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§1.5 平行关系
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§ 线面平行的判定
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复习 直线和平面的位置关系 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种： （1）直线在平面内——有无数个公共点． （2）直线和平面相交——有且只有一个公共点． （3）直线和平面平行——无公共点． 直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．
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直线和平面的三种位置关系的画法 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行
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问题 怎样判定直线与平面平行呢？ 观察 l 若将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？
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观察 门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，另一边与门框所在平面具有什么样的位置关系？
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感受校园生活中线面平行的例子: 天花板平面
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感受校园生活中线面平行的例子: 球场地面
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问题 你能从上述的实例中抽象概 括出几何图形吗？ 问题 如果 a//b且b在面内,是否一定a平行于平面呢? 不一定
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问题 // 定理 平面外的一条直线与平面内的一条 直线平行,则该直线与此平面平行.
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判定定理的证明 已知： ， ， 求证： 证明： 所以经过a、b确定一个平面． 因为 a ，而a ， 所以 与是两个不同的平面．
已知： ， ， 求证： 证明： 所以经过a、b确定一个平面． 因为 a ，而a ， 所以 与是两个不同的平面． 因为b，b 所以 =b
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判定定理的证明 下面用反证法证明a与没有公共点： 假设a与有公共点P，而=b，得Pb， 所以 点P是a、b的公共点，这与a//b矛盾. 所以a//
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归纳结论 线面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 . (线线平行 线面平行) 符号表示： b
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定理的应用 分析：要证明线面平行只需证明线线平行，即在平面BCD内找一条直线 平行于EF，由已知的条件怎样找这条直线？
A 例1. 如图，空间四边形ABCD中， E、F分别是 AB，AD的中点. 求证：EF∥平面BCD. F E D B C 分析：要证明线面平行只需证明线线平行，即在平面BCD内找一条直线 平行于EF，由已知的条件怎样找这条直线？
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定理的应用 证明：连结BD. ∵E、F分别是 AB，AD的中点 ∴EF∥BD（三角形中位线性质） 例1. 如图，空间四边形ABCD中，
求证：EF∥平面BCD. F E D B 证明：连结BD. ∵E、F分别是 AB，AD的中点 ∴EF∥BD（三角形中位线性质）
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变式1: 1.如图，在空间四边形ABCD中，E、F分 别为AB、AD上的点，若 ，则EF
EF//平面BCD A F E D B C
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变式2: A F 2.如图,四棱锥A—DBCE中,O为底面正方形DBCE对角线的交点,F为AE的中点. 求证:AB//平面DCF.(04年天津高考) E D O B C 分析:连结OF, 可知OF为 △ABE的中位线,所以得到AB//OF.
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变式2: F 2.如图,四棱锥A—DBCE中,O为底面正方形DBCE对角线的交点,F为AE的中点. 求证:AB//平面DCF. E O A
证明:连结OF, B C ∵ O为正方形DBCE 对角线的交点, ∴BO=OE, 又AF=FE, ∴AB//OF,
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如图:四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，M,N分别是AB,PC的中点
变式探究 如图:四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，M,N分别是AB,PC的中点 求证MN//面PAD P A B C D N M H 分析：关键在平面PAD内找MN平行线，有中点再找中点，中点和中点相连得中位线，从而得到平行线。
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规律总结 1.要证明直线与平面平行可以运用线面平行的判定定理； 线线平行 线面平行 2.能够运用定理的条件要满足三个条件： 两线平行”
线线平行 线面平行 “一线面外、一线面内、 两线平行” 2.能够运用定理的条件要满足三个条件： 3.运用定理的关键找平行线；找平行线又经常会用到三角形中位线、梯形的中位线、平行四边形、平行线的判定定理,平行公理.(一般题中有中点再找中点,有分点再找分点得平行关系.) 将线面平行转化为线线平行 4．数学思想方法： 将空间问题转化为平面问题 转化化归的思想方法：
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巩固练习: 平面ＢＣ1 、平面CD1 1.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,与AA1平行
的平面是___________________. 平面ＢＣ1 、平面CD1 D 1 C B A
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巩固练习: 2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证:BD1//平面AEC.
分析：要证BD1//平面AEC即要在平面AEC内找一条直线与BD1平行.根据已知条件应该怎样考虑辅助线? O
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巩固练习: 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证:BD1//平面AEC. 证明:连结BD交AC于O,连结EO.
∵O 为矩形ABCD对角线的交点, ∴DO=OB, 又∵DE=ED1, ∴BD1//EO. O
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§ 线面平行的性质
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复习 线面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 . (线线平行 线面平行) 符号表示： b
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探究1.如果一条直线与平面平行，那么这条直线是否与这个平面内的所有直线都平行？
探研新知 探究1.如果一条直线与平面平行，那么这条直线是否与这个平面内的所有直线都平行？ 这条直线与这个平面内有多少条直线平行？ 结合实例(教室内的有关例子)得出结论: 如果一条直线与平面平行，这条直线不会与这个平面内的所有直线都平行,但在这个平面内却有无数条直线与这条直线平行。
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探究2.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？
探研新知 探究2.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？ a b α a α b 答:由直线与平面平行的定义，如果一条直线a与平面α平行，那么a与平面α无公共点，即a上的点都不在平面α内，平面α内的任何直线与a都无公共点，这样，平面α内的直线与平面α外的直线a只能是异面直线或平行直线。
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探究3.如果一条直线a与平面α平行,在什么条件下直线a与平面α内的直线平行呢？
探研新知 探究3.如果一条直线a与平面α平行,在什么条件下直线a与平面α内的直线平行呢？ 答:由于a与平面α内的任何直线无公共点，所以过直线a的某一平面，若与平面α相交，则直线a就平行于这条交线。 下面我们来证明这一结论.
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已知：如图，a∥α，a Ìβ，α∩β＝b。 求证：a∥b。
探研新知 已知：如图，a∥α，a Ìβ，α∩β＝b。 求证：a∥b。 证明：∵α∩β＝b，∴bÌα ∵ a∥α，∴a与b无公共点， ∵aÌβ，bÌβ，∴a∥b。 我们可以把这个结论作定理来用.
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作用： 线面平行的性质定理： 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与这个平面的交线与该直线平行。 符号表示： 可证明两直线平行。
a b α β 作用： 可证明两直线平行。 欲证“线线平行”，可先证明“线面平行”。
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线面平行的判定定理: 直线与直线平行 直线与平面平行 线面平行的性质定理: 注意:
平面外的一条直线只要和平面内的任一条直线平行，则就可以得到这条直线和这个平面平行；但是若一条直线与一个平面平行，则这条直线并不是和平面内的任一条直线平行，它只与该平面内与它共面的直线平行．
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探究4.教室内的日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？
探研新知 探究4.教室内的日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？ 答:只需由灯管两端向地面引两条平行线,过两条平行线与地面的交点的连线就是与灯管平行的直线。
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例题示范 例1：已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面。 第一步:将原题改写成数学符号语言 如图,已知直线a,b,平面α,且a//b,a//α,a,b都在平面α外.求证:b//α. 第二步:分析：怎样进行平行的转化？→如何作辅助平面？ 第三步:书写证明过程
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例题示范 如图,已知直线a,b,平面α,且a//b,a//α,a,b都在平面α外.求证:b//α. 证明:过a作平面β,使它与平面α相交,交线为c. 因为a//α,a Ìβ,α Çβ=c,所以 a// c. 因为a//b,所以,b//c. 又因为c Ìα, b α, 所以 b// α。
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1.如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条,那么它们的交线和这两条直线平行。
练习反馈： 1.如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条,那么它们的交线和这两条直线平行。 l α β a b
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2.一条直线和两个相交平面平行，求证：它和这两个平面的交线平行。
练习反馈： 2.一条直线和两个相交平面平行，求证：它和这两个平面的交线平行。 已知直线a∥平面α，直线a∥平面β， ，求证a//b. b∩a = b
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3. 如图, 平面 a、b、g 两两相交, a、b、c 为三条交线, 且a∥b, 那么 a 与 c、b 与 c 有什么关系? 为什么?
练习: (补充) 3. 如图, 平面 a、b、g 两两相交, a、b、c 为三条交线, 且a∥b, 那么 a 与 c、b 与 c 有什么关系? 为什么? 答：a//c, b//c. b a g c ∵ a∥b, a b, ⇒ a∥b, b b, aa, a∩b = c, ⇒ a∥c, ⇒ b∥c, a∥b, ∴ a∥b∥c.
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例：
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证明： (1) (2)
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证明思路是： (1) 线//线 线//面 (2) 线//面 线//线 线//面
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证法2 （略写） 利用相似三角形对应边成比例 及平行线分线段成比例的性质 ∽ ∽
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解：（1）过点P作EF∥B’C’，分别交棱A’B’，C’D’于点E，F。连接BE，CF，则
例题示范 例2：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′(1)要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线和面AC有什么关系？ 解：（1）过点P作EF∥B’C’，分别交棱A’B’，C’D’于点E，F。连接BE，CF，则 EF，BE，CF就是应画的线。 P A1 D A B B1 D1 C1 C E F
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例题示范 例2：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′(1)要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线和面AC有什么关系？ （2）因为棱BC平行于平面A'C'，平面BC'与平面A'C'交于B'C'，所以BC∥B'C'，由（1）知，EF∥B'C'，所以，EF∥BC，因此，EF//BC, EF平面AC,BCÌ平面AC.所以,EF//平面AC. BE、CF显然都与平面AC相交。
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【课时小结】 a b 1. 线面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行. b a, a a,
1. 线面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行. b a, a a, b//a, ⇒ b∥a. 2. 线面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行, 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. a m b l l∥a, l b, b∩a = m ⇒ l∥m.
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§ 面面平行的判定
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复习回顾： 1. 到现在为止,我们一共学习过几种判断直线与平面平行的方法呢? （1）定义法； （2）线面平行的判定定理：
1. 到现在为止,我们一共学习过几种判断直线与平面平行的方法呢? （1）定义法； （2）线面平行的判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 线线平行 线面平行
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复习回顾： 2. 平面与平面有几种位置关系？分别是什么？ （1）平行 （2）相交 α∥β 问题： 怎样判定平面与平面平行呢？
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思考： 观察： 生活中有没有平面与平面平行的例子呢? 教室的天花板与地面给人平行的感觉，前后两块黑板也是平行的。
(1)三角板或课本的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板或课本所在平面与桌面平行吗？ (2)三角板或课本的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？
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当三角板的两条边所在直线分别与地面平行时,这个三角板所在平面与地面平行。
结论： 当三角板的两条边所在直线分别与地面平行时,这个三角板所在平面与地面平行。 探究： （１）平面内有一条直线与平面平行，，平行吗？ （２）平面内有两条直线与平面平行，，平行吗？
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结论： （1）中的平面α，β不一定平行。如图，借助长方体模型，平面ABCD中直线AD平行平面BCC'B'，但平面ABCD与平面BCC'B'不平行。
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如果平面β内的两条直线是相交的直线，两个平面会不会一定平行？
结论： （2）分两种情况讨论： 如果平面β内的两条直线是平行直线，平面α与平面β不一定平行。如图，AD∥PQ，AD∥平面BCC’B’，PQ∥BCC’B’，但平面ABCD与平面BCC’B’不平行。 P Q 如果平面β内的两条直线是相交的直线，两个平面会不会一定平行？
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直线的条数不是关键 直线相交才是关键
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面面平行的判定定理的证明 已知：在平面内，有两条直线 、 相交且和平面平行． 求证： ． 证明：用反证法证明． 假设 ． 同理 这与题设 和 是相交直线是矛盾的．
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线不在多，重在相交 结论： 面面平行的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面，那么这两个平面平行 符号表示：
符号表示： ａ，ｂ，ａｂ＝Ｐ，ａ，ｂ a b P 图形表示： 线不在多，重在相交
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直线 判定定理:一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
判定定理剖析： 直线 证题思路：要证明两平面平行，关键是在其中一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一个平面. 符号语言：
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练习 × × × × × 判断下列命题是否正确，并说明理由． （1）若平面 内的两条直线分别与平面 平行，则 与 平行；
（1）若平面 内的两条直线分别与平面 平行，则 与 平行； （2）若平面 内有无数条直线分别与平面 平行，则 （3）平行于同一直线的两个平面平行； （4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平 行； （5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平 行的平面． × × × × ×
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例1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面AB1D1//平面C1BD
所以 D1C1∥A1B1，D1C1＝A1B1 又AB∥A1B1，AB＝A1B1， ∴D1C1∥AB，D1C1＝AB， ∴D1C1BA是平行四边形， ∴D1A∥C1B， 又D1A 平面C1BD, CB 平面C1BD. 由直线与平面平行的判定,可知 D1A∥平面C1BD， 同理 D1B1∥平面C1BD,又 D1A∩D1B1=D1, 所以，平面AB1D1∥平面C1BD。
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若 M、N、E、F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN//平面EFDB。
变式:在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 若 M、N、E、F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN//平面EFDB。 D1 F C1 N M B1 E A1 D C A B
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方法总结： 证明两个平面平行的一般步骤： 第一步：在一个平面内找出两条相交直线； 第二步：证明两条相交直线分别平行于另一个平面。
第三步：利用判定定理得出结论。
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例2、 1、如图：三棱锥P-ABC, D,E,F分别是棱PA，PB，PC中点， 求证：平面DEF∥平面ABC。
2、如图，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD， △BCD的重心，求证：平面MNG∥平面ACD。 B N· ·G M· D A C
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提出问题、引入新课 提出问题:如果已知直线与平面平行，会有什么结论？ 直线与平面平行的性质
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§ 面面平行的性质
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探究1. 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？
探究新知 探究1. 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？ a 答:如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行.
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探究2.如果两个平面平行，两个平面内的直线有什么位置关系？
探究新知 探究2.如果两个平面平行，两个平面内的直线有什么位置关系？ 借助长方体模型探究 结论:如果两个平面平行，那么两个平面内的直线要么是异面直线,要么是平行直线.
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探究3:当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线有什么关系？为什么？
探究新知 a b α β 探究3:当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线有什么关系？为什么？ 答:两条交线平行. 下面我们来证明这个结论
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这个结论可做定理用 结论:当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线平行
如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a,β∩γ=b，求证：a∥b 证明：∵α∩γ＝a,β∩γ=b ∴aÌα，bÌβ ∵α∥β ∴a，b没有公共点， 又因为a，b同在平面γ内， 所以，a∥b 这个结论可做定理用
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面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 用符号语言表示性质定理： a//b 想一想：这个定理的作用是什么? 答:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
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例题分析,巩固新知 例1. 求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等. 讨论:解决这个问题的基本步骤是什么? 答:首先是画出图形,再结合图形将文字语言转化为符号语言,最后分析并书写出证明过程。 如图,α//β,AB//CD,且AÎα, CÎα,BÎβ,DÎβ. 求证:AB=CD. 证明:因为AB//CD,所以过AB, CD可作平面γ,且平面γ与平 面α和β分别相交于AC和BD. 因为 α//β,所以 BD//AC.因此,四边形ABDC是平行四边形. 所以 AB=CD.
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小结归纳: 1、两个平面平行具有如下的一些性质： ⑴如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行 ⑵如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. ⑶如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交 ⑷夹在两个平行平面间的所有平行线段相等 2.平行于同一平面的两平面平行（传递性）
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例题选讲 返回目录
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(1) 如果 a、b 是两条直线, 且 a∥b, 那么 a 平行于经过 b 的任何平面; ( )
例1. 判断题: (1) 如果 a、b 是两条直线, 且 a∥b, 那么 a 平行于经过 b 的任何平面; ( ) (2) 如果直线 a 和平面 a 满足 a∥a, 那么 a 与a 内的任何直线平行; ( ) (3) 如果直线 a、b 和平面 a 满足 a∥a，b∥a, 那么a∥b ( ) (4) 如果 a、b 是两条异面直线, 那么过直线 b一定有一个平面平行于 a ( ) (5) 如果两平面平行, 在一个平面内的直线一定平行另一个平面 ( ) (6) 如果两平面不平行, 在一个平面内的直线一定不平行另一个平面内 ( ) 经过 b 的平面可能经过 a. 没有公共点. a b (3)反例 b a (4) a (2)反例 (6)反例 a
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例：如图，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均在平行四边形A′B′C′D′所确定一个平面α外，且AA′、BB′、CC′、DD′互相平行． 求证：四边形ABCD是平行四边形．
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例2 已知平面α∥β∥γ,A∈α,C∈α,B∈γ,D∈γ,
AC、BD是异面直线,直线AB、BC、CD、DA分别交平面 β于点E、F、G、H. 求证:四边形EFGH是平行四边形. 证明:∵α∥β,平面ABC∩α=AC, 平面ABC∩β=EF, ∴EF∥AC, 同理,GH∥AC, ∴EF∥GH, 同理,EH∥FG, ∴四边形EFGH是平行四边形. C A α F G β E H γ B D
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例：平面a//平面b，直线a，b相交于点S，且直线a 分别交a、b于点A、B，直线b分别交a、b于点C、D,
已知AS=1，BS=2，CD=9，求线段CS的长。 a b S B D A C b a S B D A C
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G H
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例： 如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC上一点， 且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．
求证：平面A1BD1∥平面AC1D. 例： 证明：如图所示，连结A1C交AC1于E. ∵四边形A1ACC1是平行四边形， ∴E是A1C的中点，连结ED. ∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D=ED， ∴A1B∥ED. ∵E是A1C的中点， ∴D是BC的中点． ∵D1是B1C1的中点， BD1∥C1D，A1D1∥AD， 又A1D1∩BD1=D1， ∴平面A1BD1∥平面AC1D.
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例 2. 如图, 在正方体 ABCD-ABCD 中, E、F 分别是 AB、BC上的点, 且 BE=CF.
求证: EF∥平面ABCD. B A B C D A C D E F 分析: 要证 EF∥平面ABCD, 考虑在平面 ABCD 内作 EF 的 平行线. F E 将 EF 向下平移到 ABCD 内, 即考虑作□EEFF.
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例 2. 如图, 在正方体 ABCD-ABCD 中, E、F 分别是 AB、BC上的点, 且 BE=CF.
求证: EF∥平面ABCD. A B C D A B C D E F 证明: 分别过点 E、F 作 EE∥BB, FF∥BB, 交 AB、BC 于 E、F, 连结 EF, 得 EE∥FF∥BB, F E EE:BB=AE:AB, FF:CC=BF:BC, ∵ AB=BC, BE=CF, BB=CC, ∴ EE=FF, 则四边形 EEFF 是□, ∴ EF∥EF, EF∥平面ABCD.
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例 2. 如图, 在正方体 ABCD-ABCD 中, E、F 分别是 AB、BC上的点, 且 BE=CF.
求证: EF∥平面ABCD. B C D A B C D A 思考二: 若过 EF 有平面平行 底面 ABCD, 则 EF∥平面ABCD. E F 则考虑在△BAB 内作 AB 的平行线, 在△BBC 内作 BC 的平行线.
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例 2. 如图, 在正方体 ABCD-ABCD 中, E、F 分别是 AB、BC上的点, 且 BE=CF.
求证: EF∥平面ABCD. B C D A B C D A 证明: 作 EM//AB, 交B1B于M, E F M 连结MF, ∵ B1E=C1F, EA=FB. 又 AB1=BC1, ∴得 MF//BC, MF//BC, ∴平面EMF//平面ABCD, 则 EF//平面ABCD.
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在 Rt△PAB 和 Rt△PAD 中可求得PB和PD, 若知道 E、G 的位置, 即可求得 PE 和 PG.
例3. 如图, 四棱锥 P-ABCD的底面是矩形, ∠PAB=∠PAD=90, PA=AB=3, BC=4, N 是 PC 上的点, PN=2NC, 过点 A 的平面分别交PB、PC、PD 于 E、F、G, 且平面AEFG //平面BND, 求 PE、PG 的长. A B C D N P E F G O 分析: 在 Rt△PAB 和 Rt△PAD 中可求得PB和PD, 若知道 E、G 的位置, 即可求得 PE 和 PG. 猜测 E、G 是否是 PB 与 PD 的中点. 由于 PN=2NC, 是否 N 是 FC 的中点. 因为平面AEFG //平面BND, 可得 AF//ON. 于是可得 N 是 FC 的中点.
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例3. 如图, 四棱锥 P-ABCD的底面是矩形, ∠PAB=∠PAD=90, PA=AB=3, BC=4, N 是 PC 上的点, PN=2NC, 过点 A 的平面分别交PB、PC、PD 于 E、F、G, 且平面AEFG //平面BND, 求 PE、PG 的长. A B C D N P E F G O 解: 连结AC, 交BD于O, 连结 ON、AF, ∵平面AEFG //平面BND, ∴ON//AF, CN=NF. 又 PN=2NC, ∴点 F 是 PN 的中点, ∵平面AEFG //平面BND, EF//BN, FG//ND,
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例3. 如图, 四棱锥 P-ABCD的底面是矩形, ∠PAB=∠PAD=90, PA=AB=3, BC=4, N 是 PC 上的点, PN=2NC, 过点 A 的平面分别交PB、PC、PD 于 E、F、G, 且平面AEFG //平面BND, 求 PE、PG 的长. 解: 连结AC, 交BD于O, 又 PN=2NC, ∴点 F 是 PN 的中点, ∵平面AEFG //平面BND, EF//BN, FG//ND, 连结 ON、AF, ∴ON//AF, CN=NF. A B C D N P E F G O ∴ E、G 是 PB 与 PD 的中点. 在 Rt△PAB 和 Rt△PAD 中, =5.
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例4. 如图, 已知 a∥b, 直线 PQ 分别交 a、b于 A、B, 线段 PD 分别交 a、b 于 C、D, 线段 QF分别交 a、b 于 F、E. 且 PA=9, AB=12, BQ=16, △AFC 的面积为72, 求△BED 的面积. a b P Q A B C D E F 分析: 两平面平行, 可得一些 平行线段, AF//BE, AC//BD. 由平行可得一些比例线段, 将 BE, BD, ∠EBD 用 又可得∠FAC=∠EBD. △AFC 中的元素替换.
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例4. 如图, 已知 a∥b, 直线 PQ 分别交 a、b于 A、B, 线段 PD 分别交 a、b 于 C、D, 线段 QF分别交 a、b 于 F、E. 且 PA=9, AB=12, BQ=16, △AFC 的面积为72, 求△BED 的面积. a b P Q A B C D E F 解: 由题设知 平面PBD交 a 于AC, 交 b 于BD, 平面QAF交 a 于AF, 交 b 于BE, ∵ a∥b, ∴ AC∥BD, AF∥BE, 则∠FAC=∠EBD,
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例4. 如图, 已知 a∥b, 直线 PQ 分别交 a、b于 A、B, 线段 PD 分别交 a、b 于 C、D, 线段 QF分别交 a、b 于 F、E. 且 PA=9, AB=12, BQ=16, △AFC 的面积为72, 求△BED 的面积. a b P Q A B C D E F 解: 由题设知 平面PBD交 a 于AC, 交 b 于BD, 平面QAF交 a 于AF, 交 b 于BE, ∵ a∥b, ∴ AC∥BD, AF∥BE, 则∠FAC=∠EBD, ∴ S△BED=
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