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导数与微分 第三章 导数思想最早由法国 数学家 Fermat 在研究 极值问题中提出. 微积分学的创始人: 英国数学家 Newton
德国数学家 Leibniz 导数 描述函数变化快慢---变化率---切线斜率---相对误差 微分学 微分 描述函数变化程度---函数值的增量 ---绝对误差 都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
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第3节 隐函数、参变量函数的导数 和高阶导数 一、隐函数的导数 二、参变量函数的导数 三、高阶导数
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一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 则称此 函数为隐函数 . 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如,
可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 的方程)
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应用. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,
其速率为 当气球高度为 500 m 时, 观察员 视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 , 则 两边对 t 求导 已知 h = 500m 时,
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二、参变量函数的导数 若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数 则 关系, 可导, 且 时, 有 时, 有
(此时看成 x 是 y 的函数 )
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三、高阶导数 定义. 若函数 的导数 可导, 则称 的导数为 的二阶导数 , 记作 或 即 或 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,
依次类推 , 分别记作 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 或
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若前述参数方程中 且 二阶可导, 则由它确定的函数 可求二阶导数 . 利用新的参数方程 ,可得
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内容小结 1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘、 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
转化 3. 参数方程求导法 极坐标方程求导 求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
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书面作业 P 1 （2）（4）， 2 （2）， 3， （2）， 8 （2）， 9（2）， 10（2）， 12 （2）
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