微分方程数值解 计算科学系 杨韧.

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1 微分方程数值解 计算科学系 杨韧

2 第三章 椭圆型方程的差分格式

3 §3.1 正方形区域中的Laplace 方程 Dirichlet边值问题的差分模拟
设Ω是 xy 平面中的具有正方形边界 的 一个有界区域，考虑Laplace方程的第一边值 Dirichlet ）问题

4 l , m+1 l–1,m l , m l+1 , m l , m–1 网格节点（l ， m） 处的二阶中心差商代替 二阶微商

5 -Ul, m+1 Laplace方程的五点差分格式(3.6)为 截断误差为O(h2)。 -Ul, m–1
-Ul–1,m U l , m -U l+1 , m -Ul, m–1

6 令 则Laplac方程的五点差分格式为（3.8） 即

7 例1 用五点差分格式求解 Laplace方程 在区域 内的近似解，边界值为： 取 。

8 解 网格点如图所示 u(1,4)=180 u(2,4)=180 u(3,4)=180 U7 U8 U9 U4 U5 U6 U1 U2 U3
解 网格点如图所示 u(1,4)=180 u(2,4)=180 u(3,4)=180 U7 U8 U9 U4 U5 U6 U1 U2 U3 u(4,3)=0 u(4,2)=0 u(4,1)=0 u(0,3)=80 u(0,2)=80 u(0,1)=80 u(1,0)=20 u(2,0)=20 u(3,0)=20

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11 矩阵方程AU=K，K由边界条件所确定，解得
U = [U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9]’=A-1K = [ ]T

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13 加密网格，取 h = 0.5

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15 定义向量 为从左到右，自下而上的自然次序排列的未知函 数值，则正方形区域Ω中的内部节点上的(M-1)2 个线性方程 写为矩阵方程 AU=K,其中K由边界条件确定.

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17 §3.2 Neumann边值问题的差分模拟 表示函数 u 沿着边界的外法线方向导数， 在正方形的四个顶点上法向量没有定义，取平均值代替。

18 讨论左边界 x = 0 上的导数边值条件的差分模拟
又由点（0，m）的五点差分格式 消去U-1, m，得 0 , m+1 -1 , m , m , m 0 , m-1

19 边界 x = 0上 (3.14) 边界 x = 1上(3.15) 边界 y = 0上(3.16) 边界 y = 1上(3.17)

20 边界 x = 0 边界x = 1 边界y = 1 边界y = 0 -UM , m+1 -U0 , m+1 4UM , m 4U0 , m
-Ul-1 , M Ul , M -Ul+1 , M -2Ul , 1 -2Ul , M-1 -Ul-1 , Ul , Ul+1 , 0

21 在顶点（0，0）,取偏导数的平均值作为外法线方向 导数 用一阶中心差商代替微商
在顶点（0，0）,五点差分格式为 故 0,1 -1, , ,0 0,-1

22 在四个顶点 （0，0） （0，M） （M，0） （M，M）

23 Nenmann问题 解 网格节点如图所示 例1 在单位正方形区域Ω上解Laplace方程的 U7 U8 U9 顶点 U4 U5 内点

24 矩阵方程为

25 令 则矩阵方程为

26 §3.3 混合（Robins）边值条件

27 例1 用五点差分格式求解 Laplace方程 在区域 内的近似解，边界值为： 取 。

28 解 网格节点如图所示 u(1,4)=180 u(2,4)=180 u(3,4)=180 U10 U11 U12 U7 U8 U9 U4 U5 U6 u(0,3)=80 u(0,2)=80 u(0,1)=80 u(0,0)=80 u(4,3)=0 u(4,2)=0 u(4,1)=0 u(4,0)=0 U U U3

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32 解矩阵方程 AU = K U= [ … … … ]T

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36 作业: 1、 P.115例3.1取h=1/3，利用五点 差分格式写出求解节点上的Ul,m值的线 性方程组及矩阵方程。 2、P.159习题三 2