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義守大學財金系教授 許碧峰 電話:6577711-5717 e-mail:hsupf@isu.edu.tw
存活分析與臨床應用 義守大學財金系教授 許碧峰 電話:
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講次大綱 存活函數、危險函數、累積危險函數 存活分析之非參數法- Kaplan-Meier survival curve
存活分析之半參數法- Cox proportional hazard model 存活分析之參數法-假設事件發生前時間的分配符合某一 特定類型，如Weibull分配,指數分配,Loglogist分配, Lognormal分配, Gamma分配等
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(the length of time until an event occurs)
何謂存活分析? 分析事件發生前的”期間”之統計方法 (the length of time until an event occurs) e.x.結婚發生前的 時間長度 e.x.出院發生前的 e.x.倒閉發生前的 e.x.復發發生前的 事件發生前的時間長度
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檢定期間的差異 估計期間的影響因素 檢定”期間”的差異或影響因素 不同學歷在結婚前的時間長度 不同醫院在出院前的時間長度
不同處置在復發前的時間長度 不同產業在倒閉前的時間長度 檢定期間的差異 影響結婚前時間長度的因素 影響出院前時間長度的因素 影響復發前時間長度的因素 影響倒閉前時間長度的因素 估計期間的影響因素
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存活分析中的幾個函數:都可由S(t)函數轉換
S(t) = 1 − F(t) = Pr(T > t) 存活函數:至少可以存活至t時點的機率(至t時點尚未發生該事件的機率) 危險函數:至少可以存活至t時點的前提下，t時點瞬間發生死亡的機率 累積危險函數:危險函數t時點以下累加機率
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Kaplan-Meier Survival Curve
Time # of risk set # of death # of censored Pr(T>t) S(t) [0,3） 10 1 S(0)=1 [3,5） 9 S(3)=1*8/9=0.89 [5,7） 7 2 S(5)=1*8/9*5/7=0.64 [7,8） 4 S(7)=1*8/9*5/7*2/4=0.32 KM formula (1958)→
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Kaplan-Meier Survival Curve: S(t)
以下累加機率為0.5發生的時間點 中位數存活時間(無用藥)=8個月 中位數存活時間(用藥)=28個月
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以下累積危險函數 H(t)=-lnS(t)
F(t) = Pr(T ≤ t)=1-S(t)
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危險函數 h(t)=-S’(t)/S(t)
危險函數:以存活至時點t的前提下，瞬間發生死亡的機率 h(t)=-S’(t)/S(t)
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以下累積危險函數 H(t)=-lnS(t)
累積危險函數:危險函數t時點以下累加機率 H(t)=-lnS(t)
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存活曲線在癌症病例之應用 Overall survival Disease free survival t(月) 死亡=1, 反之=0
定義事件=1 Overall survival Disease free survival t(月) 死亡=1, 反之=0 轉移,復發或死亡=1,反之=0 27 0 (alive) 0 (alive) 41 25 1 (復發) 40 1 (死亡) 37 1 (轉移) 8 5 15 12 9
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癌症病患之Kaplan-Meier Survival Curve
中位數存活時間(disease free survival )=38個月 50%的病患無轉移、復發、死亡的存活期為38個月
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Log-Rank test: 檢定存活曲線間是否有差異 Log-rank test = (p值<0.001) 所以具顯著差異
Note: 存活曲線不可相交 可檢定多條存活曲線
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哪些因素將影響事件發生的危險率: Cox比例危險模型
死亡=1 反之=0 冠狀動脈繞道手術病患死亡危險率之影響因素 住院天數 死亡 年齡 處置方式 Carlson 共併症指數 醫師年手術量 醫院型態 3 1 79 OP3615 5 45 20 56 OP3614 2 102 22 60 OP3612 88 18 16 62 OP3613 77 38 68 OP8856 4
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Cox比例危險模型 設有n名病人（i＝1，2，…,n），第i名病人的生存時間為ti，xi1 ,xi2 , xi3, …, xip等解釋變數將影響事件發生的危險率： 將t時點發生事件的危險率表示成如下三種型式:
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Cox比例危險模型 因H0(t)無任何限定函數型式-半參數模型 被解釋變數為任何時點t瞬間發生事件的危險率。
:時間點t時的基本危險函數(baseline hazard function)， 表示當解釋變數均為0時的事件機率。 多增加一單位X將使事件的發生增加 倍，若 <1則危險率下降。
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冠狀動脈繞道手術病患死亡危險率之影響因素
Cox比例危險模型估計結果 冠狀動脈繞道手術病患死亡危險率之影響因素 係數(b) exp(b) z値 P值 年齡 0.031 ** 1.032 (10.89) <0.001 ln(手術量) ** 0.825 -(6.00) 冠狀動脈繞道一條(3611) 0.541 ** 1.718 (3.20) 0.001 冠狀動脈繞道三條(3613) 0.265 ------ (1.63) 0.102 內乳動脈繞道手術 ** 0.457 -(11.70) 主動脈內氣球幫浦 0.060 ** 1.060 (20.02) 瓣環成形術 0.982 ** 2.669 (7.13) AIC 23528 樣本數 19908 AIC愈小，解釋能力愈佳
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Cox比例危險模型估計結果 病患年齡增加將增加死亡的危險率，每增加1歲其危險率為1.032，亦即危險率增加3.2%。
醫師的手術量增加將使病患死亡的危險率下降，每增加1%手術量其危險率為原來的0.825，亦即使死亡危險率下降17.5%。 接受主動脈內氣球幫浦的病患將相較於無此處置的病患，其死亡危險率將增加6%。 接受瓣環形成術病患相較於無此處置病患的死亡危險率為2.669。
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Cox比例危險模型 病2發生死亡的危險率是病1的五倍
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Cox比例危險模型之假設 Cox假設: 各變數對危險率之影響不隨時間而改變(在任何時間點都是一樣的)
利用Schoenfeld殘差項檢定模型各變數對危險率之影響是否具時間相依性
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Cox比例危險模型 治療組與安慰劑病患發生的死亡危險率在任何時間下並非固定比例
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部分概似函數(partial likelihood function，Lp）
Cox比例危險模型之估計 部分概似函數(partial likelihood function，Lp） 分母:j∈Ri表示在ti時點未發生該事件所有樣本危險率和（包括設限樣本) 分子在ti時點發生該事件樣本的危險率
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Cox比例危險模型之估計
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Cox比例危險模型之估計
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當模型不符合Cox比例危險模型之假設 法一:在估計過程中將該變數乘上時間變項。
法二:以Weibull, Loglogist, Lognormal, Gamma等參數模型估計存活時間的影響因素。
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參數存活模型-指數分配 a. Exponential Distribution The probability density function The survivorship function The hazard function
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參數存活模型-Weibull分配 b. Weibull Distribution The probability density function The survivorship function The hazard function
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參數存活模型-Lognormal 分配 c. Lognormal Distribution The probability density function The survivorship function The hazard function
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參數存活模型-Gamma分配 d. Gamma Distribution The probability density function
The survivorship function The hazard function
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參數存活模型-log-logistic分配
e. Log-Logistic Distribution The probability density function The survivorship function The hazard function
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參數存活模型之估計-概似函數 概似函數可寫為: 因f(t)=h(t)S(t)
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