使用與學習導引（首頁） １. 簡要使用說明。 （一回生兩回熟，多接觸就會了） ２. 進入學習課程。 （閱讀在數學學習過程常被忽視）

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1 使用與學習導引（首頁） １. 簡要使用說明。 （一回生兩回熟，多接觸就會了） ２. 進入學習課程。 （閱讀在數學學習過程常被忽視）
G S P 使用與學習導引（首頁） １. 簡要使用說明。 （一回生兩回熟，多接觸就會了） ２. 進入學習課程。 （閱讀在數學學習過程常被忽視） ３. 講義與學習單。 （輔助學習的 Word 檔） ４. GSP 輔助教學的圖檔內容。 （當然也可以單獨觀看操作 GSP 圖檔） ５. GSP 操作使用說明頁。 （個人使用請先 下載 GSP 4.07D.exe DEMO 檔）

2 課程簡要說明 幾何討論的是圖形的形狀、大小和相互位置關係，免不了要做「線段」、「角度」之間的相等或不相等關係的比較。
其實「圖形」也是一種比較，全等圖形可以比較相等關係，不全等圖形可以比較不相等的關係。 而比較之後，當然會有一些結論產生，可供應用。 全等圖形可分成「動態操作」與「靜態推論」討論。 動態操作：即透過「平移、旋轉、線對稱」的操作，得知有 　　　　　對應全等關係。 靜態推論：透過全等圖形的定義、性質，來推論圖形全等。 雖然課程標準有提到「線對稱」，但重點只在解釋「什麼是線對稱」，沒有特別強調「全等關係」。 三角形有三個邊與三個內角，因為邊數簡單，變動因數較少，方便討論、應用。 兩者可互補短長，很能增進「識圖、閱圖、解圖」能力。 國中數學幾何課程標準只提到「靜態推論」部份，此部份當然是以「三角形全等」為討論說明重點。 首頁

3 全等的意義-(1) 全等圖形：能夠「重合」的兩個圖形，即是全等圖形。
因為圖形是由「邊、角」組合而成，所以 『全等圖形 <＝> 重合 <＝> 對應邊相等且對應角相等』。 重合的邊是對應邊，重合的角是對應角。 但是，『全等圖形』有其數學定義存在，能否全等要根據「定義」或「所給的條件推論」。 『測量觀察』、『圖形拼湊』若沒有「推論」輔助說明，絕對不可做為全等的證明（判別）依據。

4 全等的意義-(2) 以四邊形為例，使用數學列式，再說明全等的意義。
如圖，若 □ABCD與□EFGH 全等， 則 AB＝EF、BC＝FG、CD＝GH、DA＝HE， 且∠A＝∠E、∠B＝∠F、∠C＝∠G、∠D＝∠H 。 D E A H C 寫全等式子時，提醒同學養成「對應順序」的好習慣。 F G B 反之，若 □ABCD與□EFGH 中，若（有8個條件） 　 AB＝EF、BC＝FG、CD＝GH、DA＝HE ， 　　且∠A＝∠E、∠B＝∠F、∠C＝∠G、∠D＝∠H ， 　則 □ABCD與□EFGH 全等。（記作 □ABCD　□EFGH ） ～ ＝

5 三角形全等條件-(3) 三角形有三個邊與三個內角，但因為邊數簡單（變動較少） ，發現並不需要同時具備三個邊與三個內角（六個條件）分別對應相等，才能得到全等的結論。 事實上，在兩個三角形中，若能合乎下列三個對應相等條件 ，則此兩三角形就會全等，稱之為「三角形的全等性質」。 SSS：三個邊分別對應相等 SAS：兩個邊及其夾角分別對應相等 ASA：兩個角及其夾邊分別對應相等 AAS：兩個角及其中一個角的對邊分別對應相等 RHS(斜股)：兩個直角三角形的斜邊與一股長分別對應相等 S：邊　 A：角　 R：直角 H：斜邊 S（side）：代表「邊」 A（angle）：代表「角」 R（right angle）：代表「直角」 H（hypotenuse）：代表「斜邊」 而本單元主要的課題就是解釋、證明這些「全等性質」。

6 頂點重合  對應邊重合  圖形重合  圖形全等
由操作、疊合比較驗證-(3) 頂點重合  對應邊重合  圖形重合  圖形全等 對於符合 SSS 對應相等條件的兩三角形可以透過「穩定性」說明圖形是「唯一的」，因此三角形會全等。 對於符合 SAS、ASA 對應相等條件的兩三角形可以透過「疊合比較」的操作，說明兩三角形會全等。 符合 AAS 對應相等條件的兩三角形可以利用內角和＝180度的性質，轉換成 ASA 對應相等，此時當然也可得到兩三角形全等的結論。 所以能夠很明確、直觀的做「疊合比較」的全等性質，就只有「SAS」與「ASA」兩者。 「SSS」是因為三個邊已經確定，此三角形形狀大小可見到，所以可由「穩定性」了解圖形唯一。 若直接的觀察「AAS」與「RHS」的條件，總認為欠缺直觀的「重合」認知。 符合 RHS 對應相等條件的兩三角形則可利用「畢氏定理」推算出第三邊長也會對應相等，此時可轉換成 SAS 或 SSS 對應相等，當然也就可得到兩三角形全等的結論。

7 由尺規作圖驗證全等性質-(4) 體驗尺規作圖過程的「圖形唯一性」。
可以「尺規作圖」依據所給的條件，考慮所有可能方法、情況，將圖形作出來。若是圖形「唯一存在」，那就表示符合題目條件的圖形是「唯一」的。 既是「唯一存在」，表示大家作出的圖形會是「一模一樣」 ，會是「全等」的。 「圖形唯一性」是驗證三角形全等性質的一種方法，與之相關的作圖稱為「三角形全等作圖」。 找法：三角形有三個頂點、三個邊、三個角，若能找到合乎條件的三個頂點或三個邊或三個角，此三角形就確定了。

8 全等三角形的應用-(5) 全等三角形的應用（用途）：就因為三角形的全等可以用已知的三個對應相等條件換取未知的其他三個條件，所以常常使用在幾何圖形的推理證明過程當中。即只要找到包含有待證明相等的邊或角的三角形，設法證明全等，就可由對應相等得到結論。 三角形全等也是證明多邊形全等的基礎，多邊形可分割成若干個三角形，若每個對應部份的三角形都會全等，則對應拼湊成的整體多邊形也就會全等了。 學完了以尺規作三角形之後，很容易就可自己推論明白：如果只給予兩個條件，那所作出的三角形是不會「唯一」的。 所以，全等三角形的性質最少要符合三個對應相等條件。

9 作圖之前… 您應該已經明白為什麼要學習「三角形全等作圖」。
G S P 作圖之前… 您應該已經明白為什麼要學習「三角形全等作圖」。 作圖過程主要是以GSP圖檔（任意拖曳具半互動性）呈現，可配合投影片按部就班學習，保證真實、明白、易懂。 隨時熟悉「SSS、SAS、ASA、AAS、RHS、SSA」等邊角對應關係的簡稱含意，可畫個（三角形）草圖，看著圖上的標示很容易就知道其中代號所表示的意義了。 再來要能根據草圖上的標示，試著將簡稱含意使用文字敘述（描述）出來。 明白了三角形的全等性質，再來是要能懂得運用全等性質。在每個性質解說完畢之後，都緊接著一個應用舉例，也可多練習、接觸「幾何證明」的敘述過程。

10 G S P SSS全等性質-(1) 如圖，在 △ABC與△DEF 中，AB＝DE、BC＝EF、CA＝FD， 則 △ABC全等於△DEF。（記作△ABC　△DEF ） ～ ＝ C F E A B D 當給定三角形的三邊長，則所作出的三角形，其形狀與大小是無法改變的（唯一的）。 所以，若有兩三角形的三邊長分別對應相等，則可認為兩三角形是由給定的三邊長所作出，其形狀大小會一模一樣，是會全等的。

11 SSS全等作圖-(2) 已知：線段 a、b、c 求作：以 a、b、c 為三邊長的三角形。
G S P SSS全等作圖-(2) 已知：線段 a、b、c 求作：以 a、b、c 為三邊長的三角形。 c b a C B A (1) 任作一直線，在直線上作 AB＝c。【確定A、B兩頂點】 (2) 分別以 A、B 為圓心，b、a長為半徑，在直線的同側畫 弧，設兩弧相交於C點。【縮小範圍尋找C點可能位置】 【因為 AC＝b、C點會落在以A為圓心，b長為半徑的圓上】 【因為 BC＝a、C點會落在以B為圓心，a長為半徑的圓上】 (3) 連接 AC、BC，則 △ABC 即為所求。 第三個頂點C有兩個位置，但是所連接的兩個三角形是線對稱全等（鳶形），實際上還是「圖形唯一」，所以通常只要作到一個交點即可。【 】 G S P

12 應用舉例（SSS）-(3) 若□ABCD中，AB＝CD、AD＝BC （對邊相等） ， 　則對角線AC（或BD）可將□ABCD分割成兩個全等三角形。 A A D D B B C C 在△ABC與△CDA中， ∵ AB＝CD、AD＝BC、AC＝AC 【公共邊，本身＝本身】， ∴ △ABC　△CDA（SSS） 同理 △BAD　△DCB（SSS） ～ ＝ 而兩個重合全等的三角形可旋轉拼出平行四邊形。 　所以有兩組對邊分別對應相等的四邊形是平行四邊形。

13 應用舉例（SSS）-(4) 若□ABCD中，AB＝CD、AD＝BC， 則可推得□ABCD為平行四邊形。
在△ABC與△CDA中， ∵ AB＝CD、AD＝BC、AC＝AC， ∴ △ABC　△CDA（SSS） ∴ ∠CAB＝∠ACD ∴ AB//CD (3) 同理 AD//BC，∴ □ABCD為平行四邊形。 ～ ＝ 連接的對角線可當做對邊的「截線」，若「內錯角相等」，則由「平行線性質」可推得「對邊平行」。 而「內錯角」分別在兩個三角形之內，若能推論出「兩三角形全等」，則可得對應的內錯角會對應相等。

14 SAS全等性質-(1) 如圖，在 △ABC與△DEF 中，AB＝DE、∠A＝∠D、AC＝DF， 則 △ABC全等於△DEF。（記作△ABC　△DEF ） ～ ＝ C F E A B D 疊合比較的驗證： 因為∠A＝∠D，所以頂點重合、兩邊可重疊，又AB＝DE、 　AC＝DF，所以頂點B、E與C、F也會分別重合。 兩三角形的三頂點分別重合對應邊重合圖形重合全等。

15 SAS全等作圖-(2) 已知：線段b、c與∠1 求作：以b、c為兩邊長且b、c的夾角等於∠1 的三角形。
G S P SAS全等作圖-(2) 已知：線段b、c與∠1 求作：以b、c為兩邊長且b、c的夾角等於∠1 的三角形。 C c 1 D B b A E (1) 作 ∠DAE＝∠1 。 【確定第一個頂點A】 (2) 於 ∠DAE 的邊上，分別作 AB＝c、AC＝b 。 【由等線段疊合比較，找到唯一的第二與第三個頂點B、C】 (3) 連接 BC，則 △ABC 即為所求。 三個頂點位置唯一存在，三角形的「圖形」當然唯一確定。

16 應用舉例（SAS）-(3) 將頂角對摺是等腰三角形線對稱的操作方法，可得到下列相關的性質：（現在改成靜態推論敘述如下）
如圖，△ABC中，AB＝AC， AD是∠BAC的分角線交BC於D，則 B C (1) 在△ABD與△ACD中， ∵ AB＝AC、∠BAD＝∠CAD、AD＝AD， ∴ △BAD　△CAD（SAS）【線對稱鏡射重合】 ～ ＝ D (2) ∴ ∠ABD＝∠ACD 【等腰三角形的底角相等】 (3) BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝180°÷2＝90° ∴ AD垂直平分BC 【等腰三角形的頂角平分線垂直平分底邊】

17 ASA全等性質-(1) 如圖，在△ABC與△DEF中，∠A＝∠D、AB＝DE、∠B＝∠E， 則 △ABC全等於△DEF。（記作△ABC　△DEF ） ～ ＝ C F E A B D 疊合比較的驗證： 因為AB＝DE，所以頂點A、D與B、E會分別重合； 因為∠A＝∠D、∠B＝∠E，所以兩個三角形的第二邊與第三邊分別重疊，又不平行的兩相異直線恰有一個交點，所以分別重疊的兩邊所產生的交點（第三個頂點）當然重合。 兩三角形的三頂點分別重合對應邊重合圖形重合全等。 直線可延長不可能「畫完整」，通常以線段表示直線，線段的交點就是直線交點。

18 ASA全等作圖-(2) 已知：線段c 與 ∠1、∠2 求作：以∠1、∠2為兩內角且∠1、∠2的夾邊為線段c的 三角形。
G S P ASA全等作圖-(2) 已知：線段c 與 ∠1、∠2 求作：以∠1、∠2為兩內角且∠1、∠2的夾邊為線段c的 三角形。 2 X Y C c 1 B A (1) 作 AB＝c 。 【確定A、B兩頂點】 (2) 在 AB 同一側作 ∠BAX＝∠1、∠ABY＝∠2 。 【第二邊與第三邊的位置確定，這兩邊有唯一的第三個交點】 (3) 設兩邊交點為C，則△ABC 即為所求。【第三個頂點確定】 三個頂點位置唯一存在，三角形的「圖形」當然唯一確定。

19 應用舉例（ASA）-(3) 將線段（對邊）平移的動態操作可解釋平行四邊形的對邊相等，現在使用「三角形全等性質」的靜態推論敘述如下：
D 如圖，□ABCD是平行四邊形， 　AC是對角線，則 AB＝CD、AD＝CBC B C 在△ABC與△CDA中， ∵ AB//DC、AD//BC 【平行四邊形的定義、平行線性質】 ∴ ∠CAB＝∠ACD、∠ACB＝∠CAD，又 AC＝AC ∴ △ABC　△CDA（ASA） ∴ AB＝CD、AD＝CB （∠B＝∠D，可再推得平行四邊形的對角相等） ～ ＝

20 AAS全等性質-(1) 如圖，在△ABC與△DEF中，∠A＝∠D、∠B＝∠E、BC＝EF， 則 △ABC全等於△DEF。（記作△ABC　△DEF ） ～ ＝ C F E A B D 無法很直觀的透過疊合比較得到兩圖形重合的結論。 可以間接的利用三角形內角和＝180度，計算得出第三個角也會對應相等，則可將 AAS 對應轉換成 ASA 對應相等，此時當然也可得到兩三角形全等的結論。

21 AAS全等作圖-(2) 已知：線段a 與 ∠1、∠2 求作：以∠1、∠2為兩內角且其中一角（ ∠1 ）的對邊為a的 三角形。
G S P AAS全等作圖-(2) 已知：線段a 與 ∠1、∠2 求作：以∠1、∠2為兩內角且其中一角（ ∠1 ）的對邊為a的 三角形。 X Y 1 2 A a 3 C B (1) 作 BC＝a 。【確定B、C兩頂點】 (2) 在 BC 同一側作∠CBX＝∠2、∠3＝180°－∠2－∠1。 【無法直接確定第三邊的位置，故作出∠3。】 (3) 作 ∠BCY＝∠3 。【轉換成 ASA作圖】 (4) 設 BX 與 CY 兩邊交點為 A，則 △ABC 即為所求。 轉換成 ASA 後，三個頂點位置唯一存在，「圖形」唯一。

22 應用舉例（AAS）-(3) 有兩個內角相等的三角形可由「等角對等邊」推得等腰關係。雖然無法由線對稱操作說明，但還是得有分割出兩三角形的「線段」，才能使用「三角形全等」的靜態推論。 △ABC中，∠ABC＝∠ACB ，AD是∠BAC的分角線交BC於D， 　則 AB＝AC （△ABC為等腰） A 在△ABD與△ACD中， ∵ ∠BAD＝∠CAD 【分角線】 ∠ABD＝∠ACD 【已知】 AD＝AD 【公共邊，本身＝本身】， ∴ △ABD　△ACD（AAS） AB＝AC ， ∴ △ABC為等腰。 ～ ＝ 因為「大角對大邊」、「大邊對大角」，所以「等角對等邊」、「等邊對等角」。 B C D

23 RHS(斜股)全等性質-(1) 如圖，在直角△ABC與△DEF中，AB＝DE、BC＝EF， 則 △ABC全等於△DEF。（記作△ABC　△DEF ） ～ ＝ F C D A B E 無法很直觀的透過疊合比較得到兩圖形重合的結論。 可以間接的利用「商高定理」，計算得出 AC＝DF （AC2＝BC2－AB2＝EF2－DE2＝DF2，第三個邊也會對應相等） ，則可將 RHS 對應轉換成 SSS 或 SAS 對應相等，此時當然也可得到兩三角形全等的結論。

24 RHS(斜股)全等作圖-(2) 已知：直角三角形的斜邊a 與 一股的股長b 求作：此直角三角形。
G S P RHS(斜股)全等作圖-(2) 已知：直角三角形的斜邊a 與 一股的股長b 求作：此直角三角形。 Y B a X C b A (1) 作 ∠XAY＝90° 。【任作兩垂直線，頂點A確定】 (2) 在AX邊上取 AC＝b 。【第二個頂點C確定】 (3) 以 C 為圓心，線段a長為半徑，畫弧交AY邊於 B 點。 連接 BC，則 △ABC 即為所求。【第三個頂點B確定】 三個頂點位置唯一存在，三角形的「圖形」當然唯一確定。

25 應用舉例（RHS）-(3) 角平分線上任一點到該角兩邊的距離相等；反之，若角內一點到該角兩邊的距離相等，則此點必在該角的分角線上。
「反之」部分使用「全等性質」的靜態推論敘述如下： P點在∠ABC內部，PD⊥BA、PE⊥BC，且PD＝PE 　則 P點必在∠ABC的分角線上 A D (1) 連接BP，在△PBD與△PBE中， ∵ ∠PDB＝∠PEB＝90° 【垂直】 PD＝PE 【已知】 PB＝PB 【公共邊，本身＝本身】， ∴ △PBD　△PBE（RHS） ～ ＝ P B E C (2) ∠PBD＝∠PBE， ∴ BP是∠ABC的分角線， 即P點必在∠ABC的分角線上。【一個角恰有一條角平分線】

26 SSA不一定全等的作圖-(1) 已知：線段a、b與∠1 求作：以a、b為兩邊長且b的對角為∠1 的三角形。
G S P SSA不一定全等的作圖-(1) 已知：線段a、b與∠1 求作：以a、b為兩邊長且b的對角為∠1 的三角形。 Y C b 1 a A X B A (1) 作 ∠XBY＝∠1 。【第一個頂點B確定】 (2) 在BY邊上取 BC＝a 。【第二個頂點C確定】 (3) 以 C 為圓心，線段b長為半徑，畫弧交BX邊於 A 點。 連接 AC，則 △ABC 即為所求。【沒有唯一的第三個交點】 作出符合條件的兩個不全等三角形，「圖形」沒有唯一。

27 G S P SSA的特例-(2) 由 SSA 作圖可知，所作出的三角形不一定「圖形唯一」，所以 SSA 不可以作為三角形全等的性質。 不過，這兩個線段a的對角，其和正好是180度。 b b b a a b a 1 雖然在特殊條件限制之下「SSA」會全等，但通常還是不拿來當作三角形全等性質使用。 1 其實透過GSP圖檔可知： (1) 若是 線段b＜線段a，則所作出的圖形不唯一； (2) 若是 線段b≧線段a，則所作出的圖形是會唯一的。 而 RHS(斜股)是SSA的特殊例子。（b＞a且∠1＝90°）

28 作者：台北市立金華國中 吳柏卓、楊玉真 謝謝您的瀏覽
謝謝瀏覽　歡迎建議與指教 以可供教師上課使用的教學流程為考量，完全開放式的 PPT 與 GSP 檔，方便依據自己的需求自行加以增減修正。 可讓「備忘稿」成為討論（記錄）教學（學習）心得的地方，不妨善加利用、充實。 當然也非常適合給學生自行（反覆）學習使用。 過程明白了，就會覺得「題目」變簡單了。 謝謝您的瀏覽與指教，祝您教學（學習）愉快。 作者：台北市立金華國中 吳柏卓、楊玉真 謝謝您的瀏覽 結束

29 簡要使用說明 本作品主要以 Power Point 2002 簡報檔呈現 按滑鼠左鍵、右鍵或鍵盤的方向鍵便能持續進行
G S P 簡要使用說明 本作品主要以 Power Point 2002 簡報檔呈現 按滑鼠左鍵、右鍵或鍵盤的方向鍵便能持續進行 GSP是「幾何畫板」數學軟體的簡稱 「大綱（投影片標題）」是學習順序與該頁的說明重點 「備忘稿」可讓您記錄（參考）補充說明或教學心得 再提供適時的gsp圖檔強化或輔助解說過程 『大綱』、『投影片』、『備忘稿』、『gsp圖檔』 四者相輔相成，互補短長。 點選「使用說明」超連結，可呼叫「操作手冊_08.doc」。 當然也可以預先做好與「.gsp」相關的檔案連結（註冊檔案類型）。 再提醒 若未安裝GSP程式，則必須在執行gsp圖檔之前， 先執行「GSP 4.07D.exe」主程式。 首頁

30 講義與學習單 將本單元內容以 A4 版面摘錄、整理，方便自行列印。 講義與學習單是 doc 檔，請使用 Word 開啟。
計有： 講義篇 與 三角形全等作圖 各一張 講義篇可隨時「閱讀」， 而同樣的，「三角形全等作圖」在學習過程中總該 親自做過一次。 首頁

31 GSP 輔助教學的圖檔內容 總計製作下列相關主題內容，併成（Geo_08.gsp）圖檔全集 ，可隨時點選左上角的「GSP」超連結呼叫之。
(9) 四邊形的不穩定性 (8) 三角形的穩定性 (7) SSA 尺規作圖的特例 (6) SSA 尺規作圖 (3) ASA 尺規作圖 (5) RHS 尺規作圖 (4) AAS 尺規作圖 (2) SAS 尺規作圖 (1) SSS 尺規作圖 (0) 設計概念與使用說明 (a) SSS 作圖 (顯示兩全等三角形) 提供「個別」圖檔 與 「圖檔全集」是以方便使用為考量。 首頁

32 GSP 操作使用說明頁 ◎ 圖檔中都有提供「作用按鈕」，每一個都可以滑鼠左鍵點選執行（或取消）動作。
◎ 若任意拖曳之後，執行過程「出狀況」，可能原因是無法產生「交點」，可重新拖曳調整後再執行。 ◎ 按 GSP 視窗的「最小化」按鈕可返回 Power Point 。 ◎ 感謝「九章出版社」同意提供 GSP 4.06D.exe 程式，供此次甄選評審使用。 【原創公司已更新至GSP 4.07D.exe】 ◎ 個人使用請在原創公司（The Geometer‘s Sketchpad®） 下載安裝 DEMO 檔（V4.0版，有使用期限、且無存檔功能），但不影響圖檔的執行。【直接下載 DEMO 檔】 物件：指點、線段、圓、…。 實際手動作圖可能會線段畫的太短，圖檔的設計有時也會如此，比較有「互動性」。 各圖檔都是「嘔心」之作，經過反覆「測試」，邏輯程序合理，但還是可能「出狀況」，此時請「拖曳」到可執行的「位置」與「邊、角」大小，讓「交點」正常存在。 將「圖檔（原始檔）」儲存備份，原始圖檔中物件的位置與大小都是可正常執行的。 首頁