將討論柱的特性及一些設計柱之方法，本章一開始先概述挫曲的觀念，接著探討讓理想柱 (ideal column) 產生挫曲所需之軸向負載的大小。對柱的彎曲做更詳細地分析。柱之非彈性挫曲也以一特例呈現出。探討一些方法，用來設計那些以一般工程材料製成而承受集中力或偏心負載的柱。

Presentation on theme: "　　將討論柱的特性及一些設計柱之方法，本章一開始先概述挫曲的觀念，接著探討讓理想柱 (ideal column) 產生挫曲所需之軸向負載的大小。對柱的彎曲做更詳細地分析。柱之非彈性挫曲也以一特例呈現出。探討一些方法，用來設計那些以一般工程材料製成而承受集中力或偏心負載的柱。"— Presentation transcript:

1 　　將討論柱的特性及一些設計柱之方法，本章一開始先概述挫曲的觀念，接著探討讓理想柱 (ideal column) 產生挫曲所需之軸向負載的大小。對柱的彎曲做更詳細地分析。柱之非彈性挫曲也以一特例呈現出。探討一些方法，用來設計那些以一般工程材料製成而承受集中力或偏心負載的柱。

2 細長構件若承載一軸向壓力則稱之為柱 (column)，而產生之側向撓度稱為挫曲 (buckling)。
第13章 柱 的 挫 曲 540 13.1　臨界負載 　　細長構件若承載一軸向壓力則稱之為柱 (column)，而產生之側向撓度稱為挫曲 (buckling)。 　　當一柱將產生挫曲之邊緣時所能支撐的最大軸向負載Pcr 稱為臨界負載 (critical load)

3 第13章 柱 的 挫 曲 540 彈簧將產生一回復力 F = k ，如插銷的自由體圖13-2(c) 所示，而作用力 P 產生兩個水平分量 Px = P tan  將插銷 ( 和桿子 ) 推離平衡位置。因為  很小，故  =  (L/2) 且 tan    ，因此彈簧的回復力變為 F = k L / 2，而擾亂力為 2Px = 2P  。

4 kL / 2 > 2P  ，其中 可互消並解出 P 值，得
第13章 柱 的 挫 曲 541 kL / 2 > 2P  ，其中 可互消並解出 P 值，得 穩定平衡 另外，如果 kL / 2 < 2P  ；或 不穩定平衡 kL / 2 = 2P  解出的中間 P 值即為臨界負載，即 中立平衡

5 第13章 柱 的 挫 曲 541 13.2　插銷支承之理想柱 考慮此柱為一理想柱，即柱在承載前是直的，並由均質材料所製成，且負載作用通過柱截面之形心。再假設材料呈線彈性行為，而且柱在單一平面上挫曲或彎曲。

6 為了求得柱的臨界負載和挫曲形狀，我們使用式 (12-10)；即描述柱中彎矩與撓度曲線關係之方程式，
第13章 柱 的 挫 曲 542 為了求得柱的臨界負載和挫曲形狀，我們使用式 (12-10)；即描述柱中彎矩與撓度曲線關係之方程式， (13-1) 回顧此式假設彈性曲線的斜率很小 ，且撓度僅由彎曲所造成。當柱在圖13-5(a) 之撓曲位置時，柱內彎矩可由圖13-5(b) 自由體圖中使用截面法求得。彎矩 M = P，故式 (13-1) 變成 (13-2)

7 第13章 柱 的 挫 曲 542

8 542 通解為 (13-3) 在 x = 0 處  = 0 ，求出 C2 = 0，x = L 處  = 0 得
第13章 柱 的 挫 曲

9 542 如果下式成立則滿足 另一可能的解答為 或 (13-4) 第13章 柱 的 挫 曲

10 當 n = 1 時得到最小的 P 值，因此柱之臨界負載為
543 此負載有時稱為歐拉負載 (Euler load)，是紀念瑞士數學家Leonhard Euler在1757年首先解出此問題。相對之挫曲形狀由下式定義 　　當 n = 1 時得到最小的 P 值，因此柱之臨界負載為 此處常數 C1 代表最大的撓度 max 第13章 柱 的 挫 曲

11 第13章 柱 的 挫 曲 543

12 第13章 柱 的 挫 曲 543 了解柱會對具有最小慣性矩截面的主軸 ( 最脆弱的軸 ) 產生挫曲是很重要地。例如，像尺之類具矩形截面的柱，將對 a - a 軸而不是 b - b 軸產生挫曲。 方形管與那些具之形狀也常被用於柱。 插銷支承柱的挫曲方程式可重寫為 (13-5) 式中 Pcr = 挫曲開始前，柱上的臨界或最大軸向負載。此負載必不可造成柱中應力超過比例限。 E = 材料的彈性模數。 I = 柱截面積的最小慣性矩。 L = 末端為插銷之柱的未支撐長度。

13 為了設計目的，式 (13-5) 可以 I = Ar2 重寫成更有用的形式，其中 A 為截面積，r 為截面積的迴轉半徑，因此
544 為了設計目的，式 (13-5) 可以 I = Ar2 重寫成更有用的形式，其中 A 為截面積，r 為截面積的迴轉半徑，因此 第13章 柱 的 挫 曲

14 第13章 柱 的 挫 曲 544 (13-6) 從式 求得之柱的最小迴轉半徑，其中 I 為柱截面積 A 的最小慣性矩。 r = 末端為插銷之柱的未支撐長度。 L = 材料的彈性模數。 E = 臨界應力，即柱挫曲前的平均應力。此應力為一彈性應力，因此 cr  Y 。 cr = 式中 式 (13-6) 中的幾何比例 L / r 稱為細長比 (slenderness rario)，是柱之柔度的標準，用以區分柱為長、中或短之方法

15 第13章 柱 的 挫 曲 544

16  臨界負載係柱將產生挫曲之邊緣時，所能承受的最大軸向負載。而此負載表示機構是在中立平衡的情況。
第13章 柱 的 挫 曲 545  柱為承受軸向負載之細長構件。  臨界負載係柱將產生挫曲之邊緣時，所能承受的最大軸向負載。而此負載表示機構是在中立平衡的情況。  理想的柱起始時為完全平直，且由均質材料所製，而所施加的負載會通過其截面的形心位置。  銷接柱會在其最小慣性矩的截面上沿主軸方向產生挫曲。  細長比為 L/r ，其中 r 為截面之最小迴轉半徑。而挫曲將沿著最大細長比的軸向產生。

17 第13章 柱 的 挫 曲 545 13-1