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111 第六章 常態分配 陳順宇 教授 成功大學統計系 陳順宇作
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某次IQ測驗有1萬人參加 平均分數為100分，標準差為15分， 且IQ測驗成績直方圖呈鐘形， 陳順宇作
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我們可以知道 約有6800人的成績在85分到115分之間，約有9500人的成績在70分到130分之間，約有9970人的成績在55分到145分之間， 也可由此推得IQ成績低於55分約有15人，而IQ超過145分的大約有15人 陳順宇作
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中國人常講〝萬一〞， 表示〝一萬次中最多 只有可能一次發生〞的事件為意外， 統計學家則以〝20次實驗中最多 只有1次發生〞，
此種機率低於5%的事件為異常。 陳順宇作
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依統計的說法， 10000人中大約會有500位是異常的， 其中優良者有250位，而不佳者有250位 陳順宇作
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例如，在IQ測驗中 平均分數是100分，標準差為15分， IQ超過130分者為智優， 低於70分者為智劣 陳順宇作
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IQ成績直方圖 陳順宇作
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IQ成績直方圖頂邊中點連線 陳順宇作
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IQ成績次數分配折線圖 陳順宇作
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IQ成績常態分佈圖 陳順宇作
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常態曲線(或高斯曲線) 陳順宇作
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常態曲線圖 陳順宇作
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平均數 陳順宇作
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變異數 陳順宇作
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111 鐘形分佈 陳順宇作
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例6.1、燈泡壽命直方圖呈鐘形 陳順宇作
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標準常態分配及查表 陳順宇作
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標準常態分配密度函數 呈對稱鐘形 陳順宇作
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例6.2 求(1) (1.35) (-2.17) 陳順宇作
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陳順宇作
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圖6.8 標準常態分配函數圖 陳順宇作
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標準常態分配函數有下列性質 (1) P(a Z b) = (b) - (a)。
(2) ab，則 (a) (b)，即是增函數。 (3) (-) = 0，() = 1。 (4) 利用對稱原理 陳順宇作
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陳順宇作
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例6.4、若Z ~ N(0,1)， 求下列各機率值 陳順宇作
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陳順宇作
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陳順宇作
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陳順宇作
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例6.5 陳順宇作
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The teacher spent long time in explaining how to get the answer
陳順宇作
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6.3 資料標準化的應用 陳順宇作
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例6.6產品規格 某產品規格訂為20 1公分， 但製造的產品平均數是m =19.8公分，s=0.5公分。 試問產品中合格的比例是多少？
又問產品中有多少比例是超過規格上界？ 陳順宇作
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陳順宇作
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陳順宇作
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陳順宇作
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陳順宇作
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例6.7 某生國文考80分，數學考60分， 是否此生在班上國文表現比數學好？ 陳順宇作
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陳順宇作
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例6.8成績標準化算法： 某次考試全班考的不理想， 老師想給學生加分， 如何加分才算公平呢？ 陳順宇作
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傳統上有三種做法 (1)所有學生一律加a分 (2)開平方再乘以10，如某生考16分 則開平方再乘以10，加分後變成40分。
(3)分數乘a再加b分， 但問題是a,b如何取才好？ 陳順宇作
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解決之道是利用標準化方式 得標準化成績後乘以a再加b y=ax+b 其中a表示老師想給的全班標準差， b表示老師想給全班的平均分數。
陳順宇作
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例如原先全班平均分數50分、標準差6分 但老師想調為全班平均70分、標準差8分 則某生原先考62分，標準化分數為，
因此加分後得2×8+70=86分。 y=ax+b, b: 5070, a=68, x=(62-50)/6=2 陳順宇作
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例如第五章例5.25 (其中p=0.5、0.2、0.8三個二項分配機率圖 ( 尤其是p=0.5)都像一鐘形
很多離散型隨機變數其機率分配圖 長相也有中間高、兩邊低的現象， 例如第五章例5.25 (其中p=0.5、0.2、0.8三個二項分配機率圖 ( 尤其是p=0.5)都像一鐘形 陳順宇作
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當很大時，以二項分配求 此機率值不容易 陳順宇作
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修正公式 陳順宇作
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The teacher did explain it, about 0.5
陳順宇作
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二項分配線圖 陳順宇作
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P(a≦x≦b)=P(a)+P(a+1)+…+P(b)
陳順宇作
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二項分配長方形面積 陳順宇作
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常態分配近似二項分配 陳順宇作
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The teacher did explain it, about 0.5
陳順宇作
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The teacher did say 要背市公式
陳順宇作
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例6.11、(例5.24續) 分別以 (1)二項分配 (2)常態分配 求 =? 陳順宇作
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二項分配 陳順宇作
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常態分配 陳順宇作
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The teacher did say 要背公式
陳順宇作
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例6.12、 有一選區選民有100000人， 抽樣1067人，調查候選人甲得票率， 若候選人甲真正得票率(開票後)是0.4
求抽樣誤差在3%以內的機率? 即求 陳順宇作
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陳順宇作
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(1) 超幾何分配求機率 陳順宇作
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(2) 二項分配求近似值 陳順宇作
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(3) 以常態分配求近似值 陳順宇作
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上例假設 已知候選人甲的真正得票率=0.4， 計算出抽樣1067人， 抽樣誤差在3%以內的機率， 結果此機率值比95%大一點。 陳順宇作
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下面討論： 不論候選人的真正得票率是多少， 若抽樣1067人， 則抽樣誤差在3%以內的機率至少是0.95 (此機率值亦稱信心水準) 陳順宇作
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例6.13、 若有一選區選民有幾萬人以上， 隨機抽樣1067人， 調查某候選人甲的得票率， 則抽樣誤差在3%以內的機率至少是0.95
陳順宇作
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即 陳順宇作
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由於不論真正得票率是多少，恆有 陳順宇作
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陳順宇作
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所以抽樣人數1067人時， 不論真正得票率是多少， 抽樣誤差在3%以內的機率至少為95% 陳順宇作
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為何拉斯維加斯賭場 莊家永遠是贏家？ 陳順宇作
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例6.14、 請問以此種賭法 (1) 此賭客賭10000次後，莊家贏的機率? (2) 賭客賭10000次後， 莊家贏100元以上的機率?
(1) 此賭客賭10000次後，莊家贏的機率? (2) 賭客賭10000次後， 莊家贏100元以上的機率? (3)此賭客賭10000次後， 莊家贏的錢之期望值 陳順宇作
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表6.1 莊家贏的機率 陳順宇作
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可算出贏200元、300元、…、1000元以上的機率如下 陳順宇作
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賭10000次後莊家平均約贏的錢 陳順宇作
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例6.15、 擲兩個骰子點數和的次數分配直方圖 陳順宇作
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(a) 擲60次 陳順宇作
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(b) 擲600次 陳順宇作
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(c) 擲6000次 陳順宇作
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(d)理論機率圖 陳順宇作
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兩個常態母體之比較 設母體1(如男生)是 、 而母體2 (如女生)是 ， 共有四種情形 陳順宇作
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陳順宇作
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陳順宇作
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陳順宇作
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陳順宇作
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陳順宇作
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陳順宇作
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第六章 摘要 陳順宇作
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常態分佈 1.日常生活中許多資料畫直方圖 其長像都像鐘形，要了解常態分佈 密度函數與平均數、變異數 陳順宇作
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2.標準化： 陳順宇作
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3.標準常態分配查表 了解面積與座標的關係， 並以常態分配對稱性對查表的功用 陳順宇作
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4.校正公式： 以為何莊家永遠是贏家為例說明 二項分配接近常態分配。 陳順宇作
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5. 兩個常態母體合併 了解兩個常態母體合併後不一定為常態， 合併後可能是常態，也可能不是常態， 以此說明當一組資料的直方圖呈雙峰時
其原因可能是某一特性造成(如性別)， 因此有必要做“層別分析” 陳順宇作
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