第三章 图像变换 CHAPTER 3 IMAGE TRANSFORM §1 傅里叶变换(FFT和性质) §2 可分离的图像变换

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1 第三章 图像变换 CHAPTER 3 IMAGE TRANSFORM §1 傅里叶变换(FFT和性质) §2 可分离的图像变换
第三章 图像变换 CHAPTER 3 IMAGE TRANSFORM §1 傅里叶变换(FFT和性质) §2 可分离的图像变换 §3 Hotelling变换 版权所有， 1997 (c) Dale Carnegie & Associates, Inc.

2 §3.1 傅里叶变换 §3.1.1 傅里叶变换：（仅考虑离散情况）。 傅里叶变换在图像处理中应用较多。 一、 1D傅里叶变换对 正变换：
§3.1 傅里叶变换 傅里叶变换在图像处理中应用较多。 § 傅里叶变换：（仅考虑离散情况）。 一、 1D傅里叶变换对 正变换： F（u）= （1/N） f（x）exp[-2jux/N] ，u=0,…,N-1； F（u）是复函数，即 F（u） = |R（u）+j I（u）| = |F（u）| exp[j] ； |F（u）| = [R（u）2+I（u）2]1/2；幅度函数（傅里叶频谱）  = arctg [I（u）/R（u）]； 相位角 反变换：f（u）=  F（u）exp[-2jux/N] ，x=0,…,N-1；

3 §3.1.1 傅里叶变换（续1） 二、二维傅里叶变换对 正变换 F（u,v）= （1/N）  f（x,y）exp[-2j（ux+vy）/N] ，u=0,…,N-1；v=0,…,N-1 反变换f（ x,y ）=（1/N）  F（u,v）exp[-2j（ux+vy）/N]，x=0,…,N-1；y=0,…,N-1 § 傅里叶变换性质 一、分离性： ∵ exp[-2j（ux+vy）/N] = exp[-2jux/N] exp[-2jvy/N] F（x,v）= N{（1/N） f（x,y）exp[-2jvy/N] }，v=0,…,N-1 F（u,v）= N{（1/N）F（x,v）exp[-2jux/N] }，u=0,…,N-1 ∴一个2D傅里叶变换可由连续2次运用1D傅里叶变换来实现，先进行y（列）变换，后进行x（行）变换；

4 §3.1.2 傅里叶变换性质（续1） 二、平移性（不影响幅值，由级数展开可得出对应关系 ）
§ 傅里叶变换性质（续1） 二、平移性（不影响幅值，由级数展开可得出对应关系 ） f（x,y）exp[-2j（u0x+v0y）/N]F（u-u0,v-v0） 表明原f（x,y）用f（x,y ）exp[-2j（u0x+v0y）/N]替换后 进行傅里叶变换，则变换后的频域中心平移到了新位置。 类似：f（x-x0,y-y0） F（u,v）exp[-2j（ux0+vy0）/N] 表明F（u,v）与一个指数项相乘后再进行傅里叶反变换，则 变换后的空域中心平移到了新位置。 三、周期性和共轭对称性 F（u,v）= F（u+N,v）= F（u,v+N）= F（u+N,v+N） 利用周期性和共轭对称性，只需一个周期的变换就可确定f （x,y ）或反之，方便了分析和计算。

5 §3.1.2 傅里叶变换性质（续2） 四、旋转性质（借助极坐标变换可证明） f（r, +0）= F（+0）；
§ 傅里叶变换性质（续2） 四、旋转性质（借助极坐标变换可证明） f（r, +0）= F（+0）； 将f（x,y）旋转0度对应于将F（u,v）也旋转0 ；反之一样。 五、卷积 1. f e 和g e的含义 设一维时f 采样长为A 的序列，g 采样长为B 的序列； 当M=A+B-1时，卷积周期M才不会重叠，且是相邻接的； 若A〈 M，B〈 M，需扩展f , g 为M序列，方法是补充0； 即： f e（x）= f（x）  x  A-1 f e（x）= A  x  M-1

6 §3.1.2 傅里叶变换性质（续3） 2. 卷积的定义 一维卷积的定义：
§ 傅里叶变换性质（续3） 2. 卷积的定义 一维卷积的定义： fe（x）*ge（x）=（1/M） fe（m）ge（x-m），m=0,…,M-1 二维卷积的定义： fe（x,y）*ge（x,y）=（1/MN） fe（m,n）ge（x-m,y-n）， m=0,…,M-1，n=0,…,N-1； 3. 卷积与傅里叶变换的关系 fe（x,y）*ge（x,y）  F（u,v）G（u,v） 两个函数卷积的傅里叶变换对应于两个函数傅里叶变换的乘积； fe（x,y）ge（x,y）  F（u,v）* G（u,v） 两个函数乘积的傅里叶变换对应于两个函数傅里叶变换的卷积；

7 §3.1.3 快速傅里叶变换 一、思路 将傅里叶变换分成二个步骤计算，每个步骤用一个1D变换实现； 先算行，后算列；
§ 快速傅里叶变换 一、思路 将傅里叶变换分成二个步骤计算，每个步骤用一个1D变换实现； 先算行，后算列； 二、1D变换的逐次加倍法 已知F（u）= （1/N） f（x）exp[-2jux/N] ， 令WN= exp[-2j/N]，得F（u）= （1/N） f（x） WN ux ； 再令N=2M，得F（u）= （1/2M） f（x） W2M ux ； =（1/2）{（1/M）  f（2x） W2M u（2x） ；偶部分 （1/M）  f（2x+1） W2M u（2x+1） } ；奇部分 = （1/2）{Feven（u）+ Fodd（u） W2M u }；

8 §3.1.3 快速傅里叶变换（续1） 关键是输入数据的排列次序（奇偶分组排列） 三、算法实现 以N=8为例，介绍位对换规则。
§ 快速傅里叶变换（续1） 三、算法实现 关键是输入数据的排列次序（奇偶分组排列） 以N=8为例，介绍位对换规则。 位对换规则：如果二进制位正读存在相应的反读，两者位置互换； x（0） x（0） 不变 x（1） x（4） 对换 x（2） x（2） 不变 x（3） x（6） 对换 x（4） x（1） 对换 x（5） x（5） 不变 x（6） x（3） 对换 x（7） x（7） 不变

9 §3.2 可分离图像变换 傅里叶变换是可分离变换的一个特例。 §3.2.1 可分离变换的一般形式 T（u,v）=   f（x,y）g（x,y,u,v），x,y=0,…,N-1；u,v=0,…,N-1 f（x,y）=   T（u,v）h（x,y,u,v），u,v=0,…,N-1；x,y=0,…,N-1 g（x,y,u,v）、h（x,y,u,v）分别称为正向变换核和反向变换核； 是变换中进行级数展开的基本函数。 如果g（x,y,u,v）= g1（x,u）g2（y,v），则称正向变换核是可分离的； 如果h（x,y,u,v）= h1（x,u）h2（y,v），则称反向变换核是可分离的；

10 §3.2.2 沃尔什变换（Walsh） 沃尔什变换（WT）的变换核（由美国数学家Walsh提出）
◆ 一维变换核：g（x,u）= （1/N）∏ (-1)bi (x)bn-i-1(u)；i=0,…,n-1，N=2n W（u）= （1/N） f（x）∏ (-1)bi (x)bn-i-1(u)； x=0,…,N-1 式中bk(z）是z的二进制表达中的第k位（取0或1值）； ◆由沃尔什变换核组成的矩阵（略去常数，仅用符号表示+1、-1） 矩阵是一个对称矩阵，且行和列正交。 ◆反变换核与正变换核只差一个常数1/N； 反变换核 h（x,u）= ∏ (-1)bi (x)bn-i-1(u)；i=0,…,n-1； 所以，反变换f（x）=  W（u）∏ (-1)bi (x)bn-i-1(u)；u=0,…,N-1，N=2n。 ◆ 由于反变换与正变换只相差一个常数，故算法可通用。