计算机问题求解 – 论题1-10 - 函数 2018年11月20日.

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1 计算机问题求解 – 论题 函数 2018年11月20日

2 Part I 函数的概念

3 问题1: “函数”与“关系”有 什么异同？

4 问题2： 是函数吗？

5 问题3： 这里的function与你中学 时熟悉的函数有什么异同？

6 ( See Figure above) 问题4： 你是否能解释一下？

7 问题5: 书中提出了什么问题? 你想 出了什么“自己”的问题吗？

8 问题6： 关于函数自变量的集合只有一 个 (domain)，关于函数值的 集合却有两个 (codomain和 range)，为什么？

9 如何严格证明函数的range?

10 问题7: 你能用下面的例子说明上 述的方法吗?

11 几种特殊的函数 满射 单射（一对一的） 双射（一一对应的）
:AB是满射的：ran=B, iff. yB, xA, 使 得(x)=y 单射（一对一的） :AB是单射的：y ran, !xA, 使得 (x)=y iff. x1,x2A, 若x1x2，则(x1) (x2) iff. x1,x2A, 若(x1) =(x2)，则x1=x2。 双射（一一对应的） 满射+单射

12 几种特殊的函数：例子 问题8: 为什么? :RR, (x)= -x2+2x-1 :Z+R, (x)= ln x, 单射
:RZ, (x)= x, 满射 :RR, (x)= 2x-1，双射 :R+R+, (x)= (x2+1)/x 注意：f(x)2, 而对任意正实数x，f(x)=f(1/x) :RRRR, (<x,y>) = <x+y, x-y>, 双射。 :NNN, (<x,y>) = | x2-y2| 问题8: 为什么?

13 有限集合上一一对应的函数的例子 S={1,2,3}, 可以在S上定义6个不同的一一对应的函数 (每一个称为一个“置换”):

14 Part II 复合函数

15 问题9: 这两个定义有什么关联?

16 问题10:  和 ()(x) 有什么不同?  = { (1,2), (2,3), (3,1) };
 = { (1,3), (2,2), (3,1) };   = { (1,2), (2,1), (3,3) } =  问题10:  和 ()(x) 有什么不同? 顺便问一句，是什么？

17 复合运算保持 函数性质：单射 单射的复合是单射 定理：如果f :AB, g:BC均是单射，则g f:AC也是单射。 证明要点：
若不然，即存在x1,x2A, 且x1x2，使得g f（x1)=g f(x2) ，设 f (x1)=t1, f (x2)=t2， 如果 t1=t2，与f是单射矛盾。 如果 t1 t2，与g是单射矛盾。

18 但是… 若g f是单射，能推出f 和g是单射吗？ 显然，f一定是单射。
若存在t1,t2B, t1t2，但g(t1)=g(t2) , (即：g不是单射！) 只要 t1或者t2 不在f 值域内，则g f 仍然可能是单射。

19 B A C g f

20 问题11: 你能否就其它性质做 类似的讨论?

21 问题12: 这些函数是否都有反函数,各自的反函数是什么? 关于反函数  1  3 2  绕轴翻转 顺时针旋转： 0度：e 120度：
240度： 绕轴翻转    问题12: 这些函数是否都有反函数,各自的反函数是什么?

22 问题13: 你能从直观上想想为什么函数 存在反函数的充分必要条件是 该函数是bijection? 换一个角度看“undo”。

23 问题14： 你能否比较一下函数/反函数 与你熟悉的数/倒数这两组数 学概念之间的关系？
实数的乘法满足交换律，但函数的复合运算并不满足交换律，这个差别对上述讨论有什么影响？

24 左与右 对于 有 问题15： 前面关于反函数的直观想法怎样 成为严格的数学定理？

25 你能说说另外两个结论证明的“路数”吗？

26 问题16： 你能解释一下上述结论吗？

27 课外作业 UD , 13.7, 13.11, 13.13; UD 14.8, 14.12, 14.13, 14.15; UD 15.1, 15.6, 15.7, ; 15.20 UD UD 27.6 (可选)