弦切角、圓內角及圓外角 (題型解析) 顧震宇 台灣數位學習科技股份有限公司 這個單元老師講解變數與函數的題型解析，

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1 弦切角、圓內角及圓外角 (題型解析) 顧震宇 台灣數位學習科技股份有限公司 這個單元老師講解變數與函數的題型解析，
其中包含函數定義相關問題，主要是判斷兩個變數是否為函數關係的問題， 還有關於函數值的問題，最後講解有關函數相關的應用問題。

2 弦切角 弦切角與弧的度數 A C O 切線 L E B D 為弦切角 的夾弧 為弦切角 的夾弧 弦切角、圓外角及圓內角 – 題型解析
一開始，我們介紹連比例式的定義 我們用 x, y, z = a, b, c 來表示這兩個連比的比例相等 而比例相等的意思就是兩兩之間要成比例 也就是 x : y = a : b, y : z = b : c 而且 x : z = a : c 要同時成立 雖然定義告訴我們 3 個條件要同時成立 但因為只要前面兩個條件成立，就可以得到第三個關係式 這就是我們介紹的性質一 若定義中 3 個條件中兩個成立，一樣可以得到連比例式的關係 例如， x : y, y : z，就可以得到 x : y : z 的關係 要注意，這裏共同的 y 所對應的值 b 要一樣 如果不一樣呢? 例如，5 : 2 和 3 : 4 我們就要透過比的擴分性質 將 5 : 2 乘以 3，3 : 4 乘以 2 讓中間的項得到相同的 6 而這個性質的證明關鍵是利用 x : y = a : b來得到 x / a = y / b 的關係 最後得到 x / c = y / z，也就是第三個條件 x : z = a : c 接著我們則介紹比的擴分與約分 也就是同時乘或除一個不為 0 的數，比例關係不變 例如，因為這裏的 4 x 2 = 8，也就是 m = 2，每一項都 x 2 就可以分別得到 x = 5x2 與 y = 9 x 2 的值了 而性質2 的證明則直接應用比的擴分 a : b = am : bm 和 第一個性質 a : b, b : c 的條件而得到 a : b : c = am : bm : cm 性質 3 則是一個重要的解題技巧 也就是當看到 x : y : z = a : b : c 時，我們通常可以假設 x = am, y = bm, z = cm 代入題目求解 例如，x : y : z = 2 : 1 : 3，就可以將 x, y, z 用 2m, m 和 3m 代入 因為每一項都有 m，最後可以約去而得到答案 因為通常都可以約去，有時候我們可以直接審略 m 直接用 2, 1, 3 代入來更快得到答案 而這個性質的證明，則是利用 x : y : z = a : b : c 來得到 x/a = y / b = z / c 的關係 將這個值設成 m，就可以得到 x=am, y=bm, z=cm 了 為弦切角 的夾弧 為弦切角 的夾弧 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

3 例題 1. (弦切角) 如圖， ，直線 為過 B 點的切線，則 A C B 弦切角與弧的度數 [解答] 45 度 A B C
弦切角、圓外角及圓內角 – 題型解析 如圖， ，直線 為過 B 點的切線，則 弦切角與弧的度數 A A B C B C 例題 1. 下列哪一種對應關係中 y 是 x 的函數？ 這類型判斷是否為函數的題目，需要熟悉定義，我們來複習一下定義，對於每一個 x，都只有一個 y 與 x 對應， 變數 y 稱為變數 x 的函數，通常記為 f(x)，其中 x 稱為自變數，y 稱為應變數。 回到題目，第一小題，x=1 時，y=a 與 1 對應，x＝2時，y＝a與 2 對應，但是 x=3 時並沒有 y 的值與 3 對應， 所以 y 並不是 x 的函數。 第二小題，當 x=1 時，y 分別等於 a 與 c 與 1 對應，這與定義中「對於每個x，只有一個 y 與其對應」這句話相違背， 第三小題，當x＝1時，y＝b 與 1 對應，x＝2 時，y＝b與 2 對應，當 x=3 時，y＝c 與 3 對應， 所以 y 為 x 的函數。 [解答] 45 度 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

4 例題 2. (圓心角、圓周角及弦切角) 如圖， 為圓 O 的弦，直線 切圓 O 於 A 點，若 ， 則 及 的度數各為多少 ? C A O
弦切角、圓外角及圓內角 – 題型解析 如圖， 為圓 O 的弦，直線 切圓 O 於 A 點，若 ， 則 及 的度數各為多少 ? C 弦切角與弧的度數 A A O D B C B 圓心角與弧的度數 圓周角與弧的度數 例題 1. 下列哪一種對應關係中 y 是 x 的函數？ 這類型判斷是否為函數的題目，需要熟悉定義，我們來複習一下定義，對於每一個 x，都只有一個 y 與 x 對應， 變數 y 稱為變數 x 的函數，通常記為 f(x)，其中 x 稱為自變數，y 稱為應變數。 回到題目，第一小題，x=1 時，y=a 與 1 對應，x＝2時，y＝a與 2 對應，但是 x=3 時並沒有 y 的值與 3 對應， 所以 y 並不是 x 的函數。 第二小題，當 x=1 時，y 分別等於 a 與 c 與 1 對應，這與定義中「對於每個x，只有一個 y 與其對應」這句話相違背， 第三小題，當x＝1時，y＝b 與 1 對應，x＝2 時，y＝b與 2 對應，當 x=3 時，y＝c 與 3 對應， 所以 y 為 x 的函數。 A A O B B C 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

5 例題 3. (圓內接正多邊形) 如圖，五邊形 ABCDE 為圓內接正五邊形，直線 切圓 O 於 A 點， 則 P A E B O C D
弦切角、圓外角及圓內角 – 題型解析 如圖，五邊形 ABCDE 為圓內接正五邊形，直線 切圓 O 於 A 點， 則 P A 弦切角與弧的度數 A B E O B C 等弦對等弧 C D 例題 1. 下列哪一種對應關係中 y 是 x 的函數？ 這類型判斷是否為函數的題目，需要熟悉定義，我們來複習一下定義，對於每一個 x，都只有一個 y 與 x 對應， 變數 y 稱為變數 x 的函數，通常記為 f(x)，其中 x 稱為自變數，y 稱為應變數。 回到題目，第一小題，x=1 時，y=a 與 1 對應，x＝2時，y＝a與 2 對應，但是 x=3 時並沒有 y 的值與 3 對應， 所以 y 並不是 x 的函數。 第二小題，當 x=1 時，y 分別等於 a 與 c 與 1 對應，這與定義中「對於每個x，只有一個 y 與其對應」這句話相違背， 第三小題，當x＝1時，y＝b 與 1 對應，x＝2 時，y＝b與 2 對應，當 x=3 時，y＝c 與 3 對應， 所以 y 為 x 的函數。 A M O B N D C [解答] 36 度 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

6 例題 4. (平行線截等弧) 如圖， 為圓內接三角形，直線 DE 切圓於 A 點，且 ， 若 ，則 C B D A E 弦切角與弧的度數
弦切角、圓外角及圓內角 – 題型解析 如圖， 為圓內接三角形，直線 DE 切圓於 A 點，且 ， 若 ，則 弦切角與弧的度數 C A B B C D A 圓周角與弧的度數 E 例題 1. 下列哪一種對應關係中 y 是 x 的函數？ 這類型判斷是否為函數的題目，需要熟悉定義，我們來複習一下定義，對於每一個 x，都只有一個 y 與 x 對應， 變數 y 稱為變數 x 的函數，通常記為 f(x)，其中 x 稱為自變數，y 稱為應變數。 回到題目，第一小題，x=1 時，y=a 與 1 對應，x＝2時，y＝a與 2 對應，但是 x=3 時並沒有 y 的值與 3 對應， 所以 y 並不是 x 的函數。 第二小題，當 x=1 時，y 分別等於 a 與 c 與 1 對應，這與定義中「對於每個x，只有一個 y 與其對應」這句話相違背， 第三小題，當x＝1時，y＝b 與 1 對應，x＝2 時，y＝b與 2 對應，當 x=3 時，y＝c 與 3 對應， 所以 y 為 x 的函數。 A B C [解答] 76 度 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

7 例題 5. (兩圓及弦切角) 如圖，兩圓交於 A、B 兩點，直線 PQ 分別切兩圓於 P、Q 兩點， 若 ，求 P Q A B
弦切角、圓外角及圓內角 – 題型解析 如圖，兩圓交於 A、B 兩點，直線 PQ 分別切兩圓於 P、Q 兩點， 若 ，求 弦切角與弧的度數 P Q A A B C B 例題 1. 下列哪一種對應關係中 y 是 x 的函數？ 這類型判斷是否為函數的題目，需要熟悉定義，我們來複習一下定義，對於每一個 x，都只有一個 y 與 x 對應， 變數 y 稱為變數 x 的函數，通常記為 f(x)，其中 x 稱為自變數，y 稱為應變數。 回到題目，第一小題，x=1 時，y=a 與 1 對應，x＝2時，y＝a與 2 對應，但是 x=3 時並沒有 y 的值與 3 對應， 所以 y 並不是 x 的函數。 第二小題，當 x=1 時，y 分別等於 a 與 c 與 1 對應，這與定義中「對於每個x，只有一個 y 與其對應」這句話相違背， 第三小題，當x＝1時，y＝b 與 1 對應，x＝2 時，y＝b與 2 對應，當 x=3 時，y＝c 與 3 對應， 所以 y 為 x 的函數。 [解答] 137o 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

8 圓內角及圓外角 圓內角與弧的度數 D A E B C 圓外角與弧的度數 A A A B B C E E E D B C C
弦切角、圓外角及圓內角 – 題型解析 圓內角與弧的度數 D A E B C 圓外角與弧的度數 A A A B B C 一開始，我們介紹連比例式的定義 我們用 x, y, z = a, b, c 來表示這兩個連比的比例相等 而比例相等的意思就是兩兩之間要成比例 也就是 x : y = a : b, y : z = b : c 而且 x : z = a : c 要同時成立 雖然定義告訴我們 3 個條件要同時成立 但因為只要前面兩個條件成立，就可以得到第三個關係式 這就是我們介紹的性質一 若定義中 3 個條件中兩個成立，一樣可以得到連比例式的關係 例如， x : y, y : z，就可以得到 x : y : z 的關係 要注意，這裏共同的 y 所對應的值 b 要一樣 如果不一樣呢? 例如，5 : 2 和 3 : 4 我們就要透過比的擴分性質 將 5 : 2 乘以 3，3 : 4 乘以 2 讓中間的項得到相同的 6 而這個性質的證明關鍵是利用 x : y = a : b來得到 x / a = y / b 的關係 最後得到 x / c = y / z，也就是第三個條件 x : z = a : c 接著我們則介紹比的擴分與約分 也就是同時乘或除一個不為 0 的數，比例關係不變 例如，因為這裏的 4 x 2 = 8，也就是 m = 2，每一項都 x 2 就可以分別得到 x = 5x2 與 y = 9 x 2 的值了 而性質2 的證明則直接應用比的擴分 a : b = am : bm 和 第一個性質 a : b, b : c 的條件而得到 a : b : c = am : bm : cm 性質 3 則是一個重要的解題技巧 也就是當看到 x : y : z = a : b : c 時，我們通常可以假設 x = am, y = bm, z = cm 代入題目求解 例如，x : y : z = 2 : 1 : 3，就可以將 x, y, z 用 2m, m 和 3m 代入 因為每一項都有 m，最後可以約去而得到答案 因為通常都可以約去，有時候我們可以直接審略 m 直接用 2, 1, 3 代入來更快得到答案 而這個性質的證明，則是利用 x : y : z = a : b : c 來得到 x/a = y / b = z / c 的關係 將這個值設成 m，就可以得到 x=am, y=bm, z=cm 了 E E E D C B C 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

9 例題 6. (圓內角) 如圖，圓內兩弦 和 交於 E 點，若 ， ， 求 D A E B C 圓內角與弧的度數 [解答] 120 度 C A
弦切角、圓外角及圓內角 – 題型解析 如圖，圓內兩弦 和 交於 E 點，若 ， ， 求 D A E B C 圓內角與弧的度數 例題 1. 下列哪一種對應關係中 y 是 x 的函數？ 這類型判斷是否為函數的題目，需要熟悉定義，我們來複習一下定義，對於每一個 x，都只有一個 y 與 x 對應， 變數 y 稱為變數 x 的函數，通常記為 f(x)，其中 x 稱為自變數，y 稱為應變數。 回到題目，第一小題，x=1 時，y=a 與 1 對應，x＝2時，y＝a與 2 對應，但是 x=3 時並沒有 y 的值與 3 對應， 所以 y 並不是 x 的函數。 第二小題，當 x=1 時，y 分別等於 a 與 c 與 1 對應，這與定義中「對於每個x，只有一個 y 與其對應」這句話相違背， 第三小題，當x＝1時，y＝b 與 1 對應，x＝2 時，y＝b與 2 對應，當 x=3 時，y＝c 與 3 對應， 所以 y 為 x 的函數。 C A E B D [解答] 120 度 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

10 例題 7. (圓外角) 如圖，圓的割線 與切線 交於 P 點，若 ， ， 求 A B P C A B E C 圓外角與弧的度數
弦切角、圓外角及圓內角 – 題型解析 如圖，圓的割線 與切線 交於 P 點，若 ， ， 求 A B P 圓外角與弧的度數 C A 例題 1. 下列哪一種對應關係中 y 是 x 的函數？ 這類型判斷是否為函數的題目，需要熟悉定義，我們來複習一下定義，對於每一個 x，都只有一個 y 與 x 對應， 變數 y 稱為變數 x 的函數，通常記為 f(x)，其中 x 稱為自變數，y 稱為應變數。 回到題目，第一小題，x=1 時，y=a 與 1 對應，x＝2時，y＝a與 2 對應，但是 x=3 時並沒有 y 的值與 3 對應， 所以 y 並不是 x 的函數。 第二小題，當 x=1 時，y 分別等於 a 與 c 與 1 對應，這與定義中「對於每個x，只有一個 y 與其對應」這句話相違背， 第三小題，當x＝1時，y＝b 與 1 對應，x＝2 時，y＝b與 2 對應，當 x=3 時，y＝c 與 3 對應， 所以 y 為 x 的函數。 B E C [解答] 100o 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

11 例題 8. (圓內角及圓外角) 如圖， 與 延長交於 P 點， 與 交於 Q 點， 若 ， ，則 A C P Q D B A B E D C
弦切角、圓外角及圓內角 – 題型解析 如圖， 與 延長交於 P 點， 與 交於 Q 點， 若 ， ，則 A C P Q D B 圓外角與弧的度數 A 圓內角與弧的度數 B 例題 1. 下列哪一種對應關係中 y 是 x 的函數？ 這類型判斷是否為函數的題目，需要熟悉定義，我們來複習一下定義，對於每一個 x，都只有一個 y 與 x 對應， 變數 y 稱為變數 x 的函數，通常記為 f(x)，其中 x 稱為自變數，y 稱為應變數。 回到題目，第一小題，x=1 時，y=a 與 1 對應，x＝2時，y＝a與 2 對應，但是 x=3 時並沒有 y 的值與 3 對應， 所以 y 並不是 x 的函數。 第二小題，當 x=1 時，y 分別等於 a 與 c 與 1 對應，這與定義中「對於每個x，只有一個 y 與其對應」這句話相違背， 第三小題，當x＝1時，y＝b 與 1 對應，x＝2 時，y＝b與 2 對應，當 x=3 時，y＝c 與 3 對應， 所以 y 為 x 的函數。 E C A D C E B D [解答] 90 度 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

12 例題 9. (圓內接四邊形及圓外角) 如圖，圓的切線 PA 與 PB 分別與圓相切於 A、B 兩點， 若 ，則 A P D C B A C
弦切角、圓外角及圓內角 – 題型解析 如圖，圓的切線 PA 與 PB 分別與圓相切於 A、B 兩點， 若 ，則 A P D C B 圓外角與弧的度數 A 圓內接四邊形對角互補 例題 1. 下列哪一種對應關係中 y 是 x 的函數？ 這類型判斷是否為函數的題目，需要熟悉定義，我們來複習一下定義，對於每一個 x，都只有一個 y 與 x 對應， 變數 y 稱為變數 x 的函數，通常記為 f(x)，其中 x 稱為自變數，y 稱為應變數。 回到題目，第一小題，x=1 時，y=a 與 1 對應，x＝2時，y＝a與 2 對應，但是 x=3 時並沒有 y 的值與 3 對應， 所以 y 並不是 x 的函數。 第二小題，當 x=1 時，y 分別等於 a 與 c 與 1 對應，這與定義中「對於每個x，只有一個 y 與其對應」這句話相違背， 第三小題，當x＝1時，y＝b 與 1 對應，x＝2 時，y＝b與 2 對應，當 x=3 時，y＝c 與 3 對應， 所以 y 為 x 的函數。 C A E C B D B 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

13 重點整理 已知 x, y 的和為 6，且 x 的 2 倍比 y 的 3 倍多 2，求 x, y x + y = 6 …….. (1)
圓心角、圓周角及弦切角 – 題型解析 已知 x, y 的和為 6，且 x 的 2 倍比 y 的 3 倍多 2，求 x, y x + y = 6 …….. (1) 2x = 3y + 2 ….. (2) 聯立方程式的解 在聯立方程式中，x, y 的值 同時滿足每一個方程式的解 解聯立方程式 將兩個變數化簡成一元一次式後 求得其中一個變數的值 1. 代入消去法 2. 加減消去法 解的情形 一組解、無解 or 無限多組解 x - 2y = 1 x + y = 13 x = 2y + 1 -) 2y y = 13 -3y = -12 x + y = 2 2x + 2y = 4 x + y = 4 x + y = 8 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

14 兩圓的位置關係 圖形關係 關係名稱 交點個數 連心線長 外離 外切 1 相交兩點 2 內切 1 內離 圓心角、圓周角及弦切角 – 題型解析
外切 1 相交兩點 2 一開始，我們介紹連比例式的定義 我們用 x, y, z = a, b, c 來表示這兩個連比的比例相等 而比例相等的意思就是兩兩之間要成比例 也就是 x : y = a : b, y : z = b : c 而且 x : z = a : c 要同時成立 雖然定義告訴我們 3 個條件要同時成立 但因為只要前面兩個條件成立，就可以得到第三個關係式 這就是我們介紹的性質一 若定義中 3 個條件中兩個成立，一樣可以得到連比例式的關係 例如， x : y, y : z，就可以得到 x : y : z 的關係 要注意，這裏共同的 y 所對應的值 b 要一樣 如果不一樣呢? 例如，5 : 2 和 3 : 4 我們就要透過比的擴分性質 將 5 : 2 乘以 3，3 : 4 乘以 2 讓中間的項得到相同的 6 而這個性質的證明關鍵是利用 x : y = a : b來得到 x / a = y / b 的關係 最後得到 x / c = y / z，也就是第三個條件 x : z = a : c 接著我們則介紹比的擴分與約分 也就是同時乘或除一個不為 0 的數，比例關係不變 例如，因為這裏的 4 x 2 = 8，也就是 m = 2，每一項都 x 2 就可以分別得到 x = 5x2 與 y = 9 x 2 的值了 而性質2 的證明則直接應用比的擴分 a : b = am : bm 和 第一個性質 a : b, b : c 的條件而得到 a : b : c = am : bm : cm 性質 3 則是一個重要的解題技巧 也就是當看到 x : y : z = a : b : c 時，我們通常可以假設 x = am, y = bm, z = cm 代入題目求解 例如，x : y : z = 2 : 1 : 3，就可以將 x, y, z 用 2m, m 和 3m 代入 因為每一項都有 m，最後可以約去而得到答案 因為通常都可以約去，有時候我們可以直接審略 m 直接用 2, 1, 3 代入來更快得到答案 而這個性質的證明，則是利用 x : y : z = a : b : c 來得到 x/a = y / b = z / c 的關係 將這個值設成 m，就可以得到 x=am, y=bm, z=cm 了 內切 1 內離 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司