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第一部分 数理逻辑 主要内容 命题逻辑基本概念 命题逻辑等值演算 命题逻辑推理理论 一阶逻辑基本概念 一阶逻辑等值演算与推理
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第一章 命题逻辑的基本概念 主要内容 命题与联结词 命题及其分类 联结词与复合命题 命题公式及其赋值
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1.1 命题与联结词 命题与真值 命题:判断结果惟一的陈述句 命题的真值:判断的结果 真值的取值:真与假 真命题与假命题 注意:
感叹句、祈使句、疑问句都不是命题 陈述句中的悖论,判断结果不惟一确定的不是命题
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命题概念 例1 下列句子中那些是命题? (1) 是有理数. (2) 2 + 5 = 7. (3) x + 5 > 3.
(1) 是有理数. (2) = 7. (3) x + 5 > 3. (4) 你去教室吗? (5) 这个苹果真大呀! (6) 请不要讲话! (7) 2050年元旦下大雪. 假命题 真命题 不是命题 不是命题 不是命题 不是命题 命题,但真值现在不知道
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命题分类 命题分类:简单命题(也称原子命题)与复合命题 简单命题符号化
用小写英文字母 p, q, r, …, pi, qi, ri (i1)表示简单命题 用“1”表示真,用“0”表示假 例如,令 p: 是有理数,则 p 的真值为0, q:2 + 5 = 7,则 q 的真值为1
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否定、合取、析取联结词 定义1.1 设 p为命题,复合命题“非p”(或“p的否定”)称为p的否定式,记作p,符号称作否定联结词. 规定p 为真当且仅当p为假. 定义1.2 设p,q为两个命题,复合命题“p并且q”(或“p与 q”)称为p与q的合取式,记作p∧q,∧称作合取联结词. 规定p∧q为真当且仅当p与q同时为真. 定义1.3 设p, q为两个命题,复合命题“p或q”称作p与q的析取式,记作p∨q,∨称作析取联结词. 规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
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合取联结词的实例 例2 将下列命题符号化. (1) 吴颖既用功又聪明. (2) 吴颖不仅用功而且聪明. (3) 吴颖虽然聪明,但不用功.
例2 将下列命题符号化. (1) 吴颖既用功又聪明. (2) 吴颖不仅用功而且聪明. (3) 吴颖虽然聪明,但不用功. (4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学.
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合取联结词的实例 解 令p:吴颖用功, q:吴颖聪明 (1) pq (2) pq (3) pq
(1)—(3) 说明描述合取式的灵活性与多样性 (4)—(5) 要求分清 “与” 所联结的成分
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析取联结词的实例 例3 将下列命题符号化 (1) 2 或 4 是素数. (2) 2 或 3 是素数. (3) 4 或 6 是素数.
例3 将下列命题符号化 (1) 2 或 4 是素数. (2) 2 或 3 是素数. (3) 4 或 6 是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王小红生于 1975 年或 1976 年.
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析取联结词的实例 解 (1) 令p:2是素数, q:4是素数, pq (2) 令p:2是素数, q:3是素数, pq
(1)—(3) 为相容或 (4)—(5) 为排斥或, 符号化时(5)可有两种形式,而(4)则不能
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蕴涵联结词 定义1.4 设p, q为两个命题,复合命题“如果p, 则q”称作p与q的蕴涵式,记作pq,并称p是蕴涵式的前件,q为蕴涵式的后件,称作蕴涵联结词. 规定:pq为假当且仅当p为真q为假. (1) pq 的逻辑关系:q为 p 的必要条件 (2) “如果 p, 则 q” 有很多不同的表述方法: 若p,就q 只要p,就q p仅当q 只有q 才p 除非q, 才p 或 除非q,否则非p,…. (3) 当 p 为假时,pq恒为真,称为空证明 (4) 常出现的错误:不分充分与必要条件
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蕴涵联结词的实例 例4 设 p:天冷,q:小王穿羽绒服,将下列命题符号化 (1) 只要天冷,小王就穿羽绒服.
(2) 因为天冷,所以小王穿羽绒服. (3) 若小王不穿羽绒服,则天不冷. (4) 只有天冷,小王才穿羽绒服. (5) 除非天冷,小王才穿羽绒服. (6) 除非小王穿羽绒服,否则天不冷. (7) 如果天不冷,则小王不穿羽绒服. (8) 小王穿羽绒服仅当天冷的时候. pq pq pq qp qp pq qp qp 注意: pq 与 qp 等值(真值相同)
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等价联结词 定义1.5 设 p, q为两个命题,复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式,记作pq,称作等价联结词. 规定pq为真当且仅当p与q同时为真或同时为假. pq 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件 例5 求下列复合命题的真值 (1) = 4 当且仅当 = 6. (2) = 4 当且仅当 3 是偶数. (3) = 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) = 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在 x0 可导的充要条件是 它在 x0 连续. 1 1
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小 结 本小节中p, q, r, … 均表示命题. 联结词集为{, , , , },p, pq, pq, pq, pq为基本复合命题. 其中要特别注意理解pq的涵义. 反复使用{, , , , }中的联结词组成更为复杂的复合命题. 设 p: 是无理数,q: 3是奇数, r: 苹果是方的, s: 太阳绕地球转 则复合命题 (pq) ((rs) p) 是假命题. 联结词的运算顺序:, , , , , 同级按先出现者先运算.
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1.2 命题公式及其赋值 命题变项与合式公式 命题变项 合式公式 合式公式的层次 公式的赋值 公式赋值 公式类型 真值表
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命题变项与合式公式 命题常项 命题变项(命题变元) 常项与变项均用 p, q, r, …, pi, qi, ri, …, 等表示.
定义1.6 合式公式(简称公式)的递归定义: (1) 单个命题变项和命题常项是合式公式, 称作原子命题公式 (2) 若A是合式公式,则 (A)也是 (3) 若A, B是合式公式,则(AB), (AB), (AB), (AB)也是 (4) 只有有限次地应用(1)—(3) 形成的符号串才是合式公式 几点说明: 归纳或递归定义, 元语言与对象语言, 外层括号可以省去
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合式公式的层次 定义1.7 (1) 若公式A是单个命题变项,则称A为0层公式.
(2) 称 A 是 n+1(n≥0) 层公式是指下面情况之一: (a) A=B, B 是 n 层公式; (b) A=BC, 其中B,C 分别为 i 层和 j 层公式, 且 n=max(i,j); (c) A=BC, 其中 B,C 的层次及 n 同(b); (d) A=BC, 其中B,C 的层次及 n 同(b); (e) A=BC, 其中B,C 的层次及 n 同(b). (3) 若公式A的层次为k, 则称A为k层公式. 例如 公式 A=p, B=p, C=pq, D=(pq)r, E=((pq) r) (rs) 分别为0层,1层,2层,3层,4层公式.
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公式赋值 定义1.8 设p1, p2, … , pn是出现在公式A中的全部命题变项,
若使A为1, 则称这组值为A的成真赋值; 若使A为0, 则称这组 值为A的成假赋值. 几点说明: A中仅出现 p1, p2, … , pn,给A赋值=12…n是指 p1=1, p2=2, …, pn=n, i=0或1, i之间不加标点符号 A中仅出现 p, q, r, …, 给A赋值123…是指 p=1, q=2 , r=3 … 含n个命题变项的公式有2n个赋值. 如 000, 010, 101, 110是(pq)r的成真赋值 001, 011, 100, 111是成假赋值.
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真值表 定义1.9 将命题公式A在所有赋值下取值的情况列成表, 称作 A的真值表. 构造真值表的步骤:
(1) 找出公式中所含的全部命题变项p1, p2, … , pn(若无下角标 则按字母顺序排列), 列出2n个全部赋值, 从000开始, 按 二进制加法, 每次加1, 直至111为止. (2) 按从低到高的顺序写出公式的各个层次. (3) 对每个赋值依次计算各层次的真值, 直到最后计算出公式 的真值为止.
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真值表 例6 写出下列公式的真值表, 并求它们的成真赋值和成假 赋值: (1) (pq) r (2) (qp) qp
(3) (pq) q
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真值表1 (1) A = (pq) r p q r pq r (pq)r 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1
1 成真赋值:000,001,010,100,110; 成假赋值:011,101,111
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真值表2 p q qp (qp)q (qp)qp 0 0 0 1 1 0 1 1 1 (2) B=(qp)qp
0 0 0 1 1 0 1 1 1 成真赋值:00,01,10,11; 无成假赋值
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真值表3 p q p pq (pq) (pq)q 0 0 0 1 1 0 1 1 1
(3) C= (pq)q的真值表 p q p pq (pq) (pq)q 0 0 0 1 1 0 1 1 1 成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值
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公式的类型 定义1.10 (1) 若A在它的任何赋值下均为真, 则称A为重言式或永真式;
由例1可知, (pq) r, (qp) qp, (pq) q 分别为非重言式的可满足式, 重言式, 矛盾式. 注意:重言式是可满足式,但反之不真. 真值表的用途: 求出公式的全部成真赋值与成假赋值, 判断公式的类型
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第一章 习题课 主要内容 命题、真值、简单命题与复合命题、命题符号化 联结词, , , , 及复合命题符号化 命题公式及层次
公式的类型 真值表及应用 基本要求 深刻理解各联结词的逻辑关系, 熟练地将命题符号化 会求复合命题的真值 深刻理解合式公式及重言式、矛盾式、可满足式等概念 熟练地求公式的真值表,并用它求公式的成真赋值与成假赋值及判断公式类型
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练习1 1. 将下列命题符号化 (1) 豆沙包是由面粉和红小豆做成的. (2) 苹果树和梨树都是落叶乔木.
(3) 王小红或李大明是物理组成员. (4) 王小红或李大明中的一人是物理组成员. (5) 由于交通阻塞,他迟到了. (6) 如果交通不阻塞,他就不会迟到. (7) 他没迟到,所以交通没阻塞. (8) 除非交通阻塞,否则他不会迟到. (9) 他迟到当且仅当交通阻塞.
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练习1解答 提示: 分清复合命题与简单命题 分清相容或与排斥或 分清必要与充分条件及充分必要条件
答案: (1) 是简单命题 (2) 是合取式 (3) 是析取式(相容或)(4) 是析取式(排斥或) 设 p: 交通阻塞,q: 他迟到 (5) pq, (6) pq或qp (7) qp 或pq, (8) qp或pq (9) pq 或pq 可见(5)与(7),(6)与(8) 相同(等值)
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练习2 2. 设 p : 2是素数 q : 北京比天津人口多 r : 美国的首都是旧金山 求下面命题的真值 (1) (pq)r
(2) (qr)(pr) (3) (qr)(pr) (4) (qp)((pr)(rq)) 1
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练习3 3. 用真值表判断下面公式的类型 (1) pr(qp) (2) ((pq) (qp)) r
(3) (pq) (pr)
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练习3解答 (1) pr(qp) p q r qp (qp) pr(qp) 0 0 0 0 0 1 0 1 0
1 矛盾式
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练习3解答 (2) ((pq) (qp)) r 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1
((pq) (qp)) r qp pq p q r 永真式
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练习3解答 (3) (pq) (pr) p q r pq pr (pq) (pr) 0 0 0 0 0 1 0 1 0
1 非永真式的可满足式
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