排列(一）.

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1 排列(一）

2 1. 排列的概念 问题1 要从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？ 解：从3名同学中选1名参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，可以看成是先选1名同学参加上午的活动，再选1名同学参加下午的活动这两个步骤完成，先选1名同学参加上午的活动，共有3种选法；

3 参加上午的活动的同学选定后，参加下午的活动的同学有2种选法。根据分步计数原理，所求的不同的选法数是
N=3×2=6 故有6种不同的选法。 不同排法如下图所示 上 午 下 午 相应的排法 甲 乙 丙 甲乙 甲丙 乙甲 丙 乙 甲 回10页 乙丙 乙 甲 丙 丙甲 丙乙

4 我们把上面问题中被选的对象 (同学）叫做元素。于是，所提出 的问题就是从3个不同的元素甲、 乙、丙中任取2个，然后按一定的
顺序排成一列，求一共有多少种 不同的排列方法。

5 问题2 从a,b,c,d 这4个字母中,每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？
解 解决这个问题需要分三个步骤。 第1步，先确定左边的字母，在4个中任取1个，有4种 方法； 第2步，再确定中间的1个字母，当左边的字母确定以后 ，中间的字母只能从余下的3个中任取1个，有3种方法； 第3步，再确定右边的1个字母，当左边、中间的字母确 定以后，右边的字母只能从余下的2个中任取1个，有2 种方法； 根据分步计数原理，所求的不同的排法数是 4 ×3 ×2=24 (种）

6 c d b d b c c d a c a d b d a d a b b c a c a b b c d a c d a b d
不同排法如下图所示 c d b d b c c d a c a d b d a d a b b c a c a b b c d a c d a b d a b c a b c d

7 所有的排列为： abc bac cab dab abd bad cad dac acb bca cba dba
acd bcd cbd dbc adb bda cda dca adc bdc cdb dcb 回10页

8 我们把上面问题中被取的对象 （字母）叫做元素。于是，所提出 的问题就是从4个不同的元素a、b、 c、d中任取3个，然后按一定的顺
序排成一列，求一共有多少种不同 的排列方法。

9 定义 一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m (m≤n) 个元素（本章只研究被取出的元素各不相同的情况），按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。

10 排列的定义中包含两个基本内容： 一个是“取出元素”；二是“按照一 定顺序排列”，“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。 根据排列的定义，两个排列相同， 当且仅当两个排列的元素完全相同， 而且元素的排列顺序也相同。

11 练习1 北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？
练习 北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？ 不同排法如下图所示

12 起点站 终点站 北京 上海 广州 飞机票 北京 上海 广州

13 练习2 由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？允许重复呢？
练习2 由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？允许重复呢？ 不同三位数如下图所示

14 1 2 3 4 2 1 3 4 1 2 3 4 2 1 3 4 1 2 3 1 2 4 4 1 2 3 3 4 2 1 4 1 2 3 3 4

15 练习3 下列问题是排列问题吗？ （1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？
练习3 下列问题是排列问题吗？ （1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？ （2）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？ （3）从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ （4）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？可确定多少条直线？ （5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？ 是排列 不是排列 （从中归纳这几类问题的区别）

16 2. 排列数公式 从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 表示。

17 第1位 第2位 n n-1 · · · · · · 第1位 第2位 第3位 第m位 n n-m+1 n-1 n-2

18 排列数公式 选排列数 • · · · •3 •2 •1 全排列数 ！ 简写为 选排列数

19 排列数公式

20 全排列 n个不同元素全部取出的一个排列 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 1 2 6 24 120 720 5040 (n+1) ·n!= =(n+1)! (n+2)(n+1) ·n! =(n+2)!

21 练 习 例1 计算： 6！=6×5×4×3×2×1=720

22 变式题： 由n=18，n-m+1=8，得m=11

23 例2 某年全国足球甲级（A组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛一次，问一共进行多少场比赛？
例3 （1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？ 元素不可重复 （2） 有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 注意区分“本”与“种” 元素可重复

24 （3）排成两排，前排4人，后排5人， 有多少种排法？
练习3 有5名男生，4名女生排队。 （1）从中选出3人排成一排，有多少 种排法？ （2）全部排成一排，有多少种 排法？ （3）排成两排，前排4人，后排5人， 有多少种排法？ 注：与（2）同解

25 练习4 应用公式解以下各题：

26 练习5 求证下列各式： 你能用学过的方法，举一实际的例子说明（1）、（2）吗？

27 练习6： 求解下列各式的值或解方程。

28 例4 某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂一面、二面或三面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
即有分类，又有分步

29 例5 用 0 到 9 这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

30 解法一：对排列方法分步思考。 百位 十位 个位 0是“特殊元素”， 特殊元素要特殊（优先）处理。

31 解法二：对排列方法分类思考。 符合条件的三位数可分为两类： 分析：由0的位置分类： 根据加法原理
1类：0在个位 2类：0在十位 3类：0不在个.十位 百位 十位 个位 百位 十位 个位 百位 十位 个位 根据加法原理 0是“特殊元素”，特殊元素要特殊（优先）处理。

32 求总数： 从0到9这十个数字中任取三个数字的排列数为 ，
解法三：间接法. 求总数： 从0到9这十个数字中任取三个数字的排列数为 ， 求以0为排头的排列数为 ∴ 所求的三位数的个数是 从总数中去掉不合条件的排列的种数