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第七讲:光源亮度,束流寿命
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课前通知 11月13日,第八讲 误差、高阶效应、不稳定性 11月20日,第九讲 同步辐射光源的子系统 11月27日,讲座:衍射极限储存环光源
12月4日,答疑课 12月11日,考试,按上课时间 14:00-16:00,开卷,请带计算器或笔记本电脑,禁止使用 手机等通讯工具
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本节内容 光源亮度的定义 常见的亮度讨论 束流寿命概述 束流的量子寿命 束流的散射寿命 束流的托歇克寿命
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1. 同步辐射光源的光通量及亮度 光子通量定义为单位时间、单位谱宽、中心锥角内的辐射光子数 The Brightness
of a Light Source 亮度 Brightness = # of photons in given / sec, mrad , mrad , mm2 通量 Flux = # of photons in given / sec From the above definitions, one can see that for a given flux, sources with a smaller emittance will have a larger brightness. 光子通量定义为单位时间、单位谱宽、中心锥角内的辐射光子数
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同步辐射光源的亮度 同步辐射光源的亮度定义为单位相空间体积内的光子通量 对于高斯分布来说,其光谱亮度为 亮度常用单位为:
(与教材相比,差一个系数,物理意义相同) 亮度常用单位为: 光子数/(秒•毫米2 •毫弧度2 • 0.1%带宽) 总光子通量 单位水平角的光子通量 𝑁 𝑝ℎ 是总光子通量,𝑁 ′ 𝑝ℎ 为单位水平偏转角的光子通量; 𝜎 𝑥 , 𝜎 𝑦 为光源尺寸,在电子束的尺寸远大于衍射极限时,它就是电子束团的横向尺寸; 𝜎 𝑥 ′ , 𝜎 𝑦 ′是相空间中的角分布的均方根值,包括电子束和光子束对角分布的贡献。
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Wiggler磁场比较强、周期长度大,相当于有2N个弯铁,辐射不相干
bending magnet wiggler - incoherent superposition undulator - coherent interference Wiggler磁场比较强、周期长度大,相当于有2N个弯铁,辐射不相干 Undulator虽然也有2N个小弯铁,但是辐射相干,与弯铁有所区别
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弯铁的光通量及亮度
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此处认为相同的θ时,对于不同的φ辐射能量相等。
根据经典电动力学,单电子在每单位立体角每单位频率间隔下辐射光的能量为 其中:ω=2πc/λ,λ为辐射波长, 为电子到观测点的单位矢量 注意国际制单位与高斯单位制有4πε0的区别,此处为国际制单位 当粒子在圆形加速器中的x-y水平面运动时,瞬时曲率为ρ,单位矢量n选在x-z平面上,n与x的交角为θ。当θ很小时,才会有较强的辐射。 此处认为相同的θ时,对于不同的φ辐射能量相等。 大omega为立体角;
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因此,单电子在每单位立体角每单位频率间隔下辐射光的能量为
∥ ∥ 其中临界角频率为 精细结构常数 单个光子的能量为 则,多电子在单位时间单位立体角单位频率间隔下辐射的光子数为
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多电子在单位时间单位立体角单位频率间隔下辐射的光子数为
上式中dΩ为立体角, dΩ =dφdθ 对上式θ进行积分,可得到单位时间、单位水平偏转角内辐射的光子数 此处直接给出积分的结果: 上式即电子束通过弯铁,在单位时间、单位水平偏转角内辐射的光子数(通量)
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弯铁辐射亮度 根据上式,我们就可以得到弯铁的辐射光谱曲线 水平方向,要考虑由于辐射产生的光子尺寸σr
垂直方向(高斯分布),要考虑由于辐射产生的光子束角散度σθ 根据上式,我们就可以得到弯铁的辐射光谱曲线
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Undulator的光通量及亮度
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undulator辐射原理
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undulator辐射原理 显然K值越大电子扭摆的幅度越大, 通常的波荡器参数K<2,K>10成为Wiggler
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undulator辐射原理
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undulator辐射原理
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undulator辐射原理 波荡器的磁极间隙可调,即磁场可调,因此K值可调,轴上的自发辐射光可调,而且可以利用高次谐波。
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Undulator光通量的计算 依然使用原始公式,单电子在每单位立体角每单位频率间隔下辐射光的能量为 式中的相关量为: r
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光子通量定义为单位时间、单位谱宽、中心锥角内的辐射光子数Nph
单电子在轴上的辐射强度为: 光子通量定义为单位时间、单位谱宽、中心锥角内的辐射光子数Nph 立体角的计算 则,多电子在单位时间单位立体角单位频率间隔下辐射的光子数为
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𝜎 𝑟 , 𝜎 𝑟 ′ 分别是衍射极限的光子束尺寸和散角
亮度定义为单位相空间内的辐射光子通量 (单位为s-1mm-2mrad-2/0.1%带宽内的光子数) 𝜎 𝑟 , 𝜎 𝑟 ′ 分别是衍射极限的光子束尺寸和散角
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2. 束流寿命概述 直观来说,束流寿命就是电子束流在储存环中保 存的时间 本章只考虑单束团情况不考虑多束团效应
不考虑对寿命影响非常剧烈迅速的情况 只考虑对寿命影响相对比较平缓的情况 且这个影响的分布在时间上是随机的 定量描述:电子数目损失到其初始数目一定比例所 需的时间(1/2寿命或1/e寿命)。通常所讲的束流 寿命指的是1/e寿命(1/2.718)
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储存环中带电粒子在磁场作用不断地辐射同步光, 并从高频电场补充能量,在辐射激发和阻尼平衡 状态下,束团中电子横向和纵向分布均为高斯分 布
由于真空管道尺寸和高频电压都为有限值,横向 和纵向的接受度都有限,位于束流高斯分布尾部 的那部分粒子将不断丢失,造成有限的束流寿命 我们把束团内电荷量减少到原来1/e (e为自然常数) 所用的时间定义为束流寿命
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By defining the lifetime t as:
若不同的效应之间没有相关性,则它们各自导致 的粒子损失可以用相似的方法分别定义,总的束 流寿命可以通过将各个部分的贡献求和得到 这样,就可以分别研究各种效应的束流寿命 By defining the lifetime t as:
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导致束流丢失的效应 β振荡或同步振荡的噪声 量子效应—量子寿命 光子发射导致横向位移超出限制 光子发射导致能量变化,电子跃出相稳定区
与残余气体散射作用(弹性、非弹性)包括电子与原子核的 卢瑟福散射、轫致辐射,与壳层电子间的碰撞 电子束团内电子之间的碰撞(Touschek效应、 IBS ) 离子俘获效应 ……
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将束流寿命看做一个常数:简化处理 大多数储存环中,束流寿命依赖于流强 目前,Touschek效应是多数储存环束流寿命的主要贡献, 而Touschek效应导致的电子损失随着流强降低而减少,因 此束流寿命相应增加; 另外,高流强时的同步辐射导致真空室更高的气体解析出 来,从而提高了真空室内的气体压力,导致电子与气体之 间的碰撞损失增加,同时也具有更强的离子俘获效应,这 些都会降低束流寿命 但只要束流流强的变化不是太大、太剧烈,将寿命作为一 个常数处理是合理的,所以被广泛采用
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束流寿命实例 DESY, electron/proton collider.
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3. 量子寿命 量子寿命—一般只对电子考虑 横向量子寿命 真空室尺寸——定义 纵向量子寿命 由量子效应决定的电子束寿命称为量子寿命。
储存环中的电子,由于发射光量子,其横向位移发生变化。由于量 子发射而位移超过真空室尺寸的电子将会与真空室壁碰撞而损失。 量子发射除了引起横向振荡的反常涨落之外,也能引起能量振荡 的反常涨落而造成电子越出相稳定区而丢失,这也是一种量子寿 命,与电子能量和高频参数有关。 横向量子寿命 真空室尺寸——定义 纵向量子寿命
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横向振荡的量子寿命 电子的横向分布:电子在储存环中任意方位s上,电 子的横向分布具有高斯分布的形式 W(u)为横向分布函数 为均方根偏差值
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关于分布的讨论 用W(u)这个分布函数来描述电子的横向分布只是 一种近似。因为这种分布可以延伸到正负无穷远 处,而真空室的尺寸是有限的。但只要真空室的横 向孔径处处比束团尺寸σu大得多,则用高斯分布 来描述是足够精确的
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量子寿命的定义 量子寿命是由于量子发射使电子数目减少到1/e倍 的时间 积分便可得到
如果真空室的孔径足够大,以致于电子直接碰壁的机会 很小,则由于量子发射而损失的几率对于所有的电子都 是一样的。因此,其损失率正比于真空室内的储存电子数 目N。单位时间内,每个电子损失的几率为: 要计算量子寿命,就要推导电子损失率。 是量子寿命 积分便可得到
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考虑所有条件来精确计算量子寿命是相当复杂的 计算在寿命足够长的情况下的量子寿命
只考虑储存环上最感兴趣的限制条件下,结果足够精确 先考虑横向的量子寿命,再考虑纵向量子寿命 径向简化:只有横向振荡,无能散导致的展宽 无辐射效应的包络: 考虑辐射效应时,包络会随时间随机变化,但是其变化的时间尺度要远长于回旋周期—包络是全环整体变大变小的 假定在任一方位元s1增加一个限制孔径。则包络变化时将首先遇到这个限制孔径,所有的损失都将在其上发生
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横向振荡的有效能量的度量 在任一方位S1处,横向振荡位移为 在真空室无穷大的条件下 定义 为振荡的有效能量的度量
定义 为振荡的有效能量的度量 量子激发与辐射阻尼效应使W有一个缓慢的变化过程 (束流的动态平衡) 在真空室无穷大的条件下 h(W)为电子随W的分布,则W到W+dW之间的电子数为
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振荡能量大于临界能量的电子数目为 真空室为有限尺寸的情况下,假设真空室的孔径限制临界能量为 ,则能量大于它的电子都将损失掉。
真空室为有限尺寸的情况下,假设真空室的孔径限制临界能量为 ,则能量大于它的电子都将损失掉。 振荡能量大于临界能量的电子数目为 与h(W)具有相同的分布
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量子寿命估算 粗略来说,量子涨落的“弛豫时间”(电子得到一个新的分布 的时间)等于横向阻尼时间常数,在每个阻尼时间内损失的 电子数目是理想分布中能量大于临界能量的电子数目。因 此单位时间内电子的损失为: 量子寿命为:
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足够精确的求解方式 量子寿命的精确求解需要写出h(w)的方程,并给出近似的 边界条件,采用数值方法求解
不采用这种方法,采用近似求解,给出足够精确的结果 考虑如果没有真空室的限制时,在区域W0>><W>附近电子 的行为 首先,该处电子存在的几率非常小 稳定情况下,如果在W0处观察电子的分布,可以看到尾部 的电子通过W0进入W<W0区域,而由于量子涨落,相同通量 的电子又会进入W>W0区域
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电子的通量 对于任何电子,由于辐射阻尼 因此,由于辐射阻尼,电子通过W0的通量为 如没有孔径限制,稳定情况下,左右通过W0的净通 量为0
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损失率 考虑实际孔径的限制,对足够大的孔径来说,分布 的主体部分受到的影响很小
这样可以认为向外的电子通量不受孔径的影响, 与没有孔径的情况一样 向内的通量为0 对于 ,就可以估计损失率
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横向量子寿命(1) 真空室能量尺寸 令
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横向量子寿命(2) 与前面估算差一个系数。 两者差别可要认为弛豫时间被这个因子减小了。
这是由于对于短时间内统计来说,尾部的电子与 主体部分电子相比,较大的涨落将占用更多的阻 尼时间部分
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Break
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能散对径向量子寿命的影响 前面讨论的 事实上是 对束团尺寸也有贡献,两个阻尼时间相差约为 1倍。 所以计算时可以取 为真实束团尺寸, 为
前面讨论的 事实上是 对束团尺寸也有贡献,两个阻尼时间相差约为 1倍。 所以计算时可以取 为真实束团尺寸, 为 和 之间的一个数,给出估算 也可取 和 中的最小值,给出一个保守的估 计结果 垂直方向没有能散影响
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临界尺寸(1) 由量子寿命公式可见,量子寿命随真空室尺寸的 平方指数变化 存在一个真空室尺寸W 这个临界尺寸出现在
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设计时一般取10σu为真空室尺寸,以保证具有足够的量子寿命
临界尺寸(2) 临界尺寸对应于 合肥光源 ,在 从4~10取值时: 设计时一般取10σu为真空室尺寸,以保证具有足够的量子寿命
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真空室尺寸 真空室的横向尺寸是根据束流的量子寿命确定的。 当真空室的横向尺寸大于束团σ的6倍,寿命就可 以较长
一般设计中,取10σ为真空室的尺寸 考虑到磁铁公差引起的闭轨畸变,真空室的半宽度和半高度 和 分别为径向和垂直方向的闭轨畸变值
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2.2 纵向振荡的量子寿命 量子发射同样会引起能量振荡振幅的反常涨落, 导致电子越出相稳定区而丢失,这就是能量振荡 的量子寿命
能量振荡相当于理想粒子在势阱中的运动 势阱的一个边是具有有限高度的“山包”,如果电 子能量偏差较大,以致于可以越过这个“山包” , 则电子将会丢失
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大能量振荡:纵向势阱图
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横坐标是时间 纵坐标是虚构的振荡能量位势,相应动能为 H表示振荡总能量 电子H小于 被势阱俘获而稳定,反之丢失 位能 该时刻能量偏差
最大能量偏差
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已经给出能量振荡的幅度的平方满足一个指数式 分布,其中W是幅度的平方,也就是ε2,正比于总 能量H
如果f(H)dH表示总振荡能量处于H与dH之间的电 子数,那么 其中
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纵向量子寿命 真实情况下,任何电子的时间位移一旦大于τmax, 也就是说它的能量H> ,电子就会损失掉 我们期望实际的分布在τmax处降为0
即 ,量子激发导致电子持续损失 与横向类似
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因为 量子寿命是粒子数衰减到1/e的时间 量子寿命
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为同步振荡的阻尼时间常数, 是与储存环的参数有关的一个数。对于等磁场弯铁和正弦型高频电压的储存环,有
最大能量偏差 其中 能散的标准偏差 为同步振荡的阻尼时间常数, 是与储存环的参数有关的一个数。对于等磁场弯铁和正弦型高频电压的储存环,有 其中h为谐波数 , 为常数,F(q)为能量孔径函数 为过电压系数
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纵向量子寿命举例 一般 足以保证足够的量子寿命 合肥HLS 4 5 6 7 8 9 10 2s 118s 5.6h 2700h
一般 足以保证足够的量子寿命 合肥HLS 4 5 6 7 8 9 10 2s 118s 5.6h 2700h 3.8X106h 1.5X 1010h 1.6X 1014h
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4 束流的散射寿命 束流的真空寿命,是指束流的粒子与真空室中的残余气体 的分子或原子发生碰撞而引起的束流损失所限制的寿命
弹性散射与非弹性散射 弹性散射:储存电子被横向散射,增加自由振荡幅度,如变化足够大, 电子会损失 非弹性散射:电子由于辐射损失能量或传递能量给气体原子,导致跃 出能量接受度而损失 残余气体的原子核对束流电子的散射 弹性散射:卢瑟福散射(库伦散射) 非弹性散射:轫致辐射 残余气体的核外电子(壳层电子)对束流电子的散射 束流真空寿命与真空室的真空度直接相关
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原子核对束流电子的弹性散射(卢瑟福散射)
如果在散射过程中初始电子损失能量极少,电子方向可能改变,其能量基本上仍是相同的,就被描述为弹性散射。散射过程中两粒子间只有动能的交换,粒子类型、内部状态和粒子数量无变化。 否则为非弹性散射 剩余气体的原子核对束流电子的弹 性散射可导致束流粒子横向的一个 偏角 如果偏转后电子的横向运动幅度超 过真空室的孔径限制,导致电子丢 失
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散射截面 scattering cross section 描述微观粒子散射概率的一种物理量。又称碰撞截面,简称截面。一种运动中的粒子碰撞另一种静止粒子时,如果在单位时间内通过垂直于运动方向单位面积上的运动粒子数为1,静止粒子数也是1,则单位时间发生碰撞的概率称为碰撞截面 截面的量纲与面积的量纲相同 ,单位是靶恩,1靶恩=10-28米2。如果碰撞为弹性散射,相应的截面称为弹性截面,如果碰撞为非弹性散射,相应的截面称为非弹性截面。根据粒子散射截面的分析可获得许多有关粒子的信息。
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发射散射的地点是任意的,βi取<β>
卢瑟福散射损失截面 设真空室半孔径为H Ai>=H:电子丢失 发射散射的地点是任意的,βi取<β> 得到损失截面 可以看到束流电子在残余气体原子核上的损失截面与电 子相对能量的平方成反比,能量越低的环,散射截面越 大。残余气体的原子序数越大,散射截面也越大(与教材 公式相差一个系数) 对不平滑真空室,有 魏德曼估算库伦散射寿命的公式(aAcc接受度)阿拉丁环 𝜏 𝑐𝑜𝑢𝑙 =10 𝐸 0 2 𝑎 𝐴𝑐𝑐 𝑃 𝛽 ,其中p: nTorr,a mm.mrad,β m(更危险的方向)
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轫致辐射 储存环的电子通过剩余气体时,与原子核作用。轨道发生 偏转,放出电磁辐射,称为轫致辐射 非弹性散射,造成能量损失
当能量损失足够大时,电子越出能量接受度范围而丢失 如果辐射位置色散不为0,就会激励起一个自由振荡,如其幅度够大, 电子也会丢失 总损失截面 能量偏差做出两部分贡献: RF的接受度εrf 能量损失导致β振荡过大,电子丢失 取两者中较小的,εrf为决定因素,εrf<<1
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电子与剩余气体原子的壳层电子的散射 电子与剩余气体原子的壳层电子的散射过程中,入射电子 可以将部分能量转移给核外电子。是一个准弹性散射过程
循环束流粒子的能量再次损失时,如果能量偏差大于接受 度,就会丢失。其损失截面为 电子与剩余气体原子的壳层电子的散射中,壳层电子被激 发,并伴随光子的辐射,是一个非弹性散射过程 其损失截面为
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束流的总真空寿命 四种与真空度有关的束流寿命定义为 p为储存环中剩余气体气压,同步辐射打在室壁上放气 总真空寿命
无束流时的气压+正比于流强的效应 总真空寿命 弹性散射与能量正相关,非弹性散射与能量无关或负相关 低能环以弹性散射为主,高能环以非弹性散射为主 剩余气体分子的密度 真空物理 束流流强 与气体解吸有关的出气率 光电解吸,大立体角光电子使气体分子溢出
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4. 托歇克寿命 Touschek效应是电子束团内部电子与电子之间的 大角度库仑散射导致的损失机制
如电子动量变化超出相稳定区的范围,则电子将 会丢失 这个效应是1963年法意学者在意大利250MeV正负 电子对撞机ADA上发现的,Touschek对其机制解 释而命名 由于Touschek效应导致束流减少到1/e所需的时间 为Touschek寿命
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Touschek效应 Touschek效应是当今同步辐射源亮度的一个限制因素 横向动量—>纵向动量!
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Touschek效应 Touschek效应使电子纵向动量发生变化的量级为 能量接受度的量级
粒子在横向是高斯分布的,所以会有更大的能量 变化出现 Touschek效应使电子具有一定的损失速率 储存环中电子束流一般是扁平束,垂直束团尺寸 远小于水平方向的,所以一般忽略垂直方向的 Touschek效应
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我们在第二章中已经得到纵向运动的相稳定区的公式:
如果上式中的电子能量用动量来表示的话,有 式中 为粒子的总动量, 是粒子的最大动量偏差,由高频电压决定
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当q值足够大时,F(q)/q值趋向2,即
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束团中电子的横向运动速度是非相对论性的 假定任意两个电子ei和ek的径向速度分别为vi和vk,则二者 间的相对速度为v= vi-vk 这对电子组成的质心系中,电子的动量qjm0c,则对质心的 相对动量为 𝑞 𝑗 = 𝑣 2𝑐 从这里开始,动量都用无量纲的相对动量表示 如果这对电子发生弹性碰撞,则碰撞后电子获得纵向动量 分量 𝑞 𝑗 cos 𝜓 实验室坐标系中是𝛾 𝑞 𝑗 cos 𝜓
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横向运动是非相对论性的,因此,按照Moller公式, 在散射角θ上的有效微分散射截面
因此,如果 亦即 则:电子越出相稳定区,丢失 横向运动是非相对论性的,因此,按照Moller公式, 在散射角θ上的有效微分散射截面 其中 cos 𝜃 = sin 𝜓 cos 𝜙 dΩ= sin 𝜓 d𝜓d 𝜙
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总的有效散射截面 当束团中电子的径向动量是高斯分布时,可以得 到
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这里,C(ε)为与储存环束流的能量、能散和高频 参数有关的函数
C 𝜀 =𝜀 𝜀 ∞ 1 𝑢 2 𝑢 𝜀 − 1 2 ln 𝑢 𝜀 −1 e −𝑢 d𝑢 当𝜀<10-2, C 𝜀 ≈ ln 𝜀 −1.5
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对时间求导:在一个束团的体积元dV中,包含有dN 个电子,它因弹性散射而损失的几率为
其中ρ为电子密度dN/dV 因此也可以写成 这样,整个束团中的电子的损失率
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此式在以碰撞点为坐标原点建立的特殊的束团坐 标系s下成立
因此,弹性散射决定的寿命 此式在以碰撞点为坐标原点建立的特殊的束团坐 标系s下成立 除以γ,实验室坐标系下的束流寿命 其中, ρ L = 𝑁 𝑏 2π 3/2 δ𝑥δyδ𝑙 𝑒 − 𝑥 δ𝑥 𝑦 δ𝑦 𝑙 δ𝑙 2
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这样, 此处(Vb)L为实验室坐标系下电子束团的体积,在 束团坐标系s中则有 又因为 代入τL
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最后可以得到实验室坐标系下的束流寿命 这里,re为电子经典半径,c为光速 N 束团粒子总数(教材上说是束流粒子总数) δpx 径向相对动量偏差(乘以m0c为实际值) Δprf 高频的最大动量接收度(相对) h 高频谐波数 其他值在前面已经给出过定义
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多重托歇克效应 在能量较高的储存环中,计算出来的托歇克寿命与实验测 量值符合得较好。但储存电子的能量较低时,则计算值比 实际测量值小得多
这是因为,储存能量较低时,碰撞粒子之间的动量交换较 小,一次碰撞而引起的纵向动量变化也较小,不足以导致 电子越出相稳定区损失掉 经过多次碰撞该电子才会越出相稳定区而丢失; 多次碰撞过程,激发横向振荡和纵向振荡,使得束团的截面变大、体 积和能散度增加。其结果导致束流的托歇克寿命的增加 这是为什么储存电子能量较低时实际的托歇克寿命比理论 计算值大得多的合理解释 电子经过多次碰撞才会损失的效应叫多重托歇克效应
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IBS(问题的引入) 多重Touschek寿命,也被 称为IBS效应
A.Piwinski对整个理论进 行了总结,并将多重 Touchesk效应命名为 Intrabeam Scattering(IBS) 寿命的修正,可课外阅读 课本的参考文献 多重托歇克效应或称IBS 效应是中低能量、低发射 度储存环集体效应中的重 要研究对象
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作业五 讨论:对一个储存环同步辐射光源,怎样获得高亮 度和比较长的束流寿命? 论述成理即可,不要求符合前沿加速器设计的实际构思
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