步积分方法实现，Runge-Kutta法是应用最多的微分方程数值解的方法。两种Runge-Kutta法函数： [t,x]=ode23(‘xfun’,t0,tf,x0,tol,trace) [t,x]=ode45(‘xfun’, ,t0,tf,x0,tol,trace) 这两种方法格式相同。其中xfun为定义的常微分方程函数名，该函数必须以为输出，以t、x为输入。 2019/2/17
![6 微分方程数值解 常微分方程数值解用逐步积分方法实现，Runge-Kutta法是应用最多的微分方程数值解的方法。两种Runge-Kutta法函数： [t,x]=ode23(‘xfun’,t0,tf,x0,tol,trace)](http://slidesplayer.com/slide/15775990/88/images/26/6+%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E6%95%B0%E5%80%BC%E8%A7%A3+%E5%B8%B8%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E6%95%B0%E5%80%BC%E8%A7%A3%E7%94%A8%E9%80%90%E6%AD%A5%E7%A7%AF%E5%88%86%E6%96%B9%E6%B3%95%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%8CRunge-Kutta%E6%B3%95%E6%98%AF%E5%BA%94%E7%94%A8%E6%9C%80%E5%A4%9A%E7%9A%84%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E6%95%B0%E5%80%BC%E8%A7%A3%E7%9A%84%E6%96%B9%E6%B3%95%E3%80%82%E4%B8%A4%E7%A7%8DRunge-Kutta%E6%B3%95%E5%87%BD%E6%95%B0%EF%BC%9A+%5Bt%2Cx%5D%3Dode23%28%E2%80%98xfun%E2%80%99%2Ct0%2Ctf%2Cx0%2Ctol%2Ctrace%29.jpg "[t,x]=ode45(‘xfun’, ,t0,tf,x0,tol,trace) 这两种方法格式相同。其中xfun为定义的常微分方程函数名，该函数必须以为输出，以t、x为输入。 2019/2/17.")
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微分方程 输入变量t0、tf为积分的启始和中止时间，单位是秒。x0为初始的状态向量。tol控制结果的精度，可以缺省。一般来说，ode45比ode23运算速度快一些。 Var der Pol微分方程 重新定义变量，令 x1=x x2=dx/dt 则 dx1/dt=x2 dx2/dt=u(1-x12)x2-x1 2019/2/17
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应用举例 一、特性拟合 title(‘string’) ^上标 _下标 二、模型辨识的阶数确定 三、数值积分：已知加速度求速度，
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