第3章 时域分析法 基本要求 3－1 时域分析基础 3－2 一、二阶系统分析与计算 3－3 系统稳定性分析 3－4 稳态误差分析计算.

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1 第3章 时域分析法 基本要求 3－1 时域分析基础 3－2 一、二阶系统分析与计算 3－3 系统稳定性分析 3－4 稳态误差分析计算

2 基本要求 1 熟练掌握一、二阶系统的数学模型和阶跃响应的特点。熟练计算性能指标和结构参数， 特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性能的计算方法。 2 了解一阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点。 3 正确理解系统稳定性的概念，能熟练运用稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数计算、分析。

3 4　正确理解稳态误差的概念，明确终值定理的应用条件。
5　熟练掌握计算稳态误差的方法。 6　掌握系统的型次和静态误差系数的概念。

4 控制系统的数学模型是分析、研究和设计控制系统的基础，经典控制论中三种分析（时域，根轨迹，频域）、研究和设计控制系统的方法，都是建立在这个基础上的。

5 3－1 时域分析基础 一、时域分析法的特点 它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的时间响应。依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。 这是一种直接方法，而且比较准确，可以提供系统时间响应的全部信息。

6 二、典型初始状态，典型外作用 1. 典型初始状态 通常规定控制系统的初始状态为零状态。 即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状态。

7 ò 2. 典型外作用 单位阶跃函数1(t) î í ì < ³ = t 1 ) ( f 其拉氏变换为： s dt e F )] [ L
t 1 ) ( f 其拉氏变换为： s dt e F )] [ L st ò - 其数学表达式为： t f(t)

8 ò t 单位斜坡函数 ) ( 1 f < ³ î í ì = . 其拉氏变换为： s dt e F )] [ L f(t)
) ( 1 f < î í ì = . 其拉氏变换为： 2 st s dt e F )] [ L ò - f(t) 其数学表达式为：

9 单位脉冲函数 ò 图中1代表了脉冲强度。单位脉冲作用在现实中是不存在的，它是某些物理现象经数学抽象化的结果。 ) ( = ¹ î í ì ¥
) ( = î í ì t f d 其数学表达式为： 其拉氏变换为： 1 ) ( )] [ = s F t f L ò +¥ - = 1 ) ( dt t d 定义： 图中1代表了脉冲强度。单位脉冲作用在现实中是不存在的，它是某些物理现象经数学抽象化的结果。

10 正弦函数 ò f(t) sin ) ( < ³ î í ì = t ωt f 其数学表达式为： 其拉氏变换为： sin ) ( )]
sin ) ( < î í ì = t ωt f 其数学表达式为： 其拉氏变换为： 2 sin ) ( )] [ ω s dt e ω t F t f L st + = ò -

11 三、典型时间响应 初状态为零的系统，在典型输入作用下输出量的动态过程，称为典型时间响应。

12 1. 单位阶跃响应 定义：系统在单位阶跃输入[r(t)=1(t)]作用下的响应，常用h(t)表示。 若系统的闭环传函为 则h(t)的拉氏变换为 故

13 2. 单位斜坡响应 定义：系统在单位斜坡输入[r(t)=t·1(t)]作用下的响应，常用 表示。 则有 故

14 定义：系统在单位脉冲输入 r(t)=δ(t)
3. 单位脉冲响应 定义：系统在单位脉冲输入 r(t)=δ(t) 作用下的响应，常用k(t)表示。 故 注：关于正弦响应，将在第五章里讨论

15 4.三种响应之间的关系 由式(3-1-3)可将式(3-1-1)和式(3-1-2)写为： 相应的时域表达式为

16 四、阶跃响应的性能指标 t ) ( h p 1 s 误差带

17 1、峰值时间tp：指h(t)曲线中超过其稳态值而达到第一个峰值所需的时间。
3、调节时间ts：指响应曲线中，h(t)进入稳态值附近5%h()或2%h()误差带，而不再超出的最小时间。 4、稳态误差ess：指响应的稳态值与期望值之差。

18 3－2 一、二阶系统分析与计算 一阶系统数学模型 定义：由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。 R ( s ) C ( s ) 1 Ts
一、一阶系统的数学模型及单位阶跃响应 定义：由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。 一阶系统数学模型 微分方程： R ( s ) C ( s ) 1 动态结构图： Ts 传递函数：

19 一阶系统单位阶跃响应 输入： 输出：

20 单位阶跃响应曲线 初始斜率：

21 性能指标 1. 平稳性： 非周期、无振荡，  ＝0 2. 快速性ts： 3.准确性 ess：

22 二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应 定义：由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。 二阶系统数学模型 二阶系统的微分方程一般式为：

23 二阶系统的反馈结构图 C ( s ) R ( s ) 二阶系统的传递函数 开环传递函数： 闭环传递函数：

24 s1,s2完全取决于 ，n两个参数。 二阶系统的特征方程为 解方程求得特征根： 当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：
式中 为由r(t)和初始条件确定的待定的系数。

25 ①特征根分析— 　（欠阻尼） 此时s1,s2为一对共轭复根，且位于复平面的左半部。

26 ②特征根分析— （临界阻尼） 此时s1,s2为一对相等的负实根。 s1=s2=-n

27 ⑷特征根分析— （过阻尼） 此时s1,s2为两个负实根，且位于复平面的负实轴上。

28 ⑤特征根分析— （零阻尼） 此时s1,s2为一对纯虚根，位于虚轴上。 S1,2= jn

29 ⑥特征根分析— （负阻尼） 此时s1,s2为一对实部为正的共轭复根，位于复平面的右半部。

30 ⑦特征根分析— （负阻尼） 此时s1,s2为两个正实根，且位于复平面的正实轴上。

31 二阶系统单位阶跃响应 1.过阻尼 二阶系统的单位阶跃响应 取C(s)拉氏反变换得：

32 过阻尼系统分析 衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴近，衰减速度慢；
衰减项前的系数一个大，一个小； 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振荡和超调，但又不同于一阶系统； 离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的影响小，有时甚至可以忽略不计。

33 过阻尼系统单位阶跃响应 t c(t) 二阶过阻尼系统 一阶系统响应 1 与一阶系统阶跃响应的比较

34 二阶过阻尼系统阶跃响应指标分析 对于过阻尼二阶系统的响应指标，只着重讨论 ，
对于过阻尼二阶系统的响应指标，只着重讨论 ， 它反映了系统响应过渡过程的长短，是系统响应快速性的一个方面，但确定 的表达式是很困难的，一般根据（3－1－4）取相对量 及 经计算机计算后制成曲线或表格。

35 2.欠阻尼 二阶系统的单位阶跃响应

36 二阶欠阻尼系统的输出 拉氏反变换得：

37 二阶欠阻尼系统输出分析 二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量组成。稳态分量值等于1，暂态分量为衰减过程，振荡频率为ωd。

38 下图为二阶系统单位阶跃响应的通用曲线。

39 平稳性（％） 下面根据上图来分析系统的结构参数 、 对阶跃响应的影响
下面根据上图来分析系统的结构参数 、 对阶跃响应的影响 平稳性（％） 结论： 越大，ωd越小，幅值也越小，响应的振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之， 越小， ωd 越大，振荡越严重，平稳性越差。

40 当 ＝0时，为零阻尼响应，具有频率为 的不衰减（等幅）振荡。
阻尼比和超调量的关系曲线如下图所示

41 在 一定的情况下， 越大，振荡频率 也越高，响应平稳性也越差。
结论：对于二阶欠阻尼系统而言， 大， 小，系统响应的平稳性好。

42 快速性 从图中看出，对于5％误差带，当 时，调节时间最短，即快速性最好。同时，其超调量<5％，平稳性也较好，故称 为最佳阻尼比。
从图中看出，对于5％误差带，当 时，调节时间最短，即快速性最好。同时，其超调量<5％，平稳性也较好，故称 为最佳阻尼比。 总结： 越大，调节时间 越短；当 一定时， 越大，快速性越好。

43 稳态精度 从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零，而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应稳态误差为零。

44 欠阻尼二阶系统 单位阶跃响应性能指标 1.上升时间 ：令 ，则 所以：

45 2.峰值时间　：　　　 根据极值定理有： 该项不可能为零

46 取n=1得:

47 3.超调量　　： 将峰值时间 代入下式 所以:

48 4.调节时间 写出调节时间的表达式相当困难。在分析设计系统时，经常采用下列近似公式。 当阻尼比 时

49 三、二阶系统举例 设位置随动系统，其结构图如图所示，当给定输入为单位阶跃时，试计算放大器增益KA＝200，1500，13.5时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间tp，调节时间ts和超调量，并分析比较之。

50 例题解析(1) 输入：单位阶跃 系统的闭环传递函数：

51 当KA ＝200时 例题解析(2) 系统的闭环传递函数： 与标准的二阶系统传递函数对照得：

52 当KA ＝1500时 例题解析(3) 系统的闭环传递函数： 与标准的二阶系统传递函数对照得：

53 当KA ＝13.5时 例题解析(4) 系统的闭环传递函数： 与标准的二阶系统传递函数对照得： 无

54 系统在单位阶跃作用下的响应曲线

55 四 改善二阶系统响应的措施 1.误差信号的比例－微分控制

56 系统开环传函为： 闭环传函为： 等效阻尼比： 可见，引入了比例－微分控制，使系统的等效阻尼比加大了，从而抑制了振荡，使超调减弱，可以改善系统的平稳性。微分作用之所以能改善动态性能，因为它产生一种早期控制（或称为超前控制），能在实际超调量出来之前，就产生一个修正作用。

57 前面图的相应的等效结构 由此知道：

58 和 及 的大致形状如下 一方面，增加 项，增大了等效阻尼比 ，使 曲线比较平稳。另一方面，它又使 加上了它的微分信号 ，加速了c(t)的响应速度，但同时削弱了等效阻尼比 的平稳作用。

59 总结：引入误差信号的比例－微分控制，能否真正改善二阶系统的响应特性，还需要适当选择微分时间常数 。若 大一些，使 具有过阻尼的形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。

60 2.输出量的速度反馈控制 将输出量的速度信号c(t)采用负反馈形式，反馈到输入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内回路，称为速度反馈控制。如下图示。

61 闭环传函为： 等效阻尼比： 等效阻尼比增大了，振荡倾向和超调量减小，改善了系统的平稳性。

62 3.比例－微分控制和速度反馈控制比较 从实现角度看，比例－微分控制的线路结构比较简单，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。 从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。 从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，在相同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是其会使系统的开环增益下降，但又能使内回路中被包围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱。

63 五 高阶系统的时域分析 定义：用高阶微分方程描述的系统称为高阶系统。
由于求高阶系统的时间响应很是困难，所以通常总是将多数高阶系统化为一、二阶系统加以分析。 通常对于高阶系统来说，离虚轴最近的一个或两个闭环极点在时间响应中起主导作用，而其他离虚轴较远的极点，他们在时间响应中相应的分量衰减较快，只起次要作用，可以忽略。

64 这时，高阶系统的时域分析就转化为相应的一、二阶系统。这就是所谓的主导极点的概念，将在第四章中详细介绍。
一、二阶系统的极点分布如下：

65 本节主要内容： 线性定常系统稳定的概念 系统稳定的条件和稳定性的判定方法。

66 3－3 系统稳定性分析 一、系统稳定的概念 是指系统当扰动作用消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。
若系统能恢复平衡状态，就称该系统是稳定的，若系统在扰动作用消失后不能恢复平衡状态，且偏差越来越大，则称系统是不稳定的。

67 系统的特征方程的所有根都具有负实部，或者说都位于S平面的虚轴之左。
系统稳定的充分必要条件是： 系统的特征方程的所有根都具有负实部，或者说都位于S平面的虚轴之左。 注：拉氏变换性质中的终值定理的适用条件： SE(S)在S平面的右半平面解析，就是上面稳定条件的另一种表示，即特征方程的所有根Si位于S平面的虚轴之左。

68 二、稳定性判据 劳斯(Routh)判据 系统稳定的充分必要条件是：劳斯表中第一列所有元素的计算值均大于零。 若系统的特征方程为：

69 则劳思表中各项系数如下图：

70 关于劳斯判据的几点说明 如果第一列中出现一个小于零的值，系统就不稳定； 如果第一列中有等于零的值，说明系统处于临界稳定状态；
第一列中数据符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目，即系统中不稳定根的个数。

71 例1 设系统特征方程如下： 试用劳斯判据判断该系统的稳定性，并确定正实部根的数目。

72 解： 特征方程 结论：系统不稳定；系统特征方程有两个正实部的根。

73 劳斯表判据的特殊情况 在劳斯表的某一行中，第一列项为零。 在劳斯表的某一行中，所有元素均为零。
在这两种情况下，都要进行一些数学处理，原则是不影响劳斯判据的结果。

74 例2 设系统的特征方程为： 试用劳斯判据确定正实部根的个数。

75 解： 将特征方程系数列成劳斯表 由表可见，第二行中的第一列项为零，所以第三行的第一列项出现无穷大。为避免这种情况，可用因子(s+a)乘以原特征式，其中a可为任意正数，这里取a=1。

76 于是得到新的特征方程为： 将特征方程系数列成劳斯表： 结论：第一列有两次符号变化，故方程有两个正实部根。

77 例3 设系统的特征方程为： 试用劳思判据确定正实部根的个数。

78 解： 将特征方程系数列成劳斯表 劳思表中出现全零行，表明特征方程中存在一些大小相等，但位置相反的根。这时，可用全零行上一行的系数构造一个辅助方程，对其求导，用所得方程的系数代替全零行，继续下去直到得到全部劳思表。

79 用 行的系数构造系列辅助方程 求导得： 用上述方程的系数代替原表中全零行，然后按正常规则计算下去，得到

80

81 表中的第一列各系数中，只有符号的变化，所以该特征方程只有一个正实部根。求解辅助方程，可知产生全零行的根为 。再可求出特征方程的其它两个根为 。

82 四.结构不稳定及改进措施 某些系统，仅仅靠调整参数仍无法稳定，称结构不稳定系统。 如下图液位可能控制系统。

83 引入比例－微分控制，补上特征方程中的缺项。
该系统的闭环特征方程为： 系数缺项，显然不满足系统稳定的必要条件，且无论怎么调整系统参数，都不能使系统稳定。 消除结构不稳定的措施有两种 改变积分性质 引入比例－微分控制，补上特征方程中的缺项。

84 1. 改变积分性质 用反馈 包围积分环节或者包围电动机的传递函数，破坏其积分性质。

85 2.引入比例－微分控制 在原系统的前向通路中引入比例－微分控制。

86 其闭环特征方程为： 由稳定的充分必要条件： 引入比例－微分控制后，补上了特征方程中s的一次项系数。只要适当匹配参数，满足上述条件，系统就可以稳定。

87 3－4 稳态误差分析计算 一.误差与稳态误差 误差: (1) e(t)=r(t)-c(t) (2) e(t)=r(t)-b(t)
系统的误差e(t)常定义为：e(t)=期望值－实际值 误差: (1) e(t)=r(t)-c(t) (2) e(t)=r(t)-b(t)

88 二.稳态误差的计算 稳态误差定义：稳定系统误差的终值称为稳态系统。当时间t趋于无穷时，e(t)极限存在，则稳态误差为
若e(t)的拉普拉斯变换为E(s) ，且

89 在计算系统误差的终值(稳态误差)时，遇到的误差的象函数 一般是s的有理分式函数，这时当且仅当 的极点均在左半面，就可保证
存在，式 就成立。 sE(s)的极点均在左半面的条件中，蕴涵了闭环系统稳定的条件。

90 对上述系统，若定义e(t)=r(t)-b(t),则E(s)=R(s)-B(s)

91 称之为系统对输入信号的误差传递函数。 称 为系统对干扰的误差传递函数。

92 例：系统结构如下图。当输入信号r(t)=1(t),干扰n(t)=1(t)时，求系统的总的稳态误差
解：① 判别稳定性。由于是一阶系统，所以只要参数 大于零，系统就稳定。 ② 求E(s)。

93 根据结构图可以求出： 依题意：R(s)=N(s)=1/s,则 ③ 应用终值定理得稳态误差

94 三 输入信号作用下的稳态误差与系统结构参数的关系
当系统只有输入r(t)作用时，系统的开环传递函数为： R E C B

95 将G(s)H(s)写成典型环节串联形式：
当sE(s)的极点全部在s平面的左半平面时，可用终值定理求得： 上式表明：系统的稳态误差除与输入有关外，只与系统的开环增益K和积分环节的个数有关。

96 1.阶跃信号作用下的稳态误差 要消除阶跃信号作用下的稳态误差，开环传递函数中至少要有一个积分环节。但是，积分环节多会导致系统不稳定。

97 2. 斜坡信号作用下的稳态误差 要消除斜坡信号作用下的稳态误差，开环传递函数中至少要有两个积分环节。

98 3.等加速信号作用下的稳态误差 要消除等加速信号作用下的稳态误差，开环传递函数中至少要有三个积分环节。但是，积分环节多会导致系统不稳定。

99 系统型别是针对系统的开环传递函数中积分环节的个数而言的。
由以上分析可见，要消除系统在幂函数输入信号作用下的稳态误差，则要求增加积分环节的数目，要减小系统的稳态误差，则要求提高开环增益。 系统型别是针对系统的开环传递函数中积分环节的个数而言的。 =０的系统称为０型系统； ＝１的系统称为Ⅰ型系统； ＝２的系统称为Ⅱ型系统；

100 例：系统结构如下图：若输入信号为 ，试求系统的稳态误差。 解：① 判别稳定性。系统的闭环特征方程为

101 ② 根据系统结构与稳态误差之间的关系，可以直接求
从结构图看出，该系统为单位反馈且属Ⅱ型系统。因此

102 注意事项 系统必须是稳定的，否则计算稳态误差没有意义； 以上结论仅适用于输入信号作用下系统的稳态误差，不适用于干扰作用下系统的稳态误差；
上述公式中Ｋ必须是系统的开环增益，也即开环传递函数中，各典型环节的常数项均为１时的系数。 以上规律是根据误差定义E(s)=R(s)-B(s)推得的。

103 四 干扰作用下的稳态误差与系统结构参数的关系
用一待定的 来代替上图中的 ，然后找出消除系统在干扰n(t)作用下的误差时， 需具备的条件。

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105 以上分析表明， 是误差信号到干扰作用点之间的传递函数，系统在时间幂函数干扰作用下的稳态误差 与干扰作用点到误差信号之间的积分环节数目和增益大小有关，而与干扰干扰作用点后面的积分环节数目和增益大小无关。

106 例：系统结构图如下，已知干扰n(t)=1(t),试求干扰作用下的稳态误差
解：① 判断稳定性。系统开环传函为

107 所以闭环特征方程为 ② 求稳态误差 从图中可以看出，误差信号到干扰作用点之前的传递函数中含有一个积分环节，所以可得出 ，系统在阶跃干扰作用下的稳态误差 为零。

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