線對稱 尺規作圖的意義 垂直平分線 角平分線 垂線 自我評量.

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1 線對稱 尺規作圖的意義 垂直平分線 角平分線 垂線 自我評量

2 在日常生活中，常見到許多線對稱圖形。下列圖形都是線對稱圖形，你看得出來嗎？

3 我們可以用對摺疊合的方法檢驗圖形是否為線對稱圖形。一個線對稱圖形對摺後，重疊的兩點稱為對稱點，重疊的線段稱為對稱線段，重疊的角稱為對稱角，摺線為對稱軸。圖2-38 中，B 點的對稱點為B' 點，∠C 的對稱角為∠C'， 的對稱線段為 ，直線 L為對稱軸。因為 A 點在對稱軸上，所以 A點的對稱點即為 A 點本身。 圖 2-38

4 圖2-38中，連接 ，與直線 L 交於 M 點， ＝ ，也就是 M 為 的中點，我們說直線 L 平分 。又∠1＝∠2，且∠1＋∠2＝180°，所以∠1＝∠2＝90°，也就是直線 L 垂直 ，可以記成 L ⊥ ，讀作「L 垂直 」。直線 L 與 的交點 M 稱為垂足。

5 因為直線 L 垂直 且又平分 ，我們就說直線 L 垂直平分 ，直線 L是 的垂直平分線，又稱為中垂線。

6 畫出下列圖形的所有對稱軸： 長方形 梯形 菱形

7 畫出下列圖形的所有對稱軸： 正五邊形 等腰三角形 正八邊形

8 如圖2-39，△ABC 是等腰三角形， ＝ 。 我們可以對摺將B點疊合在C點上， 和 疊 合，摺痕得到　 中點D，∠ADB＝∠ADC＝ 90°。也就是△ABC 是一個線對稱圖形， 是對稱軸。 圖2-39

9 由此可知， 是 邊的高，也是 的垂直平分線。即等腰三角形底邊上的高垂直平分底邊。

10 同樣地，正三角形的高也會垂直平分底邊。如圖2-40，正三角形ABC的邊長為 a，因為 垂直平分 ，所以 ＝ ＝ a。

11 由勾股定理得 ＝ 　　　　　　　 ＝ ＝ △ABC面積＝ × × ＝ × a × ＝ a2

12 若正三角形的邊長為 a，則高為 a， 面積為 a2。

13 1 完成線對稱圖形 右圖是線對稱圖形的一部分，直線 L 是對稱軸，請完成此線對稱圖形。

14 因為對稱軸垂直平分對稱點連線，在 L的右側，找到 B點的對稱點B' 。同理，找到 C' 、 D' 、E' 、F' 、G' 、H'。
解 因為對稱軸垂直平分對稱點連線，在 L的右側，找到 B點的對稱點B' 。同理，找到 C' 、 D' 、E' 、F' 、G' 、H'。 連接 、 、 、 、 、 、 、 ，即為所求。

15 1.如下圖，四邊形 ABCD是菱形，請問它是線對稱圖形嗎？若 ABCD是線對稱圖形，則B點的對稱點為何？
菱形ABCD是線對稱圖形，B點的對稱點是D點。

16 2.如下圖，四邊形PQRS是箏形，請問它是線對稱圖形嗎？

17 在隨堂練習中，我們可以利用對摺的方法，檢驗得知鳶形和菱形都是線對稱圖形。
菱形ABCD中，若以對角線 為對稱軸，則 A、C為對稱點，所以 垂直平分 。同樣地，若以對角線 為對稱軸，則 B、D為對稱點，所以 垂直平分 。也就是對角線 、 互相垂直平分。即 菱形的兩對角線互相垂直平分。

18 箏形PQRS 中，對角線 是對稱軸，Q、S為對稱點，所以對角線 會垂直平分對角線
。即 箏形的兩對角線互相垂直，且一對角線平分另一對角線。

19 直尺和圓規是幾何作圖的主要工具，尺規作圖是指用直尺和圓規來畫圖，而且直尺只用來畫直線或線段，不利用上面的刻度。

20 比較線段大小時，除了用直尺測量之外，也可以使用圓規。如圖2-41，將圓規張開如 之大小，不改變圓規張角的大小，將圓規的一端移至C點上，觀察圓規的另一端。如果另一端落在上，如圖2-42，表示 ＞ ；如果另一端落在 外，如圖2-43，表示 ＜ 。 圖2-41 圖2-42 圖2-43

21 2 等線段作圖 如右圖，已知一線段AB，如何畫出一線段，使它的長度等於 呢？

22 (1) 畫一直線 L，在 L 上取一點C。 (2) 以 C 為圓心， 長為半徑畫弧，交 直線 L 於一點 D。 (3) 即為所求的線段。
作法 (1) 畫一直線 L，在 L 上取一點C。 (2) 以 C 為圓心， 長為半徑畫弧，交 直線 L 於一點 D。 (3) 即為所求的線段。

23 例題 2 的畫法是不是和我們比較兩線段長度疊合的方法，有一點類似呢？一般來說，在進行幾何作圖時，應保留作圖的痕跡，並輔以文字說明。

24 3 線段長作圖 已知一線段 AB，求作一線段CD， 使它的長度等於 的 2 倍 。

25 (2) 以 C 為圓心， 為半徑畫弧，交直 線 L 於 P 點。
作法 (1) 作一直線 L，在 L 上取一點C。 (2) 以 C 為圓心， 為半徑畫弧，交直 線 L 於 P 點。

26 (3) 以 P 為圓心， 為半徑畫弧，交直線 L 於 D 點。 (4) 即為所求。
作法 (3) 以 P 為圓心， 為半徑畫弧，交直線 L 於 D 點。 (4) 即為所求。

27 1.如右圖，試在 上找出D點，使得 ＝ 。

28 2.已知兩線段長a、b，求作線段PQ，使得 ＝

29 之前我們已經用對摺的方法，摺出 的垂直平分線，接下來，我們將利用尺規作圖，作已知線段的垂直平分線。

30 在紙上畫出一線段，以摺紙的方式找出該線 段的垂直平分線，並標出該線段的中點。 (2) 說說看，為什麼你的摺法摺出來的是垂直平 分線？ 參考課本P.74第三段

31 4 中垂線作圖 已知 ，求作 的垂直平分線。

32 作法 (1)以A為圓心，並以大於 長為半徑畫弧。

33 (2)以B為圓心，同長為半徑畫弧，兩弧相交於C、D 兩點。
作法 (2)以B為圓心，同長為半徑畫弧，兩弧相交於C、D 兩點。

34 作法 (3)畫 ，則 即為所求。

35 在例題4的作圖過程中，為何要以大於 的線段長為半徑畫弧呢？小於 可以嗎？等於 可以嗎？
以大於 長為半徑畫弧，兩弧才會有交點。小於 畫弧，兩弧就無法相交。以 為半徑畫弧，兩弧會在 中點相交，無法形成三角形。

36 例題4中，如何確定 會垂直平分 呢？我們可以連接 、 、 、 ，因為 ＝ ＝ ＝ ，若以 為摺線對摺，則△ACD與△BCD會重合，即 為四邊形ACBD的對稱軸， 所以 垂直平分 。

37 如右圖，若 L 是 的垂直平分線，在 L 上任取一點 P，連接 、 。想想看， 是否會等於 ？

38 由動動腦的結果可知， 垂直平分線上任一點到線段兩端點的距離相等。

39 如下圖，已知 ，請用尺規作圖將 四等分。

40 我們可以用尺規作圖複製一線段，那麼是否也可以利用尺規作圖複製一個角呢？
5 等角作圖 已知∠A，求作一角等於∠A。

41 (2)以A為圓心，取一適當長為半徑畫弧，交∠A 的兩邊於B、C兩點。
作法 (1)畫一直線L，在L上取一點O。 (2)以A為圓心，取一適當長為半徑畫弧，交∠A 的兩邊於B、C兩點。

42 (3)以O為圓心， 為半徑畫弧，交直線L於Q點。
作法 (3)以O為圓心， 為半徑畫弧，交直線L於Q點。

43 (4)以Q為圓心， 為半徑畫弧，交前弧於P點。
作法 (4)以Q為圓心， 為半徑畫弧，交前弧於P點。

44 在例題5中，我們可以用量角器測量∠A及∠POQ的度數，檢驗出∠POQ確實等於∠A。
作法 (5)畫 ，則∠POQ 即為所求。 在例題5中，我們可以用量角器測量∠A及∠POQ的度數，檢驗出∠POQ確實等於∠A。

45 利用尺規作圖，畫出一角等於∠B。

46 將一個角平分為兩相等角的線，我們稱為角平分線，又稱為分角線。如圖2-45，若∠BAC與∠DAC 的度數相等，也就是∠BAC＝∠DAC，我們就說 是∠BAD 的角平分線。

47 下圖是一已知角，我們用對摺的方法，讓角的兩邊疊在一起，則摺痕就是角平分線。
圖2-46

48 古希臘幾何三大作圖難題： 1.三等分角：把一任意角三等分。 2.立方倍積：作一立方體，使其體積是一已知立 方體體積的兩倍。 3.化圓為方：作一正方形，使其面積等於一已知 圓的面積。

49 這三個題目，乍看之下似乎不是很難，為何被稱為三大難題呢？這是因為只能使用沒有刻度的直尺和圓規作圖。現代數學家已經證明了這三個題目都無法用尺規作圖完成。

50 接下來，我們將利用尺規作圖的方法，畫出一已知角的角平分線。
6 畫角平分線作圖 已知∠A，求作∠A 的角平分線。

51 (1)以A為圓心，取一適當長為半徑畫弧，交∠A 的兩邊於B、C 兩點。
作法 (1)以A為圓心，取一適當長為半徑畫弧，交∠A 的兩邊於B、C 兩點。

52 (2)分別以B、C為圓心，大於 為半徑畫弧，兩弧交於D點。
作法 (2)分別以B、C為圓心，大於 為半徑畫弧，兩弧交於D點。

53 作法 (3)畫 ，則 即為所求。

54 由例題6，連接 、 ，因為 ＝ ， ＝ ，所以四邊形ABDC為箏形。當我們以 為摺線時，就可以發現∠CAD 與∠BAD 相等。
圖2-47

55 1.求作∠B 之角平分線，並用量角器測量被平分 的兩角角度是否相等。
2.試作一平角的角平分線。

56 7 過線上一點作垂線 已知直線 L 及 L 上一點 P，求作過 P 點與 L 垂直的直線。

57 (1)以P為圓心，取一適當長為半徑畫弧，交直線L於 A、B兩點。
作法 (1)以P為圓心，取一適當長為半徑畫弧，交直線L於 A、B兩點。 (2)分別以A、B為圓心，大於 為半徑畫弧，兩弧交於C點。 (3)連接 ，則 即為所求。

58 在例題7中，若連接 、 ，由作法的步驟(1)可知P點為 的中點，而由作法的步驟2可知
＝ ，也就是△CAB為等腰三角形。在前面已說明「等腰三角形為線對稱圖形」，所以 為△CAB之對稱軸，∠CPA＝∠CPB＝90°。因此 確實為過P點與L垂直之直線。 圖2-48

59 例題 7 的作法和例題 6 隨堂練習中平角的角平分線作法是相同的。
8 過線外一點作垂線 已知直線 L 及 L 外一點 P，求作過 P 點與 L 垂直的直線。

60 (1)以P為圓心，取一適當長為半徑畫弧，交直線L於A、B兩點。
作法 (1)以P為圓心，取一適當長為半徑畫弧，交直線L於A、B兩點。 (2)分別以A、B為圓心，大於 為半徑畫弧，兩弧交於C點。 (3)連接 ，則 即為所求。

61 在例題8中，我們可連接 、 、 、 ，因為 ＝ ， ＝ ，所以四邊形PACB為箏形。在前面我們學過「箏形的兩對角線互相垂直」，所以 ⊥L，即 確實為過P點與L垂直之直線。

62 利用「過線外一點作垂線」的作圖方法，我們可以作出三角形的高。如圖2-49，△ABC中， 邊上的高即為過 A 點垂直 的線段。

63 已知△ABC，求作 邊上的高。 △ABC 中， 邊上的高的作法，與過A點作 之垂線作法相同。

64 除了用尺規作圖的方法作出三角形的高，我們也可以用對摺的方法，摺出三角形的高。
圖2-50

65 作等線段、作等角、作已知線段的垂線、作已知線段的垂直平分線、作已知角的角平分線，這幾種作圖方法，我們稱為基本作圖。將來在作圖時，如果需要使用這些基本作圖，我們不再詳列它們的作法，只簡述即可。在下面的例題中，我們將以這些基本作圖為基礎，完成其他作圖。

66 9 扇形作圖 已知一扇形ABC，求作扇形DEF＝扇形ABC。

67 (3)以D為圓心， 為半徑畫弧，分別交 、 於F、E兩點。
作法 (1)畫一直線L，在L上取一點D。 (2)作∠PDQ＝∠CAB。 (3)以D為圓心， 為半徑畫弧，分別交 、 於F、E兩點。 (4)扇形DEF即為所求。

68 右圖是線對稱圖形的一部分，直線L是對稱軸，試利用尺規作圖完成此線對稱圖形。
10 完成線對稱圖形 右圖是線對稱圖形的一部分，直線L是對稱軸，試利用尺規作圖完成此線對稱圖形。 作法 (1)以A為圓心， 為半徑畫弧，再以D為圓心， 為半徑畫弧，兩弧交點即為B點的對稱點B'。

69 (2)以 A 為圓心， 為半徑畫弧，再以 D 為圓心， 為半徑畫弧，兩弧交點即為 C 點的對稱點 C'。
作法 (2)以 A 為圓心， 為半徑畫弧，再以 D 為圓心， 為半徑畫弧，兩弧交點即為 C 點的對稱點 C'。 (3)連接 、 、 ，所得圖形即為所求。

70 例題10中，若在L上任取二點P、Q，分別以P、Q為圓心， 、 為半徑畫弧，此兩弧的交點是否為 B 點的對稱點？為什麼？
是。因為PBQB'為箏形(設兩弧的交點為B' )。

71 如下圖，請仿照例題10的作法，畫出B點的對稱點。

72 1.對稱軸：線對稱圖形上，對稱軸會垂直平分兩對稱點的連線段。
2.尺規作圖：尺規作圖是指用直尺和圓規來畫圖，而且直尺只用來畫直線或線段，不利用上面的刻度。

73 3.垂直平分線：一已知線段的垂直平分線上任意一點到線段的兩端點等距離。
4.基本作圖：複製線段、複製角、作已知線段的垂線、作已知線段的垂直平分線、作已知角的角平分線。

74 (1)∠BPA＝ ∠APC＝ × (180°－2×43°) ＝ × 94°＝47°
2-3 自我評量 1.如右圖，P 點在直線AE上， 平分∠APC， 平分 ∠CPE，∠DPE＝43°。 (1)求∠BPA。 (2)請問 是否垂直 ？ (1)∠BPA＝ ∠APC＝ × (180°－2×43°) ＝ × 94°＝47° (2)∠BPD＝∠BPC＋∠CPD＝47°＋43°＝90° 所以 ⊥ 。

75 2.如下圖，請利用尺規作圖在 上作一點P， ： ＝1：3。

76 3.下圖是一線對稱圖形，請利用尺規作圖畫出它的對稱軸。

77 4.如右圖，△ABC中，∠ABC＝62°， ∠ACB＝58°， (1)求∠BAC。 (2)△ABC 是何種三角形？ （鈍角、銳角或直角） (3)若∠ABC 與∠ACB 的 角 平分線相交於D 點，求 ∠BDC。

78 4. (1)∠BAC＝180°－62°－58°＝60° (2)因為∠ABC、∠ACB、∠BAC 均為銳角，所以△ABC 為銳角三角形。 (3)∠BDC＝180°－∠DBC－∠DCB ＝180°－ × 62°－ × 58° ＝180°－31°－29° ＝120°

79 5.如圖， △ABC為鈍角三角形，利用尺規作圖作 上的高。

80 π的故事 圓周率π是圓的周長與直徑的比，即π＝ 。為什麼用π這個符號來代表圓周率 呢？由來如下： 西元1600年，英國數學家奧托雷德（William Oughtred， ）首先用 來表示圓周率。理由是希臘文中「圓周」的第一個字母是π，而「直徑」的第一個字母則是δ(讀作delta)

81 ，因此 很自然地就寫成 。但是為了簡化圓周率的計算過程，通常我們會令圓的直徑為1，此時 ＝ ＝π。
1706年，英國數學家瓊斯（William Jones， ）改用π來表示圓周率，後來瑞士大數學家尤拉（Leonhard Euler， ）也採用此表示法，於是沿用至今。

82 圓周率π是一個無理數，目前已有人計算出它的近似值到小數十億位以上。 π＝3
圓周率π是一個無理數，目前已有人計算出它的近似值到小數十億位以上。 π＝ …