導數的應用 增函數與遞減函數 相對極值與圖形的描繪 凹性與圖形的描繪 絕對極值 最佳化問題 經濟學與商學上的應用 隱微分法 相關變率

Presentation on theme: "導數的應用 增函數與遞減函數 相對極值與圖形的描繪 凹性與圖形的描繪 絕對極值 最佳化問題 經濟學與商學上的應用 隱微分法 相關變率"— Presentation transcript:

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2 導數的應用 增函數與遞減函數 相對極值與圖形的描繪 凹性與圖形的描繪 絕對極值 最佳化問題 經濟學與商學上的應用 隱微分法 相關變率
線性近似與微分 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

3 遞增函數與遞減函數 觀察下列圖形，我們發現它的圖形在開區間 (- , a) 和 (b,  )裡，圖形由左下角往右上角上升(遞增)；在開區間 (a, b) 裡，圖形由左上角往右下角下降(遞減)。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

4 遞增函數與遞減函數 定義3-1: 設 f(x) 為一函數定義在開區間 I 中。
(a) 若 x1 < x2，則 f (x1) < f (x2)。吾人稱 f(x) 在 I 為遞增函數 (increasing function)。 (b) 若 x1 < x2，則 f (x1) > f (x2)。吾人稱 f(x) 在 I 為遞減函數 (decreasing function)。 遞增函數與遞減函數 設 f(x) = x2，則 f(x) 在 (0, ) 為遞增函數，在 (-, 0) 為遞減函數。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

5 遞增函數與遞減函數 設 ，則 f(x) 在 (0, ) 為遞減函數，在(-, 0) 亦為遞減函數。
商用微績分 Chapter 3 導數的應用

6 判斷函數的遞增與遞減 由函數的定義證明函數為遞增或遞減，此種方法很困難而且不經濟，必須尋求另外的辦法來判斷函數的遞增與遞減。
先考慮遞增的情況。假設f(x) 在 (a, b) 區間為遞增，如右圖所示，我們發現對任意 a < x < b，切線之斜率皆大於 0，即 f '(x) > 0。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

7 判斷函數的遞增與遞減 若 f(x) 在 (a, b) 為遞減，如右圖所示，我們發現對任意 a < x < b，切線之斜率皆小於 0，即 f '(x) < 0。 定理3-1: 一階導數判別函數的遞增或遞減 設 f(x) 為一定義在開區間 I 的可微函數。 (a)若對任意 x 在 I 裡，f '(x) > 0，則 f(x) 在 I 為遞增函數。 (b)若對任意 x 在 I 裡，f '(x) < 0，則 f(x) 在 I 為遞減函數。 (c)若對任意 x 在 I 裡，f '(x) = 0，則 f(x) 在 I 為常數函數。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

8 判斷函數的遞增與遞減 觀察下圖，發現整個圖形發生轉折的點在 x = a, b, c, d，而且 f(x) 在 (- , a) 為遞增，在 (a, b) 為遞減，在 (b, c) 為遞增，在(c, d) 為遞減，在 (d, ) 亦為遞減。另一方面，我們又發現在這些轉折的點，f '(a) = 0 且 f '(b)、 f '(c) 與 f '(d) 都不存在。 結論：求出 f '(x) = 0 或不存在的點 x，我們即可判別 f(x) 在那些區間是遞增或遞減。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

9 遞增函數 設 f(x) = x3 ，則 f (x) 為遞增函數。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

10 決定遞增與遞減區間 設 f(x) = x2 + 2x - 5，決定 f(x) 遞增或遞減之區間。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

11 決定遞增與遞減區間 設 f(x) = x2/3 ，決定 f(x) 遞增或遞減之區間。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

12 決定遞增與遞減區間 設 f(x) = x4 – 4x3 + 5 ，決定 f(x) 遞增或遞減之 區間。
商用微績分 Chapter 3 導數的應用

13 決定遞增與遞減區間 設 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

14 利潤遞增與遞減 某家零售商銷售耳機，其每日銷售 x 個耳機之利潤為 P(x) = -x3 + 45x x 元。求該零售商之利潤遞增或遞減的銷售量區間為何。 解: P'(x) = -3x2 + 90x = -3(x - 50)(x + 20) 所以，純就函數的觀點而言，P'(50) = P'(-20) = 0。因為耳機銷售量必須為正整數，故該零售商每日銷售量介於 0 和 50 間其利潤遞增，銷售量大於 50 時，其利潤遞減。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

15 相對極值與圖形的描繪 在下圖中，我們發現它在 (a, f (a)) 及 (c, f (c)) 為相對的最高點，在 (b, f (b)) 及 (d, f (d)) 為相對的最低點。 在 x = a 附近，f (a) 之值最大，這時候我們稱 f (a) 為 f(x) 之相對極大值 (relative maximum value)，f (c) 亦為 f (x) 之相對極大值。 在 x = b 附近，f (b) 之值最小，我們稱 f (b) 為 f(x) 之相對極小值 (relative minimum value)，同理 f (d) 亦為 f (x) 之相對極小值。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

16 相對極值 定義3-2: f (x) 為一函數且 a 和 b 屬於 f (x) 之定 義域。
若存在開區間 I 包含 a 且對任意 x 屬於 I，f (x) < f (a)，則 f (a) 稱為 f (x) 的相對極大值。 若存在開區間 I 包含 b 且對任意 x 屬於 I，f (x) > f (b)，則 f (b) 稱為 f (x) 的相對極小值。 f (x) 之相對極大值或相對小值統稱為 f (x) 之相對極值 (relative extreme value)。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

17 臨界點 定義3-3: 設 f (x) 為一函數且 c 屬於 f (x) 之定義域。若 f '(c) = 0 或不存在，則 c (或(c, f (c)))稱為 f(x) 的臨界點 (critical point)。 求臨界點 求下列各函數之臨界點。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

18 相對極值之必要條件 在什麼樣的點，f (x)會產生相對極值？
假設 f (x) 在 x = c 產生相對極大值，如下圖，若 f '(c) 不存在(如下圖右)，則沒必要再討論。 若 f ‘(c) 存在(如下圖左)，我們考慮以下二種 情形： 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

19 (1) f '(c) > 0，f (x) 在 x = c 附近為遞增，因此，f (c) 不可能為相對極大值。
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20 相對極值之必要條件 定理3-3: 設 I 為一開區間包含 c 且 f (x) 在 I 上為一連續函數。若 f (x) 在 x = c 產生相對極值，則 x = c 為 f (x) 之一臨界點，即 f '(x) = 0 或不存在。 定理3-3告訴我們如何尋找相對極值，即函數的極值發生在臨界點。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

21 一階導數判別相對極值法 定理3-3: 設 f (x) 定義在開區間(a, b)且 x = c 為 f (x)唯一的臨界點。
(a) 若 x < c 時 f '(x) > 0；x > c 時 f '(x) < 0，則 f (x) 在 x = c 產生相對極大值。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

22 (c) 若在 x > c 與 x < c 時 f '(x) 恆為正或恒為負，則 f (x) 在 x = c 不會產生相對極值。
(b) 若 x < c時 f '(x) < 0；x > c 時 f '(x) > 0，則 f (x) 在 x = c 產生相對極小值。 (c) 若在 x > c 與 x < c 時 f '(x) 恆為正或恒為負，則 f (x) 在 x = c 不會產生相對極值。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

23 求相對極值 求 f (x) = x3 之相對極值。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

24 求相對極值 求 f (x) = 2x2 + 4x - 1之相對極值。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

25 求相對極值 求 f (x) = -x2 + 2 之相對極值。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

26 求相對極值 求 f (x) = x2/3 + 1之相對極值。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

27 求相對極值 求 f (x) = x4 - 4x3 + 1之相對極值。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

28 求相對極值 求 之相對極值。 解: 對任意 x  1，f ‘(x) < 0，故 f (x) 沒有相對極值。 f '(1) 和 f '(-1)不存在，但因 x = 1 不在函數 f (x) 之定義域裡，故 1 不為 f (x) 之臨界點。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

29 如何描繪函數的圖形 我們可以用以下的輔助資料將函數 y = f (x) 的圖形描繪出來：
(a) x 截距(x-intercept)與 y 截距(y-intercept)。 (b) 對稱性(symmetry)。 (c) 水平漸近線與垂直漸近線。 (d) 臨界點。 (e) 遞增與遞減區間。 (f) 相對極值。 (g) 必要時描出一些點以協助繪圖。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

30 描繪函數圖形 描繪 之圖形。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

31 描繪函數圖形 描繪 之圖形。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

32 描繪函數圖形 描繪 之圖形。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

33 描繪函數圖形 描繪 y = f (x) = x3 - 3x 之圖形。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

34 描繪函數圖形 描繪 y = f(x) = x3 - 3x 之圖形。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

35 凹性與圖形的描繪 在3-2節中，我們利用函數的一階導數來判別相對極值及描繪圖形。 現在我們探討二階導數和相對極值及圖形的 關係。
函數 y = f (x) 在開區間 (a, b) 中且只有在 x = c 產生相對極大值，此函數在 (a, b) 中之圖形即所謂的凹向下(concave down)。 在圖形上的點其切線斜率呈遞減狀態，即 f '(x) 為遞減函數，對任意 x 在 (a, b) 中， f ''(x) < 0。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

36 凹性與圖形的描繪 我們探討二階導數和相對極值及圖形的關係。
若 y = f (x) 只有在 x = c 產生相對極小值，則此函數圖形即所謂的凹向上 (concave up) 。 在圖形上的點其切線斜率呈遞增狀態，即 f '(x) 為遞增函數，因此，對任意 x 在 (a, b) 中，f ''(x) > 0。 所以，我們用二階導數來判別函數(或函數圖形)的凹性 (concavity)。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

37 二階導數判別函數之凹性 定理3-4: 設 y = f (x) 定義在開區間 (a, b) 中且對任意 x，f ''(x) 存在。
(a) 若對任意 x 屬於 (a, b)，f ''(x) > 0，則 f (x) 之圖形在 (a, b) 上為凹向上。 (b) 若對任意 x 屬於 (a, b)，f ''(x) < 0，則 f (x) 之圖形在 (a, b) 上為凹向下。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

38 反曲點 定義3-4: 若 (c, f (c)) 為函數 y = f (x) 圖形上的點且改變了函數圖形之凹性，則 (c, f (c)) 稱為函數 y = f (x) 之反曲點 (inflection point)。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

39 反曲點之必要條件 定理3-5: 若 (c, f (c)) 為函數 y = f (x) 之反曲點，則 f ''(c) = 0 或 f ''(c) 不存在。 例如 f ''(c) = 0或不存在的點為 c1, c2, c3, c4 而且下列情況發生: (a) 在 (- , c1) 中，f ''(x) < 0，即 y = f (x) 之圖形凹向下。 (b) 在 (c1, c2) 中，f ''(x) > 0，即 y = f (x) 之圖形凹向上。 (c) 在 (c2, c3) 中，f ''(x) > 0，即 y = f (x) 之圖形凹向上。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

40 (d) 在 (c3, c4) 中，f ''(x) < 0，即 y = f (x) 之圖形凹向下。
(e) 在 (c4, ) 中，f ''(x) > 0，即 y = f (x) 之圖形凹向上。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

41 求反曲點與凹性 求 y = f(x) = x3 之反曲點並討論其圖形之凹性。
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42 求反曲點與凹性 求 y = f (x) = x4 - 2x3 -12x2 + 12x + 1之反曲點並討論其圖形之凹性。
商用微績分 Chapter 3 導數的應用

43 二階導數判別相對極值法 我們發現：若函數 y = f (x) 在 x = c 產生相對極大值，則其圖形必須在 (c, f (c)) 點附近凹向下，如左圖所示，即對任意 x 在 c 點附近 f ''(x) < 0 。 若 y = f (x) 在 x = c 產生相對極小值，則其圖形必須在 (c, f (c)) 點附近凹向上，如右圖所示，即對任意 x 在 c 點附近 f ''(x) > 0。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

44 二階導數判別相對極值法 定理3-6: 設 y = f (x) 在開區間 (a, b) 為可微函數，x = c 為 f (x) 之一臨界點且 f ''(x) 在 (a, b) 上存在。 (a) 若 f ''(x) < 0，則 f (x) 在 x = c 產生相對極大值 f (c) 。 (b) 若 f ''(x) > 0，則 f (x) 在 x = c 產生相對極小值 f (c) 。 (c) 若 f ‘’(x) = 0，則無法判斷。 若 f ''(x) = 0，雖然二階導數無法判別，但我們可以利用一階導數，或者函數本身的性質來判別 f (x) 在 x = c 是否產生相對極值。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

45 利用二階導數判別相對極值 求函數 f(x) = -x2 + 2x + 5 之相對極值。 求函數 之相對極值。 求函數 之相對極值。
求函數 之相對極值。 求函數 之相對極值。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

46 如何描繪函數的圖形 我們再來探討如何利用二階導數來協助我們 繪圖。 (a) 函數的定義域。 (f) 遞增與遞減區間。
(b) x 截距(x-intercept)與 y 截距 (y-intercept)。 (g) 凹性與反曲點。 (c) 對稱性(symmetry)。 (h) 相對極值。 (d) 水平漸近線與垂直漸近線。 (i) 必要時描出一些點以協助 繪圖。 (e) 臨界點。 (j) 根據上述的資料描繪函數 圖形。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

47 描繪函數圖形 描繪 y = f(x) = x3 - 3x2 + 3x + 1 之圖形。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

48 描繪函數圖形 描繪 y = f(x) = x3 - 3x2 + 3x + 1 之圖形。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

49 描繪函數圖形 描繪 y = f(x) = x3 - 3x2 + 3x + 1 之圖形。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

50 描繪函數圖形 描繪 y = f(x) = x4 - 2x2 + 2 之圖形。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

51 描繪函數圖形 描繪 y = f(x) = x4 - 2x2 + 2 之圖形。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

52 描繪函數圖形 描繪 y = f(x) = x4 - 2x2 + 2 之圖形。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

53 描繪函數圖形 描繪 y = f(x) = x4 - 2x2 + 2 之圖形。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

54 描繪函數圖形 描繪 之圖形。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

55 絕對極值 我們常常遇到求某個函數之絕對極大值(absolute maximum value)或絕對極小值(absolute minimum value)。所有這類問題，就數學的觀點，不外求一個函數的絕對極大值或極小值，統稱為絕對極值 (absolute extreme value)。 定義3-5: 設 y = f(x) 為一函數且 c 在 f(x) 之定義 域裡。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

56 (1)若對任意 x，f(x) < f(c)，則 f(c) 稱為 f(x) 之絕對極大值。
(3)若 f(c) 為 f(x) 之絕對極大值或絕對極小值，則 f(c) 稱為 f(x) 之絕對極值。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

57 絕對極值 在下圖中， f(c1) 為絕對極大值且 f(c2) 為絕對極 小值。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

58 絕對極值定理 定理3-7: 若 y = f(x) 為一定義在閉區間 [a, b] 的連續函數，則 f(x) 在 [a, b] 中同時擁有絕對極大值和絕對極 小值。 求絕對極值 求 f(x) = x2 在 [-2, 3] 之絕對極值。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

59 求絕對極值 求 f(x) = -x2 在 [-2, 3] 之絕對極值。 求 f(x) = x3 在 [-2, 3] 之絕對極值。
商用微績分 Chapter 3 導數的應用

60 絕對極值 對定義在閉區間 [a, b] 的連續函數 f(x) 而言，其絕對極值可能發生在端點 a 和 b 或者在 [a, b] 的內部，即開區間 (a, b) 中。若發生在 [a, b] 之內部，則此點亦必須是相對極值發生的地方。因此，我們用以下的方法來求絕對極值：設 y = f(x) 為一定義於 [a, b] 之連續函數。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

61 (1) 求出 f(x) 在開區間 (a, b) 之所有臨界點；例如：c1，c2，...，cn 為 f(x) 在 (a, b) 中之臨 界點。
(2) 算出 f(a)，f(c1)，f(c2)，...，f(cn)，f(b)。 (3) 在(2)中之最大數即為 f(x) 在 [a, b] 之絕對極大值，最小數即為 f(x) 在 [a, b] 中之絕對極 小值。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

62 求絕對極值 求 y = f(x) = x4 - 4x3 + 1在 [-2, 4] 之絕對極值。
商用微績分 Chapter 3 導數的應用

63 最佳化問題 在應用領域裡，常會遇到求某個函數的最佳解，例如：最小成本，最大利潤，最少的工作時間等等。所有這些問題我們統稱為最佳化問題 (optimization problem 或 maximum-minimum problem)。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

64 設 x，y 為非負的數且 x + y = 50。求 xy 之最 大值。
求最大乘積 設 x，y 為非負的數且 x + y = 50。求 xy 之最 大值。 求最大面積 某人擁有500公尺的籬笆沿著一條河流圍成一塊長方形的土地，沿著河流不使用籬笆，求其所能圍出來的最大面積。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

65 最佳化問題 某人將一邊長為 24 公分之正方形鐵片，由四個角落切去一小正方形構造出一個無頂蓋的長方體鐵盒子，如圖所示。試問如何切除角落的小正方形使其體積最大。 解: 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

66 最佳化問題--求最大利潤 某家高級歐式自助餐廳經理人經由長期市場調查發現當每客定價 p 元時其每天晚餐之需求量為 x = p 客。同時餐廳為了滿足所有顧客之需求，提供 x 客晚餐之成本為 C(x) = x 元。求餐廳經理人應把每客價錢定為多少時其每天的利潤最大。 解: 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

67 經濟學與商學上的應用 求最大利潤 某一手機經銷商若以每支6000元每週可賣出50支手機。經營者估計若每支降價200元時，每週可多賣出10支手機。每支手機之成本為3000元。 (a) 求價格函數。 (b) 求銷售量函數。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

68 (c) 求手機單價定為多少及銷售量多少時，其利潤最大？
商用微績分 Chapter 3 導數的應用

69 經濟學與商學上的應用 求最大產量 有一農場的主人在他的果園種植蘋果樹。如果他每畝種植 60 棵蘋果樹時，每棵可生產 500 粒蘋果。他估計當每畝多種一棵時，每棵蘋果樹之產量減少 10 粒。試問他應該在每畝種植幾棵蘋果樹使其產量最大？並求其最大產量。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

70 解: 令 x 表示每畝蘋果樹之增減量 每畝所種植之蘋果樹為 60 + x，每棵之產量為 500 – 10x。故每畝之產量為 f(x) = (60+x)(500–10x) = –10x2 – 100x 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

71 經濟學與商學上的應用 求最大稅收 政府有關單位預測證券市場平均每天之成交值 S (以佰億元為單位)和證交稅率 r 之關係為
試問政府應將證交稅定為多少使其每天之證交稅收最大？ 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

72 求最小存貨成本 在商業上，當我們在維持存貨時會涉及二種成本：貯藏成本(storage cost)及重訂成本(reorder cost)。
貯藏成本：即貨物儲存時所付出的倉儲費及保險費等。 重訂成本：即每次訂貨時所付出的送貨費及會計費等。 存貨成本：即為貯藏成本和重訂成本之總和。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

73 經銷商銷售某種產品，基於存貨成本的考量，他可能分批進貨，而每次進貨的數量稱為批量(lot size)，我們有興趣的問題是批量為多少時其存貨成本最小。
商用微績分 Chapter 3 導數的應用

74 求最小存貨成本 某家電器用品經銷商每年銷售1000台電視機。每台電視機之成本為8000元，每次訂貨的費用為2000元，每台電視機儲存費每年為400元。試問每年訂貨幾次以及批量為多少時其存貨成本最小？ 解: 令 x 表示批量 貯藏成本為 重訂成本為 存貨成本函數為 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

75 隱微分法 我們知道如何微分一個函數 y = f(x)，即求 y = f(x) 之導數。
有時候函數 y 不是直接表示成 x 的函數而是隱藏在一個 x 和 y 的方程式裡面，例如：x2 + y2 = 1，5x2 + xy + 3y2 - 1 = 0等。 在一個 x 和 y 的方程式中，我們將 y 視為 x 之函數，這時候如何微分此函數 y，即如何求 ？ 當然，若 y 可解成 x 的函數，則我們可用第二章的微分方法求 。然而，一般而言，我們很難將 y 解成 x 的函數。所以，我們必須用所謂的隱微分法 (implicit differentiation)求 。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

76 利用隱微分法求導數 設 x2 + y2 = 1，求 。 設 y3 + x3y - 2xy2 + 4x2 = 4，求 。
商用微績分 Chapter 3 導數的應用

77 利用隱微分法求高階導數 設 y2 + xy + x2 + 2 = 0，求 。 解: 代入 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

78 相關變率 這節中，我們將應用隱微分法來探討相關變率 (related rate)的問題。
一個函數 y = f(x) 或是一個 x、y 的方程式中，x 和 y 同時又是某一個變數 t 之函數。 應用隱微方法對 t 微分，我們得到 和 的關係式，此即為相關變率，即 x 對 t 之變化率 會影響到 y 對 t 之變化率 ，反之亦然。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

79 求相關變率 設 x、y 為 t 之函數且 x2 + y2 + x = 6，求 x、y 之相關變率。
此即為 和 之關係式。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

80 求相關變率 將一小石子擲入平靜的湖面，水紋呈圓形的往外擴散。已知水紋的半徑在某一時刻之變化率為 0.2 公尺/秒且其半徑為 5 公尺。試問在此一時刻水紋所形成之圓面積變化率為何？ 解: 設在時間 t 時，水紋之半徑為 r 且其所形成之圓面積為 A，則 A = p r2。 因此，面積 A 在此一時刻之變化率 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

81 利用相關變率求營收之成長 某家手機經銷商每週銷售 x 支手機之總收入為 R = -x x 元。假設銷售量每週之成長率為 20。求當銷售量為 200 支手機時，其總收入之成長率為多少？ 解: 當 、x = 200 時， 即此家經銷商其總收入以每週152000元成長。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

82 線性近似與微分 先觀察函數 y = f(x) 在 x = a 的導數的定義 令Dx = x - a，Dy = f(x) – f(a)，則 ，
其中 表示割線 之斜率。 設 L 為通過 P 點之切線，則其斜率為 f '(a) 且方程式為 y = f(a) + f '(a)(x-a) = f(a) + f '(a)Dx。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

83 線性近似與微分 由圖知 令 由極限的意義得知，當 Dx 很小時， 。 即Dy  f '(a)Dx  dy 或
我們稱 f(a) + f '(a)Dx 為 f(a + Dx) 之線性近似 (linear approximation)。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

84 微 分 則 dx = Dx 稱為 x 之微分(differential)；
微 分 定義3-5: 設 y = f(x) 為可微函數， 則 dx = Dx 稱為 x 之微分(differential)； dy = f '(x)dx，(或df = f '(x)dx) 稱為 y 之微分(或 f(x) 之微分)。 由定義知，我們亦可將 y之微分表示成 。故我們可用微分求得函數 y = f(x) 之線性近似 如下： 或 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

85 求 微 分 設 y = (x - 1)2，求 dy。 設 y = (x2 + 1)3，求 dy 。
求 微 分 設 y = (x - 1)2，求 dy。 設 y = (x2 + 1)3，求 dy 。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

86 利用微分求線性近似 求 之近似值。 解: 設 ，則 。取 x = 100，Dx = 1，由線性近似公式得
求 之近似值。 解: 設 ，則 。取 x = 100，Dx = 1，由線性近似公式得 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

87 利用微分求線性近似 求 (9.99)5 之近似值。 解: 設 f(x) = x5，則 f '(x) = 5x4。取 x = 10， Dx = -0.01，由線性近似公式得 商用微績分 Chapter 3 導數的應用

88 利用微分求利潤之變化 (a) 若每週銷售量為10單位時，其利潤為多少？ (b) 若每週銷售量由10單位增加到11單位，其利潤變化為何？
某家經銷商銷售某種產品，當每週銷售量為 x 單位時，其利潤為 P(x) = -x x 元。 (a) 若每週銷售量為10單位時，其利潤為多少？ (b) 若每週銷售量由10單位增加到11單位，其利潤變化為何？ (c) 若每週銷售量由10單位減少到8單位，其利潤變化為何？ 解: (a) 根據題意，其利潤為 P(10) = = 4900 元 (b) P'(x) = -2x +500，依題意和線性近似公式 即每週利潤大約增加 480 元，邊際利潤約為 480 元。 (c) P(8) – P(10)  P'(10)(-2) = ( )(-2) = -960， 即每週利潤大約減少 960 元。 商用微績分 Chapter 3 導數的應用